Per trobar les funcions de distribució de les variables aleatòries i les seves variables, cal estudiar totes les característiques d'aquest camp de coneixement. Hi ha diversos mètodes diferents per trobar els valors en qüestió, com ara canviar una variable i generar un moment. La distribució és un concepte basat en elements com la dispersió, les variacions. Tanmateix, caracteritzen només el grau d'amplitud de dispersió.
Les funcions més importants de les variables aleatòries són aquelles que estan relacionades, independents i igualment distribuïdes. Per exemple, si X1 és el pes d'un individu seleccionat aleatòriament d'una població masculina, X2 és el pes d'un altre, …, i Xn és el pes d'una persona més de la població masculina, llavors hem de saber com funciona l'atzar. X es distribueix. En aquest cas, s'aplica el teorema clàssic anomenat teorema del límit central. Us permet mostrar que per a n gran la funció segueix distribucions estàndard.
Funcions d'una variable aleatòria
El teorema del límit central serveix per aproximar valors discrets en consideració com ara binomi i Poisson. Les funcions de distribució de variables aleatòries es consideren, en primer lloc, sobre valors simples d'una variable. Per exemple, si X és una variable aleatòria contínua que té la seva pròpia distribució de probabilitat. En aquest cas, explorem com trobar la funció de densitat de Y mitjançant dos enfocaments diferents, és a dir, el mètode de la funció de distribució i el canvi de variable. En primer lloc, només es tenen en compte els valors un a un. Aleshores cal modificar la tècnica de canviar la variable per trobar la seva probabilitat. Finalment, hem d'aprendre com la funció de distribució acumulada inversa pot ajudar a modelar nombres aleatoris que segueixen certs patrons seqüencials.
Mètode de distribució dels valors considerats
El mètode de la funció de distribució de probabilitat d'una variable aleatòria és aplicable per trobar la seva densitat. Quan s'utilitza aquest mètode, es calcula un valor acumulat. Aleshores, diferenciant-lo, podeu obtenir la densitat de probabilitat. Ara que tenim el mètode de la funció de distribució, podem veure alguns exemples més. Sigui X una variable aleatòria contínua amb una certa densitat de probabilitat.
Quina és la funció de densitat de probabilitat de x2? Si observeu o gràficament la funció (superior i dreta) y \u003d x2, podeu observar que és una X creixent i 0 <y<1. Ara cal utilitzar el mètode considerat per trobar Y. Primer, es troba la funció de distribució acumulada, només cal diferenciar per obtenir la densitat de probabilitat. En fer-ho, obtenim: 0<y<1. El mètode de distribució s'ha implementat amb èxit per trobar Y quan Y és una funció creixent de X. Per cert, f(y) s'integra en 1 sobre y.
En l'últim exemple, es va tenir molta cura per indexar les funcions acumulades i la densitat de probabilitat amb X o Y per indicar a quina variable aleatòria pertanyien. Per exemple, en trobar la funció de distribució acumulada de Y, tenim X. Si necessites trobar una variable aleatòria X i la seva densitat, només cal que la diferenciïs.
Tècnica de canvi variable
Sigui X una variable aleatòria contínua donada per una funció de distribució amb un denominador comú f (x). En aquest cas, si poseu el valor de y a X=v (Y), obteniu el valor de x, per exemple v (y). Ara, hem d'obtenir la funció de distribució d'una variable aleatòria contínua Y. On la primera i la segona igu altat tenen lloc a partir de la definició de Y acumulada. La tercera igu altat es compleix perquè la part de la funció per a la qual u (X) ≦ y és també és cert que X ≦ v (Y). I l'última es fa per determinar la probabilitat en una variable aleatòria contínua X. Ara hem de prendre la derivada de FY (y), la funció de distribució acumulada de Y, per obtenir la densitat de probabilitat Y.
Generalització per a la funció de disminució
Sigui X una variable aleatòria contínua amb f (x) comuna definida sobre c1<x<c2. I sigui Y=u (X) una funció decreixent de X amb invers X=v (Y). Com que la funció és contínua i decreixent, hi ha una funció inversa X=v (Y).
