Crec que hauríem de començar amb la història d'una eina matemàtica tan gloriosa com les equacions diferencials. Com tot el càlcul diferencial i integral, aquestes equacions van ser inventades per Newton a finals del segle XVII. Va considerar tan important aquest descobriment seu que fins i tot va xifrar el missatge, que avui es pot traduir com això: "Totes les lleis de la naturalesa es descriuen per equacions diferencials". Això pot semblar una exageració, però és cert. Amb aquestes equacions es pot descriure qualsevol llei de la física, la química o la biologia.
Els matemàtics Euler i Lagrange van fer una gran contribució al desenvolupament i creació de la teoria de les equacions diferencials. Ja al segle XVIII van descobrir i desenvolupar el que ara estan estudiant als cursos superiors de les universitats.
Una nova fita en l'estudi de les equacions diferencials va començar gràcies a Henri Poincaré. Va crear una "teoria qualitativa de les equacions diferencials", que, en combinació amb la teoria de les funcions d'una variable complexa, va fer una contribució significativa a la fundació de la topologia: la ciència de l'espai i la sevapropietats.
Què són les equacions diferencials?
Moltes persones tenen por d'una frase "equació diferencial". Tanmateix, en aquest article detallarem tota l'essència d'aquest aparell matemàtic tan útil, que en realitat no és tan complicat com sembla pel nom. Per començar a parlar d'equacions diferencials de primer ordre, primer hauríeu de familiaritzar-vos amb els conceptes bàsics que estan inherentment relacionats amb aquesta definició. I començarem amb el diferencial.
Diferencial
Molts coneixen aquest concepte des de l'escola. Tanmateix, mirem-ho més de prop. Imagineu un gràfic d'una funció. Podem augmentar-lo fins a tal punt que qualsevol dels seus segments prendrà forma de línia recta. Sobre ell agafem dos punts que estan infinitament a prop l'un de l' altre. La diferència entre les seves coordenades (x o y) serà un valor infinitesimal. S'anomena diferencial i es denota amb els signes dy (diferencial de y) i dx (diferencial de x). És molt important entendre que el diferencial no és un valor finit, i aquest és el seu significat i la seva funció principal.
I ara hem de considerar el següent element, que ens serà útil per explicar el concepte d'equació diferencial. Aquesta és la derivada.
Derivada
Probablement tots hem sentit a l'escola i aquest concepte. Es diu que la derivada és la taxa de creixement o disminució d'una funció. Tanmateix, a partir d'aquesta definicióqueda molt poc clar. Intentem explicar la derivada en termes de diferencials. Tornem a un segment infinitesimal d'una funció amb dos punts que es troben a una distància mínima l'un de l' altre. Però fins i tot per aquesta distància, la funció aconsegueix canviar en certa mesura. I per descriure aquest canvi, van idear una derivada, que d' altra manera es pot escriure com una relació de diferencials: f(x)'=df/dx.
Ara val la pena considerar les propietats bàsiques de la derivada. Només n'hi ha tres:
- La derivada de la suma o diferència es pot representar com la suma o diferència de les derivades: (a+b)'=a'+b' i (a-b)'=a'-b'.
- La segona propietat està relacionada amb la multiplicació. La derivada d'un producte és la suma dels productes d'una funció i la derivada d'una altra: (ab)'=a'b+ab'.
- La derivada de la diferència es pot escriure com la igu altat següent: (a/b)'=(a'b-ab')/b2.
Totes aquestes propietats seran útils per trobar solucions a les equacions diferencials de primer ordre.
També hi ha derivades parcials. Suposem que tenim una funció z que depèn de les variables x i y. Per calcular la derivada parcial d'aquesta funció, per exemple, respecte a x, hem de prendre la variable y com a constant i simplement diferenciar-la.
Integral
Un altre concepte important és la integral. De fet, això és el contrari directe de la derivada. Hi ha diversos tipus d'integrals, però per resoldre les equacions diferencials més simples necessitem les integrals indefinides més trivials.
