Un pla és un objecte geomètric les propietats del qual s'utilitzen quan es construeixen projeccions de punts i rectes, així com quan es calculen distàncies i angles diedres entre elements de figures tridimensionals. Considerem en aquest article quines equacions es poden utilitzar per estudiar la ubicació dels plans a l'espai.
Definició de l'avió
Tothom s'imagina intuïtivament quin objecte es parlarà. Des d'un punt de vista geomètric, un pla és una col·lecció de punts, qualsevol vector entre els quals ha de ser perpendicular a algun vector. Per exemple, si hi ha m punts diferents a l'espai, es poden fer m(m-1) / 2 vectors diferents a partir d'ells, connectant els punts per parells. Si tots els vectors són perpendiculars a alguna direcció, llavors aquesta és una condició suficient que tots els punts m pertanyin al mateix pla.
Equació general
A la geometria espacial, es descriu un pla mitjançant equacions que generalment contenen tres coordenades desconegudes corresponents als eixos x, y i z. Aobteniu l'equació general en coordenades planes a l'espai, suposem que hi ha un vector n¯(A; B; C) i un punt M(x0; y0; z0). Amb aquests dos objectes, el pla es pot definir de manera única.
De fet, suposem que hi ha algun segon punt P(x; y; z) les coordenades del qual són desconegudes. Segons la definició donada anteriorment, el vector MP¯ ha de ser perpendicular a n¯, és a dir, el producte escalar d'ells és igual a zero. Aleshores podem escriure la següent expressió:
(n¯MP¯)=0 o
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0)=0
Obrint els claudàtors i introduint un nou coeficient D, obtenim l'expressió:
Ax + By + Cz + D=0 on D=-1(Ax0+ By 0 + Cz0)
Aquesta expressió s'anomena equació general del pla. És important recordar que els coeficients davant de x, y i z formen les coordenades del vector n¯(A; B; C) perpendiculars al pla. Coincideix amb la normal i és una guia per a l'avió. Per determinar l'equació general, no importa cap a on es dirigeix aquest vector. És a dir, els plans construïts sobre els vectors n¯ i -n¯ seran els mateixos.
La figura de d alt mostra un pla, un vector normal a ell i una recta perpendicular al pla.
Segments tallats pel pla dels eixos i l'equació corresponent
L'equació general permet utilitzar operacions matemàtiques senzilles per determinar, enen quins punts el pla tallarà els eixos de coordenades. És important conèixer aquesta informació per tenir una idea de la posició en l'espai de l'avió, així com a l'hora de representar-lo als dibuixos.
Per determinar els punts d'intersecció anomenats, s'utilitza una equació en segments. S'anomena així perquè conté explícitament els valors de les longituds dels segments tallats pel pla en els eixos de coordenades, quan es compta des del punt (0; 0; 0). Obtenim aquesta equació.
Escriu l'expressió general del pla de la següent manera:
Ax + By + Cz=-D
Les parts esquerra i dreta es poden dividir per -D sense violar la igu altat. Tenim:
A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 o
x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1
Dissenyeu els denominadors de cada terme amb un símbol nou, obtenim:
p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C llavors
x/p + y/q + z/r=1
Aquesta és l'equació esmentada anteriorment en segments. D'això se'n dedueix que el valor del denominador de cada terme indica la coordenada de la intersecció amb l'eix corresponent del pla. Per exemple, talla l'eix y en el punt (0; q; 0). Això és fàcil d'entendre si substituïu les coordenades zero x i z a l'equació.
Tingueu en compte que si no hi ha cap variable a l'equació en els segments, això vol dir que el pla no talla l'eix corresponent. Per exemple, donada l'expressió:
x/p + y/q=1
Això significa que el pla tallarà els segments p i q dels eixos x i y, respectivament, però serà paral·lel a l'eix z.
Conclusió sobre el comportament de l'avió quanl'absència d'alguna variable a la seva equació també és certa per a una expressió de tipus general, tal com es mostra a la figura següent.
Equació paramètrica vectorial
Hi ha un tercer tipus d'equació que permet descriure un pla a l'espai. S'anomena vector paramètric perquè ve donat per dos vectors situats en el pla i dos paràmetres que poden prendre valors independents arbitraris. Mostrem com es pot obtenir aquesta equació.
Suposem que hi ha un parell de vectors coneguts u ¯(a1; b1; c1) i v¯(a2; b2; c2). Si no són paral·lels, es poden utilitzar per establir un pla específic fixant l'inici d'un d'aquests vectors en un punt conegut M(x0; y0; z0). Si un vector arbitrari MP¯ es pot representar com una combinació de vectors lineals u¯ i v¯, això significa que el punt P(x; y; z) pertany al mateix pla que u¯, v¯. Així, podem escriure la igu altat:
MP¯=αu¯ + βv¯
O escrivint aquesta igu altat en termes de coordenades, obtenim:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a1; b1; c1) + β(a 2; b2; c2)
La igu altat presentada és una equació vectorial paramètrica per al pla. ATl'espai vectorial al pla u¯ i v¯ s'anomenen generadors.
