Fórmula per determinar el volum d'un con. Exemple de solució del problema

2024 Autora: Angel Austin | [email protected]. Última modificació: 2023-12-17 05:19

Cada alumne de l'estudi de l'estereometria a l'institut es va trobar amb un con. Dues característiques importants d'aquesta figura espacial són la superfície i el volum. En aquest article, mostrarem com trobar el volum d'un con rodó.

Con rodó com a figura de rotació d'un triangle rectangle

Abans d'anar directament al tema de l'article, cal descriure el con des d'un punt de vista geomètric.

Que hi hagi algun triangle rectangle. Si la gireu al voltant de qualsevol de les potes, el resultat d'aquesta acció serà la figura desitjada, que es mostra a la figura següent.

Aquí, la cama AB forma part de l'eix del con, i la seva longitud correspon a l'alçada de la figura. El segon tram (segment CA) serà el radi del con. Durant la rotació, descriurà un cercle que limita la base de la figura. La hipotenusa BC s'anomena generatriu de la figura, o la seva generatriu. El punt B és l'únic vèrtex del con.

Donades les propietats del triangle ABC, podem escriure la relació entre la generatriu g, el radi r i l'alçada h de la següent maneraigu altat:

g²=h²+ r²

Aquesta fórmula és útil per resoldre molts problemes geomètrics amb la figura en qüestió.

Fórmula de volum del con

El volum de qualsevol figura espacial és l'àrea de l'espai, que està limitada per les superfícies d'aquesta figura. Hi ha dues superfícies d'aquest tipus per a un con:

1. Lateral o cònic. Està format per totes les generatrius.
2. Fundació. En aquest cas, és un cercle.

Obtén la fórmula per determinar el volum d'un con. Per fer-ho, el tallem mentalment en moltes capes paral·leles a la base. Cadascuna de les capes té un gruix dx, que tendeix a zero. L'àrea S_xde la capa a una distància x de la part superior de la figura és igual a l'expressió següent:

S_x=pir²x²/h ²

La validesa d'aquesta expressió es pot comprovar de manera intuïtiva substituint els valors x=0 i x=h. En el primer cas, obtindrem una àrea igual a zero, en el segon cas, serà igual a l'àrea de la base rodona.

Per determinar el volum del con, heu de sumar petits "volums" de cada capa, és a dir, heu d'utilitzar el càlcul integral:

V=∫₀^h(pir²x ²/h²dx)=pir²/h² ∫₀^h(x²dx)

Calculant aquesta integral, arribem a la fórmula final per a un con rodó:

V=1/3pir²h

És interessant observar que aquesta fórmula és completament semblant a la que s'utilitza per calcular el volum d'una piràmide arbitrària. Aquesta coincidència no és casual, perquè qualsevol piràmide es converteix en un con quan el nombre de les seves arestes augmenta fins a l'infinit.

Problema de càlcul del volum

És útil donar un exemple de resolució del problema, que demostrarà l'ús de la fórmula derivada per al volum V.

Donat un con rodó l'àrea de la base del qual és de 37 cm² i el generador de la figura és tres vegades el radi. Quin és el volum del con?

Tenim dret a utilitzar la fórmula del volum si coneixem dues magnituds: l'alçada h i el radi r. Trobem les fórmules que les determinen d'acord amb la condició del problema.

El radi r es pot calcular coneixent l'àrea del cercle S_o, tenim:

S_o=pir²=>

r=√(S_o/pi)

Usant la condició del problema, escrivim la igu altat per al generador g:

g=3r=3√(S_o/pi)

Coneixent les fórmules de r i g, calculeu l'alçada h:

h=√(g²- r²)=√(9S_o /pi - S_o/pi)=√(8S_o/pi)

Hem trobat tots els paràmetres necessaris. Ara és el moment de connectar-los a la fórmula per a V:

V=1/3pir²h=1/3piS_o/pi√ (8S_o/pi)=S_o/3√(8S_o /pi)

Queda per substituiràrea base S_o i calculeu el valor del volum: V=119,75 cm³.