Aleshores, què és una integral? Suposem que tenim certa dependència fde x. Agafem la integral i obtenim la funció F (x) (sovint anomenada antiderivada), la derivada de la qual és igual a la funció original. Així F(x)'=f(x). També es dedueix que la integral de la derivada és igual a la funció original.
Quan resoleu equacions diferencials, és molt important entendre el significat i la funció de la integral, ja que les haureu de prendre molt sovint per trobar la solució.
Les equacions són diferents segons la seva naturalesa. A la següent secció, considerarem els tipus d'equacions diferencials de primer ordre i després aprendrem a resoldre'ls.
Classes d'equacions diferencials
"Diffury" es divideix segons l'ordre dels derivats que hi intervenen. Així, hi ha el primer, segon, tercer i més ordre. També es poden dividir en diverses classes: derivades ordinàries i derivades parcials.
En aquest article considerarem les equacions diferencials ordinàries de primer ordre. També parlarem d'exemples i maneres de resoldre'ls en els apartats següents. Considerarem només les EDO, perquè aquests són els tipus d'equacions més comuns. Els ordinaris es divideixen en subespècies: amb variables separables, homogènies i heterogènies. A continuació, aprendràs com es diferencien entre si i com resoldre'ls.
A més, aquestes equacions es poden combinar, de manera que després obtenim un sistema d'equacions diferencials de primer ordre. També considerarem aquests sistemes i aprendrem a resoldre'ls.
Per què considerem només la primera comanda? Perquè cal començar per un de senzill, i descriure tot allò relacionat amb el diferencialequacions, en un article és simplement impossible.
Equacions de variables separables
Aquestes són potser les equacions diferencials de primer ordre més senzilles. Aquests inclouen exemples que es poden escriure així: y'=f(x)f(y). Per resoldre aquesta equació, necessitem una fórmula per representar la derivada com a raó de diferencials: y'=dy/dx. Utilitzant-lo, obtenim l'equació següent: dy/dx=f(x)f(y). Ara podem recórrer al mètode per resoldre exemples estàndard: dividirem les variables en parts, és a dir, ho traslladarem tot amb la variable y a la part on es troba dy, i farem el mateix amb la variable x. Obtenim una equació de la forma: dy/f(y)=f(x)dx, que es resol prenent les integrals d'ambdues parts. No us oblideu de la constant que cal establir després de prendre la integral.
La solució de qualsevol "difusió" és una funció de la dependència de x sobre y (en el nostre cas) o, si hi ha una condició numèrica, la resposta és en forma de nombre. Analitzem tot el curs de la solució utilitzant un exemple concret:
y'=2ysin(x)
Mou variables en diferents direccions:
dy/y=2sin(x)dx
Ara prenem integrals. Tots es poden trobar en una taula especial d'integrals. I obtenim:
ln(y)=-2cos(x) + C
Si cal, podem expressar "y" en funció de "x". Ara podem dir que la nostra equació diferencial es resol si no es dóna cap condició. Es pot donar una condició, per exemple, y(n/2)=e. Aleshores simplement substituïm el valor d'aquestes variables a la solució itrobar el valor de la constant. En el nostre exemple, és igual a 1.
Equacions diferencials homogènies de primer ordre
Ara a la part més difícil. Les equacions diferencials homogènies de primer ordre es poden escriure en forma general de la següent manera: y'=z(x, y). Cal tenir en compte que la funció correcta de dues variables és homogènia i no es pot dividir en dues dependències: z sobre x i z sobre y. Comprovar si l'equació és homogènia o no és ben senzill: fem la substitució x=kx i y=ky. Ara cancel·lem tots els k. Si totes aquestes lletres es redueixen, aleshores l'equació és homogènia i podeu procedir a resoldre-la amb seguretat. De cara al futur, diguem: el principi per resoldre aquests exemples també és molt senzill.
Hem de fer una substitució: y=t(x)x, on t és una funció que també depèn de x. Aleshores podem expressar la derivada: y'=t'(x)x+t. Substituint tot això a la nostra equació original i simplificant-la, obtenim un exemple amb variables separables t i x. Ho resolem i obtenim la dependència t(x). Quan ho tenim, simplement substituïm y=t(x)x al nostre reemplaçament anterior. Aleshores obtenim la dependència de y de x.