A continuació, en resoldre el problema, es mostrarà com aquesta equació es pot reduir a una forma general per a un pla.
Angle entre plans a l'espai
Intuïtivament, els plans de l'espai 3D es poden tallar o no. En el primer cas, és interessant trobar l'angle entre ells. El càlcul d'aquest angle és més difícil que l'angle entre rectes, ja que estem parlant d'un objecte geomètric diedre. Tanmateix, el vector guia ja esmentat per a l'avió ve al rescat.
S'estableix geomètricament que l'angle díedre entre dos plans que s'intersequen és exactament igual a l'angle entre els seus vectors guia. Denotem aquests vectors com n1¯(a1; b1; c1) i n2¯(a2; b2; c2 ). El cosinus de l'angle entre ells es determina a partir del producte escalar. És a dir, el propi angle a l'espai entre els plans es pot calcular amb la fórmula:
φ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|))
Aquí el mòdul del denominador s'utilitza per descartar el valor de l'angle obtús (entre els plans que s'intersequen sempre és menor o igual a 90o).
En forma de coordenades, aquesta expressió es pot reescriure de la següent manera:
φ=arccos(|a1a2 + b1b 2 +c1c2|/(√(a12 + b12 + c12)√(a22 + b22 + c 22)))
Plans perpendiculars i paral·lels
Si els plans es tallen i l'angle díedre format per ells és 90o, llavors seran perpendiculars. Un exemple d'aquests plans és un prisma rectangular o un cub. Aquestes figures estan formades per sis plans. A cada vèrtex de les figures anomenades hi ha tres plans perpendiculars entre si.
Per saber si els plans considerats són perpendiculars, n'hi ha prou amb calcular el producte escalar dels seus vectors normals. Una condició suficient per a la perpendicularitat en l'espai dels plans és el valor zero d'aquest producte.
Els paral·lels s'anomenen plans que no es tallen. De vegades també es diu que els plans paral·lels es tallen a l'infinit. La condició de paral·lelisme en l'espai de plans coincideix amb aquesta condició per als vectors de direcció n1¯ i n2¯. Podeu comprovar-ho de dues maneres:
- Calculeu el cosinus de l'angle díedre (cos(φ)) utilitzant el producte escalar. Si els plans són paral·lels, el valor serà 1.
- Intenta representar un vector a través d'un altre multiplicant per algun nombre, és a dir, n1¯=kn2¯. Si això es pot fer, aleshores ho són els plans corresponentsparal·lel.
La figura mostra dos plans paral·lels.
Ara donem exemples de resolució de dos problemes interessants utilitzant els coneixements matemàtics obtinguts.
Com obtenir una forma general d'una equació vectorial?
Aquesta és una expressió vectorial paramètrica per a un pla. Per facilitar la comprensió del flux d'operacions i els trucs matemàtics utilitzats, considereu un exemple concret:
(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)
Amplieu aquesta expressió i expresseu els paràmetres desconeguts:
x=1 + 2α;
y=2 - α + β;
z=α + 3β
Aleshores:
α=(x - 1)/2;
β=y - 2 + (x - 1)/2;
z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)
Obrint els claudàtors de l'última expressió, obtenim:
z=2x-2 + 3y - 6 o
2x + 3y - z - 8=0
Hem obtingut la forma general de l'equació per al pla especificat a l'enunciat del problema en forma vectorial
Com construir un avió a través de tres punts?
És possible dibuixar un únic pla a través de tres punts si aquests punts no pertanyen a una recta única. L'algorisme per resoldre aquest problema consisteix en la següent seqüència d'accions:
- trobar les coordenades de dos vectors connectant punts coneguts per parelles;
- calculeu el seu producte creuat i obteniu un vector normal al pla;
- escriu l'equació general utilitzant el vector trobat iqualsevol dels tres punts.
Prenguem un exemple concret. Punts donats:
R(1; 2; 0), P(0; -3; 4), Q(1; -2; 2)
Les coordenades dels dos vectors són:
RP¯(-1; -5; 4), PQ¯(1; 1; -2)
El seu producte creuat serà:
n¯=[RP¯PQ¯]=(6; 2; 4)
Prenent les coordenades del punt R, obtenim l'equació requerida:
6x + 2y + 4z -10=0 o
3x + y + 2z -5=0
Es recomana comprovar la correcció del resultat substituint les coordenades dels dos punts restants en aquesta expressió:
per a P: 30 + (-3) + 24 -5=0;
per a Q: 31 + (-2) + 22 -5=0
Tingueu en compte que era possible no trobar el producte vectorial, però escriu immediatament l'equació del pla en forma vectorial paramètrica.
