Un sistema mecànic que consisteix en un punt material (cos) penjat d'un fil inextensible sense pes (la seva massa és insignificant en comparació amb el pes del cos) en un camp de gravetat uniforme s'anomena pèndol matemàtic (un altre nom és un oscil·lador). Hi ha altres tipus d'aquest dispositiu. En lloc d'un fil, es pot utilitzar una vareta sense pes. Un pèndol matemàtic pot revelar clarament l'essència de molts fenòmens interessants. Amb una petita amplitud d'oscil·lació, el seu moviment s'anomena harmònic.
Visió general del sistema mecànic
La fórmula per al període d'oscil·lació d'aquest pèndol va ser derivada pel científic holandès Huygens (1629-1695). Aquest contemporani d'I. Newton era molt aficionat a aquest sistema mecànic. El 1656 va crear el primer rellotge de pèndol. Van mesurar el temps amb excepcióper a la precisió d'aquells temps. Aquest invent s'ha convertit en una fita important en el desenvolupament d'experiments físics i activitats pràctiques.
Si el pèndol està en equilibri (penja verticalment), aleshores la força de gravetat s'equilibrarà amb la força de la tensió del fil. Un pèndol pla sobre un fil inextensible és un sistema amb dos graus de llibertat amb connexió. Quan canvieu només un component, les característiques de totes les seves parts canvien. Per tant, si el fil es substitueix per una vareta, aquest sistema mecànic només tindrà 1 grau de llibertat. Quines són les propietats d'un pèndol matemàtic? En aquest sistema més simple, el caos sorgeix sota la influència d'una pertorbació periòdica. En el cas en què el punt de suspensió no es mou, sinó que oscil·la, el pèndol té una nova posició d'equilibri. Amb ràpides oscil·lacions amunt i avall, aquest sistema mecànic adquireix una posició estable cap per avall. També té el seu propi nom. S'anomena pèndol de Kapitza.
Propietats del pèndol
El pèndol matemàtic té propietats molt interessants. Tots ells es confirmen per lleis físiques conegudes. El període d'oscil·lació de qualsevol altre pèndol depèn de diverses circumstàncies, com ara la mida i la forma del cos, la distància entre el punt de suspensió i el centre de gravetat, la distribució de la massa relativa a aquest punt. És per això que determinar el període d'un cos penjat és una tasca força difícil. És molt més fàcil calcular el període d'un pèndol matemàtic, la fórmula del qual es donarà a continuació. Com a resultat d'observacions similarsels sistemes mecànics poden establir els patrons següents:
• Si, mantenint la mateixa longitud del pèndol, pengem diferents pesos, aleshores el període de les seves oscil·lacions serà el mateix, encara que les seves masses variaran molt. Per tant, el període d'aquest pèndol no depèn de la massa de la càrrega.
• En iniciar el sistema, si el pèndol es desvia per angles no massa grans, sinó diferents, començarà a oscil·lar amb el mateix període, però amb diferents amplituds. Mentre les desviacions del centre d'equilibri no siguin massa grans, les oscil·lacions en la seva forma seran força properes a les harmòniques. El període d'aquest pèndol no depèn de cap manera de l'amplitud de l'oscil·lació. Aquesta propietat d'aquest sistema mecànic s'anomena isocronisme (traduït del grec "chronos" - temps, "isos" - igual).
Període del pèndol matemàtic
Aquest indicador representa el període d'oscil·lacions naturals. Malgrat la complexa redacció, el procés en si és molt senzill. Si la longitud del fil d'un pèndol matemàtic és L i l'acceleració de la caiguda lliure és g, aquest valor és:
T=2π√L/g
El període de petites oscil·lacions naturals no depèn de cap manera de la massa del pèndol i de l'amplitud de les oscil·lacions. En aquest cas, el pèndol es mou com un pèndol matemàtic amb una longitud reduïda.
Oscil·lacions del pèndol matemàtic
Un pèndol matemàtic oscil·la, que es pot descriure mitjançant una equació diferencial simple:
x + ω2 sin x=0, on x (t) és una funció desconeguda (aquest és l'angle de desviació de la part inferiorposició d'equilibri en el temps t, expressada en radians); ω és una constant positiva, que es determina a partir dels paràmetres del pèndol (ω=√g/L, on g és l'acceleració de caiguda lliure i L és la longitud del pèndol matemàtic (suspensió).
L'equació de petites fluctuacions prop de la posició d'equilibri (equació harmònica) té aquest aspecte:
x + ω2 sin x=0
Moviments oscil·latoris del pèndol
Un pèndol matemàtic que fa petites oscil·lacions es mou al llarg d'una sinusoide. L'equació diferencial de segon ordre compleix tots els requisits i paràmetres d'aquest moviment. Per determinar la trajectòria, cal especificar la velocitat i la coordenada, a partir de les quals es determinen constants independents:
x=A sin (θ0 + ωt), on θ0 és la fase inicial, A és l'amplitud de l'oscil·lació, ω és la freqüència cíclica determinada a partir de l'equació del moviment.
Pèndol matemàtic (fórmules per a grans amplituds)
Aquest sistema mecànic, que fa les seves oscil·lacions amb una amplitud important, obeeix lleis de moviment més complexes. Per a aquest pèndol, es calculen amb la fórmula:
sin x/2=usn(ωt/u), on sn és el sinus de Jacobi, que per a u < 1 és una funció periòdica, i per a u petita coincideix amb un sinus trigonomètric simple. El valor de u ve determinat per l'expressió següent:
u=(ε + ω2)/2ω2, on ε=E/mL2 (mL2 és l'energia del pèndol).
