L'estudi de les propietats de l'estat agregat de gas de la matèria és una de les àrees importants de la física moderna. Considerant els gasos a escala microscòpica, es poden obtenir tots els paràmetres macroscòpics del sistema. Aquest article revelarà un tema important de la teoria cinètica molecular dels gasos: quina és la distribució de Maxwell de les molècules en termes de velocitats.
Antecedents històrics
La idea del gas com a sistema de partícules en moviment microscòpiques es va originar a l'antiga Grècia. La ciència va trigar més de 1700 anys a desenvolupar-lo.
El fundador de la moderna teoria cinètica molecular (MKT) del gas és just considerar Daniil Bernoulli. El 1738 va publicar una obra anomenada "Hidrodinàmica". En ell, Bernoulli va exposar les idees del MKT que s'han utilitzat fins avui. Per tant, el científic creia que els gasos es compon de partícules que es mouen aleatòriament en totes direccions. Nombroses col·lisionsLes partícules amb parets del recipient es perceben com la presència de pressió en els gasos. Les velocitats de les partícules estan estretament relacionades amb la temperatura del sistema. La comunitat científica no va acceptar les idees agosarades de Bernoulli perquè la llei de conservació de l'energia encara no s'havia establert.
Posteriorment, molts científics es van dedicar a construir un model cinètic de gasos. Entre ells, cal destacar Rudolf Clausius, que l'any 1857 va crear un model de gas senzill. En ella, el científic va prestar especial atenció a la presència de graus de llibertat de translació, rotació i vibració a les molècules.
El 1859, estudiant el treball de Clausius, James Maxwell va formular l'anomenada distribució de Maxwell sobre velocitats moleculars. De fet, Maxwell va confirmar les idees del MKT, recolzant-les amb un aparell matemàtic. Posteriorment, Ludwig Boltzmann (1871) va generalitzar les conclusions de la distribució de Maxwell. Va postular una distribució estadística més general de les molècules sobre velocitats i energies. Actualment es coneix com a distribució de Maxwell-Boltzmann.
Gas ideal. Postulats bàsics de la ILC
Per entendre què és la funció de distribució de Maxwell, heu d'entendre clarament els sistemes als quals és aplicable aquesta funció. Estem parlant d'un gas ideal. En física, aquest concepte s'entén com una substància fluida, que consisteix en partícules pràcticament adimensionals que no tenen energia potencial. Aquestes partícules es mouen a gran velocitat, de manera que el seu comportament està completament determinat per l'energia cinètica. A més, les distàncies entre les partícules són massa grans peren comparació amb les seves mides, de manera que es descuiden aquestes darreres.
Els gasos ideals es descriuen a l'MKT. Els seus postulats principals són els següents:
- els sistemes de gas estan formats per un gran nombre de partícules lliures;
- partícules es mouen aleatòriament a diferents velocitats en diferents direccions al llarg de trajectòries rectes;
- partícules xoquen amb les parets del vaixell de manera elàstica (la probabilitat que les partícules xoquin entre elles és baixa a causa de la seva petita mida);
- La temperatura del sistema està determinada exclusivament per l'energia cinètica mitjana de les partícules, que es conserva en el temps si s'estableix un equilibri termodinàmic al sistema.
Llei de distribució de Maxwell
Si una persona tingués un instrument amb el qual fos possible mesurar la velocitat d'una sola molècula de gas, aleshores, després de fer un experiment adequat, es sorprendria. L'experiment mostraria que cada molècula de qualsevol sistema gasós es mou a una velocitat completament arbitrària. En aquest cas, en el marc d'un sistema en equilibri tèrmic amb l'entorn, es detectarien tant molècules molt lentes com molt ràpides.
La llei de Maxwell de distribució de velocitats de les molècules de gas és una eina que permet determinar la probabilitat de detectar partícules amb una velocitat determinada v en el sistema objecte d'estudi. La funció corresponent té aquest aspecte:
f(v)=(m/(2pikT))3/24piv2 exp(-mv2/(2kT)).
En aquesta expressió, m -massa de partícula (molècula), k - constant de Boltzmann, T - temperatura absoluta. Així, si es coneix la naturalesa química de les partícules (el valor de m), aleshores la funció f(v) està determinada de manera única per la temperatura absoluta. La funció f(v) s'anomena densitat de probabilitat. Si agafem la integral d'algun límit de velocitat (v; v+dv), obtenim el nombre de partícules Ni, que tenen velocitats en l'interval especificat. En conseqüència, si prenem la integral de la densitat de probabilitat f(v) per als límits de velocitat de 0 a ∞, obtenim el nombre total de molècules N del sistema.
Representació gràfica de la densitat de probabilitat f(v)
La funció de densitat de probabilitat té una forma matemàtica una mica complexa, de manera que no és fàcil representar el seu comportament a una temperatura determinada. Aquest problema es pot resoldre si el representeu en un gràfic bidimensional. A continuació es mostra una vista esquemàtica del gràfic de distribució de Maxwell a la figura.
