L'estudi de les propietats de les figures espacials té un paper important en la resolució de problemes pràctics. La ciència que tracta les figures a l'espai s'anomena estereometria. En aquest article, des del punt de vista de la geometria sòlida, considerarem un con i mostrarem com trobar l'àrea d'un con.
Con amb base rodona
En el cas general, un con és una superfície construïda sobre una corba plana, tots els punts de la qual estan connectats per segments amb un punt a l'espai. Aquest últim s'anomena el vèrtex del con.
A partir de la definició anterior, és evident que una corba pot tenir una forma arbitrària, com ara parabòlica, hiperbòlica, el·líptica, etc. No obstant això, a la pràctica i en problemes de geometria, sovint es troba un con rodó. Es mostra a la imatge següent.
Aquí el símbol r indica el radi del cercle situat a la base de la figura, h és la perpendicular al pla del cercle, que es dibuixa des de la part superior de la figura. Es diu alçada. El valor s és la generatriu del con, o la seva generatriu.
Es pot veure que els segments r, h i sformen un triangle rectangle. Si es gira al voltant del catet h, aleshores la hipotenusa s descriurà la superfície cònica, i el catet r forma la base rodona de la figura. Per aquest motiu, el con es considera una figura de revolució. Els tres paràmetres lineals esmentats estan interconnectats per la igu altat:
s2=r2+ h2
Tingueu en compte que la igu altat donada només és vàlida per a un con recte rodó. Una figura recta només és si la seva alçada cau exactament al centre del cercle base. Si aquesta condició no es compleix, la figura s'anomena obliqua. La diferència entre cons rectes i oblics es mostra a la figura següent.
Desenvolupament de formes
Estudiar la superfície d'un con és convenient dur a terme, considerant-ho en un pla. Aquesta manera de representar la superfície de les figures a l'espai s'anomena desenvolupament. Per a un con, aquest desenvolupament es pot obtenir de la següent manera: cal agafar una figura feta, per exemple, amb paper. A continuació, amb unes tisores, talleu la base rodona al voltant de la circumferència. Després d'això, al llarg de la generatriu, feu un tall de la superfície cònica i convertiu-la en un pla. El resultat d'aquestes operacions senzilles serà el desenvolupament del con, que es mostra a la figura següent.
Com podeu veure, la superfície d'un con de fet es pot representar en un pla. Consta de les dues parts següents:
- cercle amb radi r que representa la base de la figura;
- sector circular amb radi g, que és una superfície cònica.
La fórmula per a l'àrea d'un con implica trobar les àrees de les dues superfícies desplegades.
Calculeu la superfície d'una figura
Dividim la tasca en dues etapes. Primer trobem l'àrea de la base del con, després l'àrea de la superfície cònica.
La primera part del problema és fàcil de resoldre. Com que es dóna el radi r, n'hi ha prou amb recordar l'expressió corresponent per a l'àrea d'un cercle per calcular l'àrea de la base. Escrivim-ho:
So=pi × r2
Si no es coneix el radi, primer hauríeu de trobar-lo mitjançant la fórmula de relació entre ell, l'alçada i el generador.
La segona part del problema de trobar l'àrea d'un con és una mica més complicada. Tingueu en compte que el sector circular està construït sobre el radi g de la generatriu i està limitat per un arc la longitud del qual és igual a la circumferència del cercle. Aquest fet permet anotar la proporció i trobar l'angle del sector considerat. Denotem-ho amb la lletra grega φ. Aquest angle serà igual a:
2 × pi=>2 × pi × g;
φ=> 2 × pi × r;
φ=2 × pi × r / g
Coneixent l'angle central φ d'un sector circular, podeu utilitzar la proporció adequada per trobar la seva àrea. Denotem-ho amb el símbol Sb. Serà igual a:
2 × pi=>pi × g2;
φ=> Sb;
Sb=pi × g2 × φ / (2 × pi)=pi × r × g
És a dir, l'àrea de la superfície cònica correspon al producte de la generatriu g, el radi de la base r i el nombre Pi.
Saber quines són les àrees de tots dosconsiderades superfícies, podem escriure la fórmula final per a l'àrea d'un con:
S=So+ Sb=pi × r2+ pi × r × g=pi × r × (r + g)
L'expressió escrita suposa el coneixement de dos paràmetres lineals del con per calcular S. Si es desconeix g o r, es poden trobar a través de l'alçada h.
El problema de calcular l'àrea d'un con
Se sap que l'alçada d'un con recte rodó és igual al seu diàmetre. Cal calcular l'àrea de la figura, sabent que l'àrea de la base és de 50 cm2.
Coneixent l'àrea d'un cercle, pots trobar el radi de la figura. Tenim:
So=pi × r2=>
r=√(So /pi)
Ara busquem el generador g en termes de h i r. Segons la condició, l'alçada h de la figura és igual a dos radis r, aleshores:
h=2 × r;
g2=(2 × r)2+ r2=>
g=√5 × r=√(5 × So / pi)
Les fórmules trobades per g i r s'han de substituir a l'expressió per a tota l'àrea del con. Obtenim:
S=So+ pi × √(So / pi) × √(5 × S o /pi)=So × (1 + √5)
A l'expressió resultant substituïm l'àrea de la base So i anotem la resposta: S ≈ 161,8 cm2.