Determinació del període d'oscil·lació d'un pèndol no linealrealitzat segons la fórmula:
T=2π/Ω, on Ω=π/2ω/2K(u), K és la integral el·líptica, π - 3, 14.
Moviment del pèndol al llarg de la separadora
Una separatriu és una trajectòria d'un sistema dinàmic amb un espai de fase bidimensional. El pèndol matemàtic es mou al seu llarg de manera no periòdica. En un moment de temps infinitament llunyà, cau des de la posició extrema superior cap al costat amb velocitat zero i després l'agafa gradualment. Finalment s'atura i torna a la seva posició original.
Si l'amplitud de les oscil·lacions del pèndol s'acosta al nombre π, això indica que el moviment en el pla de fase s'acosta a la separadora. En aquest cas, sota l'acció d'una petita força periòdica motriu, el sistema mecànic presenta un comportament caòtic.
Quan el pèndol matemàtic es desvia de la posició d'equilibri amb un cert angle φ, sorgeix una força tangencial de gravetat Fτ=–mg sin φ. El signe menys significa que aquesta component tangencial està dirigida en sentit contrari a la deflexió del pèndol. Quan el desplaçament del pèndol al llarg de l'arc de cercle de radi L es denota amb x, el seu desplaçament angular és igual a φ=x/L. La segona llei d'Isaac Newton, dissenyada per a projeccions del vector acceleració i la força, donarà el valor desitjat:
mg τ=Fτ=–mg sin x/L
A partir d'aquesta relació, és evident que aquest pèndol és un sistema no lineal, ja que la força que pretén tornara la posició d'equilibri, sempre és proporcional no al desplaçament x, sinó a sin x/L.
Només quan el pèndol matemàtic fa petites oscil·lacions, és un oscil·lador harmònic. En altres paraules, esdevé un sistema mecànic capaç de realitzar vibracions harmòniques. Aquesta aproximació és pràcticament vàlida per a angles de 15 a 20°. Les oscil·lacions del pèndol amb grans amplituds no són harmòniques.
Llei de Newton per a petites oscil·lacions d'un pèndol
Si aquest sistema mecànic realitza petites vibracions, la segona llei de Newton tindrà aquest aspecte:
mg τ=Fτ=–m g/L x.
A partir d'això, podem concloure que l'acceleració tangencial del pèndol matemàtic és proporcional al seu desplaçament amb un signe menys. Aquesta és la condició per la qual el sistema es converteix en un oscil·lador harmònic. El mòdul del guany proporcional entre el desplaçament i l'acceleració és igual al quadrat de la freqüència circular:
ω02=g/L; ω0=√ g/L.
Aquesta fórmula reflecteix la freqüència natural de petites oscil·lacions d'aquest tipus de pèndol. En base a això, T=2π/ ω0=2π√ g/L.
Càlculs basats en la llei de conservació de l'energia
Les propietats dels moviments oscil·latoris del pèndol també es poden descriure mitjançant la llei de conservació de l'energia. En aquest cas, cal tenir en compte que l'energia potencial del pèndol en el camp gravitatori és:
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
Energia mecànica totalés igual al potencial cinètic o màxim: Epmax=Ekmsx=E
Després d'escriure la llei de conservació de l'energia, pren la derivada dels costats dret i esquerre de l'equació:
Ep + Ek=const
Com que la derivada de valors constants és 0, aleshores (Ep + Ek)'=0. La derivada de la suma és igual a la suma de les derivades:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mv α, per tant:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m α)=0.
A partir de l'última fórmula, trobem: α=- g/Lx.
Aplicació pràctica del pèndol matemàtic
L'acceleració de la caiguda lliure varia amb la latitud geogràfica, ja que la densitat de l'escorça terrestre a tot el planeta no és la mateixa. Quan hi hagi roques amb una densitat més alta, serà una mica més alta. L'acceleració d'un pèndol matemàtic s'utilitza sovint per a l'exploració geològica. S'utilitza per buscar diversos minerals. Simplement comptant el nombre de balanceigs del pèndol, podeu trobar carbó o mineral a les entranyes de la Terra. Això es deu al fet que aquests fòssils tenen una densitat i una massa més grans que les roques soltes que hi ha sota.
El pèndol matemàtic va ser utilitzat per científics tan destacats com Sòcrates, Aristòtil, Plató, Plutarc, Arquimedes. Molts d'ells creien que aquest sistema mecànic podria influir en el destí i la vida d'una persona. Arquimedes va utilitzar un pèndol matemàtic en els seus càlculs. Avui en dia, molts ocultistes i psíquicsutilitzar aquest sistema mecànic per complir les seves profecies o buscar persones desaparegudes.
El famós astrònom i naturalista francès K. Flammarion també va utilitzar un pèndol matemàtic per a la seva recerca. Va afirmar que amb la seva ajuda va poder predir el descobriment d'un nou planeta, l'aparició del meteorit Tunguska i altres esdeveniments importants. Durant la Segona Guerra Mundial a Alemanya (Berlín) va funcionar un Institut de pèndol especialitzat. Avui, l'Institut de Parapsicologia de Munic es dedica a una investigació similar. Els empleats d'aquesta institució anomenen el seu treball amb el pèndol "radiestèsia".