Veiem que parteix de zero, ja que la velocitat v de les molècules no pot tenir valors negatius. El gràfic acaba en algun lloc a la regió de les altes velocitats, baixant sense problemes fins a zero (f(∞)->0). També crida l'atenció la característica següent: la corba suau és asimètrica, disminueix més bruscament a velocitats petites.
Una característica important del comportament de la funció de densitat de probabilitat f(v) és la presència d'un màxim pronunciat. Segons el significat físic de la funció, aquest màxim correspon al valor més probable de les velocitats de les molècules del gassistema.
Velocitats importants per a la funció f(v)
La funció de densitat de probabilitat f(v) i la seva representació gràfica ens permeten definir tres tipus importants de velocitat.
El primer tipus de velocitat que és obvi i que es va esmentar més amunt és la velocitat més probable v1. A la gràfica, el seu valor correspon al màxim de la funció f(v). És aquesta velocitat i valors propers als que tindran la majoria de partícules del sistema. No és difícil calcular-lo, per a això n'hi ha prou amb agafar la primera derivada respecte a la velocitat de la funció f(v) i equiparar-la a zero. Com a resultat d'aquestes operacions matemàtiques, obtenim el resultat final:
v1=√(2RT/M).
Aquí R és la constant de gas universal, M és la massa molar de les molècules.
El segon tipus de velocitat és el seu valor mitjà per a totes les N partícules. Denotem-lo v2. Es pot calcular integrant la funció vf(v) sobre totes les velocitats. El resultat de la integració assenyalada serà la fórmula següent:
v2=√(8RT/(piM)).
Com que la proporció és 8/pi>2, la velocitat mitjana sempre és lleugerament superior a la més probable.
Tota persona que sàpiga una mica de física entén que la velocitat mitjana v2 de molècules ha de ser de gran importància en un sistema de gas. Tanmateix, aquesta és una suposició errònia. Molt més important és la velocitat RMS. Denotem-hov3.
Segons la definició, la velocitat quadrada mitjana és la suma dels quadrats de les velocitats individuals de totes les partícules, dividida pel nombre d'aquestes partícules, i presa com a arrel quadrada. Es pot calcular per a la distribució de Maxwell si definim la integral sobre totes les velocitats de la funció v2f(v). La fórmula per a la velocitat quadràtica mitjana tindrà la forma:
v3=√(3RT/M).
La igu altat mostra que aquesta velocitat és superior a v2 i v1 per a qualsevol sistema de gas.
Per tant, tots els tipus de velocitats considerats al gràfic de distribució de Maxwell es troben a l'extrem o a la dreta d'aquest.
Importància de la v3
S'ha assenyalat anteriorment que la velocitat quadrada mitjana és més important per entendre els processos físics i les propietats d'un sistema de gas que la velocitat mitjana simple v2. Això és cert, ja que l'energia cinètica d'un gas ideal depèn precisament de v3, i no de v2.
Si considerem un gas ideal monoatòmic, llavors l'expressió següent és certa:
mv32/2=3/2kT.
Aquí, cada part de l'equació representa l'energia cinètica d'una partícula de massa m. Per què l'expressió conté exactament el valor v3 i no la velocitat mitjana v2? Molt senzill: quan es determina l'energia cinètica de cada partícula, la seva velocitat individual v és al quadrat, llavors totes les velocitatss'afegeixen i es divideixen pel nombre de partícules N. És a dir, el procediment per determinar l'energia cinètica en si porta al valor de la velocitat quadrada mitjana.
Dependència de la funció f(v) de la temperatura
A d alt hem establert que la densitat de probabilitat de les velocitats moleculars depèn únicament de la temperatura. Com canviarà la funció si augmenta o disminueix T? El gràfic següent us ajudarà a respondre aquesta pregunta.
Es pot veure que l'escalfament del sistema tancat condueix a un tacat del pic i el seu desplaçament cap a velocitats més altes. Un augment de la temperatura comporta un augment de tots els tipus de velocitats i una disminució de la densitat de probabilitat de cadascuna d'elles. El valor màxim disminueix a causa de la conservació del nombre de partícules N en un sistema tancat.
A continuació, resoldrem un parell de problemes per consolidar el material teòric rebut.
Problema amb les molècules de nitrogen a l'aire
Cal calcular les velocitats v1, v2 i v3 per al nitrogen de l'aire a una temperatura de 300 K (uns 27 oC).
La massa molar de nitrogen N2 és de 28 g/mol. Utilitzant les fórmules anteriors, obtenim:
v1=√(2RT/M)=√(28, 314300/0, 028)=422 m/s;
v2=√(8RT/(piM))=√(88, 314300/(3, 140, 028))=476 m/s;
v3=√(3RT/M)=√(38, 314300/0, 028)=517 m/s.
Problema amb el tanc d'oxigen
L'oxigen del cilindre estava a una temperatura determinada T1. A continuació, el globus es va col·locar en una habitació més freda. Com canviarà la gràfica de distribució de velocitat de Maxwell per a les molècules d'oxigen quan el sistema arribi a l'equilibri termodinàmic?
Recordant la teoria, podem respondre la pregunta del problema d'aquesta manera: els valors de tots els tipus de velocitats de molècules disminuiran, el pic de la funció f(v) es desplaçarà cap a l'esquerra, es fa més estret i més alt.
