Les figures de revolució en geometria reben una atenció especial a l'hora d'estudiar-ne les característiques i propietats. Un d'ells és un tronc de con. Aquest article pretén respondre a la pregunta de quina fórmula es pot utilitzar per calcular l'àrea d'un tronc de con.
De quina xifra estem parlant?
Abans de descriure l'àrea d'un tronc de con, cal donar una definició geomètrica exacta d'aquesta figura. Aquest con és truncat, que s'obté com a resultat de tallar el vèrtex d'un con ordinari per un pla. En aquesta definició, cal destacar una sèrie de matisos. En primer lloc, el pla de secció ha de ser paral·lel al pla de la base del con. En segon lloc, la figura original ha de ser un con circular. Per descomptat, pot ser una figura el·líptica, hiperbòlica i d'un altre tipus, però en aquest article ens limitarem a considerar només un con circular. Aquest últim es mostra a la figura següent.
És fàcil endevinar que es pot obtenir no només amb l'ajuda d'una secció per un avió, sinó també amb l'ajuda d'una operació de rotació. PerPer fer-ho, cal agafar un trapezi que tingui dos angles rectes i girar-lo al voltant del costat adjacent a aquests angles rectes. Com a resultat, les bases del trapezi es convertiran en els radis de les bases del tronc de con, i el costat inclinat lateral del trapezi descriurà la superfície cònica.
Desenvolupament de formes
Tenint en compte la superfície d'un tronc de con, és útil portar el seu desenvolupament, és a dir, la imatge de la superfície d'una figura tridimensional en un pla. A continuació es mostra una exploració de la figura estudiada amb paràmetres arbitraris.
Es pot veure que l'àrea de la figura està formada per tres components: dos cercles i un segment circular truncat. Òbviament, per determinar l'àrea requerida, cal sumar les àrees de totes les figures esmentades. Anem a resoldre aquest problema al paràgraf següent.
Àrea de tronc de con
Per facilitar la comprensió del raonament següent, introduïm la notació següent:
- r1, r2 - radis de les bases grans i petites respectivament;
- h - alçada de la figura;
- g - generatriu del con (la longitud del costat oblic del trapezi).
L'àrea de les bases d'un tronc de con és fàcil de calcular. Escrivim les expressions corresponents:
So1=pir12;
So2=pir22.
L'àrea d'una part d'un segment circular és una mica més difícil de determinar. Si imaginem que el centre d'aquest sector circular no està retallat, aleshores el seu radi serà igual al valor G. No és difícil calcular-lo si tenim en compte el corresponenttriangles de con rectangles semblants. És igual a:
G=r1g/(r1-r2).
Llavors, l'àrea de tot el sector circular, que està construït sobre el radi G i que es basa en un arc de longitud 2pir1, serà igual a:
S1=pir1G=pir1 2g/(r1-r2).
Ara determinem l'àrea del petit sector circular S2, que caldrà restar de S1. És igual a:
S2=pir2(G - g)=pir2 (r1g/(r1-r2) - g)=pir22g/(r1-r2 ).
L'àrea de la superfície truncada cònica Sb és igual a la diferència entre S1 i S 2. Obtenim:
Sb=S1- S2=pir 12g/(r1-r2) - pi r22g/(r1-r2)=pig(r1+r2).
Malgrat alguns càlculs complicats, hem obtingut una expressió bastant senzilla per a l'àrea de la superfície lateral de la figura.
Afegim les àrees de les bases i Sb, arribem a la fórmula de l'àrea d'un tronc de con:
S=So1+ So2+ Sb=pir 12 + pir22 + pig (r1+r2).
Per tant, per calcular el valor de S de la figura estudiada, cal conèixer els seus tres paràmetres lineals.
Problema d'exemple
Con recte circularamb un radi de 10 cm i una alçada de 15 cm es va tallar per un plànol de manera que s'obté un tronc de con regular. Sabent que la distància entre les bases de la figura truncada és de 10 cm, cal trobar la seva superfície.
Per utilitzar la fórmula per a l'àrea d'un tronc de con, cal trobar tres dels seus paràmetres. Un que coneixem:
r1=10 cm.
Els altres dos són fàcils de calcular si tenim en compte triangles rectangles similars, que s'obtenen com a resultat de la secció axial del con. Tenint en compte l'estat del problema, obtenim:
r2=105/15=3,33 cm.
Finalment, la guia del tronc de con g serà:
g=√(102+ (r1-r2) 2)=12,02 cm.
Ara podeu substituir els valors r1, r2 i g a la fórmula per a S:
S=pir12+ pir2 2+ pig(r1+r2)=851,93 cm 2.
La superfície desitjada de la figura és d'aproximadament 852 cm2.