Per solucionar aquest problema, podeu recollir dades quantitatives i utilitzar la funció de distribució acumulativa empírica. Amb aquesta informació i apel·lant a ella, cal combinar mostres de mitjans, desviacions estàndard, dades multimèdia, etc.
De la mateixa manera, fins i tot un model probabilístic bastant simple pot tenir un gran nombre de resultats. Per exemple, si tires una moneda 332 vegades. Aleshores, el nombre de resultats obtinguts a partir de voltes és més gran que el de google (10100), un nombre, però no menys de 100 quintilions de vegades més gran que les partícules elementals de l'univers conegut. No m'interessa una anàlisi que doni resposta a tots els resultats possibles. Caldria un concepte més senzill, com ara el nombre de caps o el traç més llarg de les cues. Per centrar-se en temes d'interès, s'accepta un resultat concret. La definició en aquest cas és la següent: una variable aleatòria és una funció real amb un espai de probabilitat.
El rang S d'una variable aleatòria de vegades s'anomena espai d'estats. Així, si X és el valor en qüestió, llavors N=X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc, etc. L'últim d'aquests, arrodonint X al nombre sencer més proper, s'anomena funció de planta.
Funcions de distribució
Un cop determinada la funció de distribució d'interès per a una variable aleatòria x, la pregunta sol ser: "Quines possibilitats hi ha que X caigui en algun subconjunt de valors B?". Per exemple, B={nombres senars}, B={superior a 1} o B={entre 2 i 7} per indicar aquells resultats que tenen X, el valorvariable aleatòria, al subconjunt A. Així, a l'exemple anterior, podeu descriure els esdeveniments de la següent manera.
{X és un nombre senar}, {X és més gran que 1}={X> 1}, {X està entre 2 i 7}={2 <X <7} per fer coincidir les tres opcions anteriors per al subconjunt B. Moltes propietats de les quantitats aleatòries no estan relacionades amb una X en particular. Més aviat depenen de com X assigna els seus valors. Això condueix a una definició que sona així: la funció de distribució d'una variable aleatòria x és acumulativa i està determinada per observacions quantitatives.
Variables aleatòries i funcions de distribució
Així, podeu calcular la probabilitat que la funció de distribució d'una variable aleatòria x prengui valors en l'interval per resta. Penseu a incloure o excloure punts finals.
Anomenarem una variable aleatòria discreta si té un espai d'estats finit o comptablement infinit. Així, X és el nombre de cara en tres voltes independents d'una moneda esbiaixada que augmenta amb la probabilitat p. Hem de trobar la funció de distribució acumulada d'una variable aleatòria discreta FX per a X. Sigui X el nombre de pics en una col·lecció de tres cartes. Aleshores Y=X3 mitjançant FX. FX comença a 0, acaba a 1 i no disminueix a mesura que augmenten els valors de x. La funció de distribució de FX acumulada d'una variable aleatòria discreta X és constant, excepte els s alts. En s altar, l'FX és continu. Demostra l'afirmació sobre la correctala continuïtat de la funció de distribució a partir de la propietat de probabilitat és possible utilitzant la definició. Sembla així: una variable aleatòria constant té un FX acumulatiu que és diferenciable.
Per mostrar com pot passar això, podem posar un exemple: un objectiu amb un radi d'unitat. Presumiblement. el dard es distribueix uniformement per l'àrea especificada. Per a alguns λ> 0. Així, les funcions de distribució de variables aleatòries contínues augmenten sense problemes. FX té les propietats d'una funció de distribució.
Un home espera a la parada d'autobús fins que arriba l'autobús. Havent decidit per ell mateix que es negarà quan l'espera arribi als 20 minuts. Aquí cal trobar la funció de distribució acumulada de T. El temps en què una persona encara estarà a l'estació d'autobusos o no sortirà. Tot i que la funció de distribució acumulada està definida per a cada variable aleatòria. Tot i així, s'utilitzaran amb força freqüència altres característiques: la massa d'una variable discreta i la funció de densitat de distribució d'una variable aleatòria. Normalment, el valor s'emet a través d'un d'aquests dos valors.
