Àrea de la superfície d'un prisma recte: fórmules i un exemple de problema

2024 Autora: Angel Austin | [email protected]. Última modificació: 2024-01-02 17:43

El volum i la superfície són dues característiques importants de qualsevol cos que tingui dimensions finites en l'espai tridimensional. En aquest article, considerem una classe coneguda de poliedres: prismes. En particular, es revelarà la qüestió de com trobar l'àrea superficial d'un prisma recte.

Què és un prisma?

Un prisma és qualsevol políedre que està limitat per diversos paral·lelograms i dos polígons idèntics situats en plans paral·lels. Aquests polígons es consideren les bases de la figura, i els seus paral·lelograms són els costats. El nombre de costats (cantonades) de la base determina el nom de la figura. Per exemple, la figura següent mostra un prisma pentagonal.

La distància entre les bases s'anomena alçada de la figura. Si l'alçada és igual a la longitud de qualsevol vora lateral, aquest prisma serà recte. La segona característica suficient per a un prisma recte és que tots els seus costats són rectangles o quadrats. Si, peròSi un costat és un paral·lelogram general, la figura s'inclinarà. A continuació podeu veure com els prismes rectes i oblics difereixen visualment en l'exemple de figures quadrangulars.

Àrea de la superfície d'un prisma recte

Si una figura geomètrica té una base n-gonal, aleshores consta de n+2 cares, n de les quals són rectangles. Denotem les longituds dels costats de la base com a_i, on i=1, 2, …, n, i denotem l'alçada de la figura, que és igual a la longitud de la vora lateral, com h. Per determinar l'àrea (S) de la superfície de totes les cares, afegeix l'àrea S_{o de cadascuna de les bases i totes les àrees dels costats (rectangles). Així, la fórmula per a S en forma general es pot escriure de la següent manera:}

S=2S_o+ S_b

On S_{b és la superfície lateral.}

Com que la base d'un prisma recte pot ser absolutament qualsevol polígon pla, no es pot donar una fórmula única per calcular S_{oi per determinar aquest valor, en general cas, s'hauria de fer una anàlisi geomètrica. Per exemple, si la base és un n-gon regular amb el costat a, la seva àrea es calcula amb la fórmula:}

S_o=n/4ctg(pi/n)a²

Pel que fa al valor de S_{b, es pot donar l'expressió per al seu càlcul. L'àrea de la superfície lateral d'un prisma recte és:}

S_b=h∑_i=1(a_i)

És a dir, el valorS_{b es calcula com el producte de l'alçada de la figura i el perímetre de la seva base.}

Exemple de resolució de problemes

Aplicarem els coneixements adquirits per resoldre el següent problema geomètric. Donat un prisma, la base del qual és un triangle rectangle amb costats en angle recte de 5 cm i 7 cm. L'alçada de la figura és de 10 cm. Cal trobar l'àrea superficial d'un prisma triangular rectangular.

Primer, calculem la hipotenusa del triangle. Serà igual a:

c=√(5²+ 7^{2)=8,6 cm}

Ara fem una operació matemàtica preparatòria més: calculeu el perímetre de la base. Serà:

P=5 + 7 + 8,6=20,6 cm

L'àrea de la superfície lateral de la figura es calcula com el producte del valor P i l'alçada h=10 cm, és a dir, S_b=206 cm ^2.

Per trobar l'àrea de tota la superfície, cal afegir dues àrees base al valor trobat. Com que l'àrea d'un triangle rectangle està determinada per la meitat del producte dels catets, obtenim:

2S_o=257/2=35 cm²

Llavors obtenim que l'àrea superficial d'un prisma triangular recte és 35 + 206=241 cm2.