Tots els alumnes han sentit parlar d'un con rodó i s'imagina com és aquesta figura tridimensional. Aquest article defineix el desenvolupament d'un con, proporciona fórmules que descriuen les seves característiques i descriu com construir-lo amb una brúixola, un transportador i una regla.
Con circular en geometria
Donem una definició geomètrica d'aquesta figura. Un con rodó és una superfície formada per segments de línia recta que connecten tots els punts d'una circumferència determinada amb un únic punt de l'espai. Aquest únic punt no ha de pertànyer al pla en què es troba la circumferència. Si prenem un cercle en lloc d'un cercle, aquest mètode també condueix a un con.
El cercle s'anomena base de la figura, la seva circumferència és la directora. Els segments que connecten el punt amb la directora s'anomenen generatrius o generadors, i el punt on es tallen és el vèrtex del con.
El con rodó pot ser recte i oblic. Les dues xifres es mostren a la figura següent.
La diferència entre ells és aquesta: si la perpendicular de la part superior del con cau exactament al centre del cercle, aleshores el con serà recte. Per a ell, la perpendicular, que s'anomena alçada de la figura, forma part del seu eix. En el cas d'un con oblic, l'alçada i l'eix formen un angle agut.
A causa de la senzillesa i la simetria de la figura, tindrem en compte les propietats només d'un con dret amb una base rodona.
Aconseguir una forma mitjançant la rotació
Abans de procedir a considerar el desenvolupament de la superfície d'un con, és útil saber com es pot obtenir aquesta figura espacial mitjançant la rotació.
Suposem que tenim un triangle rectangle amb els costats a, b, c. Els dos primers són catets, c és la hipotenusa. Posem un triangle a la cama a i comencem a girar-la al voltant de la cama b. Aleshores, la hipotenusa c descriurà una superfície cònica. Aquesta senzilla tècnica de con es mostra al diagrama següent.
Òbviament, el catet a serà el radi de la base de la figura, el catet b serà la seva alçada i la hipotenusa c correspon a la generatriu d'un con rodó dret.
Vista del desenvolupament del con
Com podeu suposar, el con està format per dos tipus de superfícies. Un d'ells és un cercle de base plana. Suposem que té radi r. La segona superfície és lateral i s'anomena cònica. Sigui el seu generador igual a g.
Si tenim un con de paper, podem agafar unes tisores i tallar-ne la base. A continuació, s'ha de tallar la superfície cònicaal llarg de qualsevol generatriu i desplegar-la a l'avió. D'aquesta manera, hem obtingut un desenvolupament de la superfície lateral del con. Les dues superfícies, juntament amb el con original, es mostren al diagrama següent.
El cercle base es mostra a la part inferior dreta. La superfície cònica desplegada es mostra al centre. Resulta que correspon a algun sector circular del cercle, el radi del qual és igual a la longitud de la generatriu g.
Escombrat d'angle i àrea
Ara obtenim fórmules que, utilitzant els paràmetres coneguts g i r, ens permeten calcular l'àrea i l'angle del con.
Òbviament, l'arc del sector circular que es mostra més amunt a la figura té una longitud igual a la circumferència de la base, és a dir:
l=2pir.
Si es construïssin tot el cercle amb radi g, la seva longitud seria:
L=2pig.
Com que la longitud L correspon a 2pi radians, l'angle sobre el qual es recolza l'arc l es pot determinar a partir de la proporció corresponent:
L==>2pi;
l==> φ.
Llavors l'angle desconegut φ serà igual a:
φ=2pil/L.
Substituint les expressions de les longituds l i L, arribem a la fórmula de l'angle de desenvolupament de la superfície lateral del con:
φ=2pir/g.
L'angle φ aquí s'expressa en radians.
Per determinar l'àrea Sbd'un sector circular, utilitzarem el valor trobat de φ. Fem una proporció més, només per les zones. Tenim:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
Des d'on expressar Sb i, a continuació, substituïu el valor de l'angle φ. Obtenim:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
Per a l'àrea d'una superfície cònica, hem obtingut una fórmula força compacta. El valor de Sb és igual al producte de tres factors: pi, el radi de la figura i la seva generatriu.
Llavors, l'àrea de tota la superfície de la figura serà igual a la suma de Sb i So (circular àrea base). Obtenim la fórmula:
S=Sb+ So=pir(g + r).
Construir una escombrada d'un con sobre paper
Per completar aquesta tasca necessitareu un paper, un llapis, un transportador, un regle i una brúixola.
En primer lloc, dibuixem un triangle rectangle de costats de 3 cm, 4 cm i 5 cm. La seva rotació al voltant de la cama de 3 cm donarà el con desitjat. La figura té r=3 cm, h=4 cm, g=5 cm.
La construcció d'un escombrat començarà dibuixant un cercle de radi r amb una brúixola. La seva longitud serà igual a 6pi cm Ara al costat dibuixarem un altre cercle, però amb un radi g. La seva longitud correspondrà a 10pi cm Ara hem de tallar un sector circular d'un cercle gran. El seu angle φ és:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
Ara deixem de banda aquest angle amb un transportador sobre un cercle de radi g i dibuixem dos radis que limitaran el sector circular.
AixíAixí, hem construït un desenvolupament del con amb els paràmetres especificats de radi, alçada i generatriu.
Un exemple de resolució d'un problema geomètric
Donat un con recte rodó. Se sap que l'angle del seu escombrat lateral és de 120o. Cal trobar el radi i la generatriu d'aquesta figura, si se sap que l'alçada h del con és de 10 cm.
La tasca no és difícil si recordem que un con rodó és una figura de rotació d'un triangle rectangle. D'aquest triangle se segueix una relació inequívoca entre alçada, radi i generatriu. Escrivim la fórmula corresponent:
g2=h2+ r2.
La segona expressió a utilitzar per resoldre és la fórmula per a l'angle φ:
φ=2pir/g.
Així, tenim dues equacions que relacionen dues magnituds desconegudes (r i g).
Express g de la segona fórmula i substituïu el resultat per la primera, obtenim:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
Angle φ=120o en radians és 2pi/3. Substituïm aquest valor, obtenim les fórmules finals per a r i g:
r=h /√8;
g=3h /√8.
Resta substituir el valor de l'alçada i obtenir la resposta a la pregunta del problema: r ≈ 3,54 cm, g ≈ 10,61 cm.