Funcions massives
Aquests valors són considerats per les propietats següents, que tenen un caràcter general (massa). El primer es basa en el fet que les probabilitats no són negatives. El segon es desprèn de l'observació que el conjunt de tot x=2S, l'espai d'estats de X, forma una partició de la llibertat probabilística de X. Exemple: llançar una moneda esbiaixada els resultats de la qual són independents. Pots seguir fentdeterminades accions fins a aconseguir un rotllo de caps. Sigui X una variable aleatòria que dóna el nombre de cues davant del primer cap. I p indica la probabilitat en qualsevol acció donada.
Per tant, la funció de probabilitat de massa té les característiques següents. Com que els termes formen una seqüència numèrica, X s'anomena variable aleatòria geomètrica. Esquema geomètric c, cr, cr2,.,,, crn té una suma. I, per tant, sn té un límit com a n 1. En aquest cas, la suma infinita és el límit.
La funció de massa anterior forma una seqüència geomètrica amb una relació. Per tant, els nombres naturals a i b. La diferència en els valors de la funció de distribució és igual al valor de la funció de massa.
Els valors de densitat considerats tenen una definició: X és una variable aleatòria la distribució FX de la qual té una derivada. FX que compleix Z xFX (x)=fX (t) dt-1 s'anomena funció de densitat de probabilitat. I X s'anomena variable aleatòria contínua. En el teorema fonamental del càlcul, la funció de densitat és la derivada de la distribució. Podeu calcular probabilitats calculant integrals definides.
Com que les dades es recullen a partir de múltiples observacions, s'ha de tenir en compte més d'una variable aleatòria alhora per modelar els procediments experimentals. Per tant, el conjunt d'aquests valors i la seva distribució conjunta per a les dues variables X1 i X2 significa la visualització d'esdeveniments. Per a variables aleatòries discretes, es defineixen funcions de massa probabilistes conjuntes. Per als continus, es consideren fX1, X2, ones compleix la densitat de probabilitat conjunta.
Variables aleatòries independents
Dues variables aleatòries X1 i X2 són independents si dos esdeveniments associats a elles són iguals. En paraules, la probabilitat que dos esdeveniments {X1 2 B1} i {X2 2 B2} es produeixin al mateix temps, y, és igual al producte de les variables anteriors, que cadascun d'ells es produeixi individualment. Per a variables aleatòries discretes independents, hi ha una funció de massa probabilística conjunta, que és el producte del volum d'ió limitant. Per a variables aleatòries contínues que són independents, la funció de densitat de probabilitat conjunta és el producte dels valors de densitat marginal. Finalment, considerem n observacions independents x1, x2,.,,, xn que sorgeix d'una funció de densitat o massa desconeguda f. Per exemple, un paràmetre desconegut a les funcions d'una variable aleatòria exponencial que descriu el temps d'espera d'un autobús.
Imitació de variables aleatòries
L'objectiu principal d'aquest camp teòric és proporcionar les eines necessàries per desenvolupar procediments d'inferència basats en principis sòlids de la ciència estadística. Per tant, un cas d'ús molt important del programari és la capacitat de generar pseudodades per imitar la informació real. Això fa possible provar i millorar els mètodes d'anàlisi abans d'haver-los d'utilitzar en bases de dades reals. Això és necessari per explorar les propietats de les dadesmodelatge. Per a moltes famílies de variables aleatòries d'ús habitual, R proporciona ordres per generar-les. Per a altres circumstàncies, caldran mètodes per modelar una seqüència de variables aleatòries independents que tinguin una distribució comuna.
Variables aleatòries discretes i patró d'ordres. L'ordre de mostra s'utilitza per crear mostres aleatòries simples i estratificades. Com a resultat, si s'introdueix una seqüència x, sample(x, 40) selecciona 40 registres de x de manera que totes les opcions de mida 40 tinguin la mateixa probabilitat. Això utilitza l'ordre R predeterminada per obtenir sense substitució. També es pot utilitzar per modelar variables aleatòries discretes. Per fer-ho, heu de proporcionar un espai d'estats al vector x i la funció de massa f. Una crida a substituir=TRUE indica que el mostreig es produeix amb la substitució. Aleshores, per donar una mostra de n variables aleatòries independents que tenen una funció de massa comuna f, s'utilitza la mostra (x, n, substituir=TRUE, prob=f).
S'ha determinat que 1 és el valor més petit representat i 4 és el més gran de tots. Si s'omet l'ordre prob=f, la mostra mostrarà uniformement a partir dels valors del vector x. Podeu comprovar la simulació amb la funció de massa que va generar les dades mirant el signe doble igual,==. I recalcular les observacions que prenen tots els valors possibles per a x. Podeu fer una taula. Repetiu això per a 1000 i compareu la simulació amb la funció de massa corresponent.
Il·lustració de la transformació de probabilitat
Primersimular funcions de distribució homogènia de variables aleatòries u1, u2,.,,, un a l'interval [0, 1]. Al voltant del 10% dels nombres haurien d'estar dins de [0, 3, 0, 4]. Això correspon al 10% de les simulacions a l'interval [0, 28, 0, 38] per a una variable aleatòria amb la funció de distribució FX mostrada. De la mateixa manera, al voltant del 10% dels nombres aleatoris haurien d'estar a l'interval [0, 7, 0, 8]. Això correspon a simulacions del 10% a l'interval [0, 96, 1, 51] de la variable aleatòria amb la funció de distribució FX. Aquests valors de l'eix x es poden obtenir prenent la inversa de FX. Si X és una variable aleatòria contínua amb densitat fX positiva a tot arreu del seu domini, aleshores la funció de distribució és estrictament creixent. En aquest cas, FX té una funció FX-1 inversa coneguda com a funció quantil. FX (x) u només quan x FX-1 (u). La transformació de probabilitat es desprèn de l'anàlisi de la variable aleatòria U=FX (X).
FX té un rang de 0 a 1. No pot estar per sota de 0 ni per sobre d'1. Per a valors de u entre 0 i 1. Si es pot simular U, cal que una variable aleatòria amb distribució FX sigui simulat mitjançant una funció quantil. Agafeu la derivada per veure que la densitat u varia dins d'1. Com que la variable aleatòria U té una densitat constant en l'interval dels seus possibles valors, s'anomena uniforme a l'interval [0, 1]. Es modela en R amb l'ordre runif. La identitat s'anomena transformació probabilística. Podeu veure com funciona a l'exemple del tauler de dards. X entre 0 i 1, funciódistribució u=FX (x)=x2, i per tant la funció quantil x=FX-1 (u). És possible modelar observacions independents de la distància des del centre del panell de dards, i així crear variables aleatòries uniformes U1, U2,.,, Un. La funció de distribució i la funció empírica es basen en 100 simulacions de la distribució d'un tauler de dards. Per a una variable aleatòria exponencial, presumiblement u=FX (x)=1 - exp (- x), i per tant x=- 1 ln (1 - u). De vegades, la lògica consisteix en enunciats equivalents. En aquest cas, cal concatenar les dues parts de l'argument. La identitat de la intersecció és similar per a tots els 2 {S i i} S, en lloc d'algun valor. La unió Ci és igual a l'espai d'estats S i cada parell s'exclou mútuament. Com que Bi - es divideix en tres axiomes. Cada control es basa en la probabilitat corresponent P. Per a qualsevol subconjunt. Utilitzar una identitat per assegurar-se que la resposta no depèn de si s'inclouen els punts finals d'interval.
Funció exponencial i les seves variables
Per a cada resultat en tots els esdeveniments, finalment s'utilitza la segona propietat de la continuïtat de les probabilitats, que es considera axiomàtica. La llei de distribució de la funció d'una variable aleatòria mostra aquí que cadascuna té la seva pròpia solució i resposta.