Per fer-ho més clar, mirem un exemple: xy'=y-xey/x.
Quan comproveu amb substitució, tot es redueix. Per tant, l'equació és realment homogènia. Ara fem una altra substitució de la qual hem parlat: y=t(x)x i y'=t'(x)x+t(x). Després de la simplificació, obtenim l'equació següent: t'(x)x=-et. Resolem l'exemple resultant amb variables separades i obtenim: e-t=ln(Cx). Només necessitem substituir t per y/x (després de tot, si y=tx, aleshores t=y/x) i obtenimresposta: e-y/x=ln(xC).
Equacions diferencials lineals de primer ordre
És hora d'un altre gran tema. Analitzarem equacions diferencials no homogènies de primer ordre. En què es diferencien dels dos anteriors? Anem a esbrinar-ho. Les equacions diferencials lineals de primer ordre en forma general es poden escriure de la següent manera: y' + g(x)y=z(x). Val la pena aclarir que z(x) i g(x) poden ser constants.
I ara un exemple: y' - yx=x2.
Hi ha dues maneres de resoldre'l, i tractarem ambdues per ordre. El primer és el mètode de variació de constants arbitràries.
Per resoldre l'equació d'aquesta manera, primer has d'equiparar el costat dret a zero i resoldre l'equació resultant, que després de moure les parts prendrà la forma:
y'=yx;
dy/dx=yx;
dy/y=xdx;
ln|y|=x2/2 + C;
y=ex2/2yC=C1ex2/2.
Ara hem de substituir la constant C1 per la funció v(x) que hem de trobar.
y=vex2/2.
Canviem la derivada:
y'=v'ex2/2-xvex2/2.
I substitueix aquestes expressions a l'equació original:
v'ex2/2 - xvex2/2 + xvex2 /2 =x2.
Podeu veure que dos termes es cancel·len al costat esquerre. Si en algun exemple això no va passar, aleshores heu fet alguna cosa malament. Continuar:
v'ex2/2 =x2.
Ara resolem l'equació habitual en la qual hem de separar les variables:
dv/dx=x2/ex2/2;
dv=x2e-x2/2dx.
Per extreure la integral, aquí hem d'aplicar la integració per parts. Tanmateix, aquest no és el tema del nostre article. Si esteu interessats, podeu aprendre a realitzar aquestes accions vos altres mateixos. No és difícil, i amb prou habilitat i atenció no es necessita gaire temps.
Passem al segon mètode de resolució d'equacions no homogènies: el mètode de Bernoulli. Depèn de tu quin enfocament és més ràpid i més fàcil.
Per tant, quan resolem l'equació amb aquest mètode, hem de fer una substitució: y=kn. Aquí k i n són algunes funcions dependents de x. Aleshores, la derivada tindrà aquest aspecte: y'=k'n+kn'. Substitueix les dues substitucions a l'equació:
k'n+kn'+xkn=x2.
Grup:
k'n+k(n'+xn)=x2.
Ara hem d'equiparar a zero el que hi ha entre parèntesis. Ara, si combineu les dues equacions resultants, obtindreu un sistema d'equacions diferencials de primer ordre que heu de resoldre:
n'+xn=0;
k'n=x2.
La primera igu altat es resol com una equació normal. Per fer-ho, heu de separar les variables:
dn/dx=xv;
dn/n=xdx.
Agafeu la integral i obteniu: ln(n)=x2/2. Aleshores, si expressem n:
n=ex2/2.
Ara substituïm la igu altat resultant a la segona equació del sistema:
k'ex2/2=x2.
I transformant, obtenim la mateixa igu altat que en el primer mètode:
dk=x2/ex2/2.
Tampoc farem més passos. Val a dir que al principi la solució d'equacions diferencials de primer ordre provoca dificultats importants. Tanmateix, a mesura que aprofundeixes en el tema, comença a millorar i millorar.
On s'utilitzen les equacions diferencials?
Les equacions diferencials s'utilitzen molt activament en física, ja que gairebé totes les lleis bàsiques s'escriuen en forma diferencial, i les fórmules que veiem són la solució d'aquestes equacions. En química s'utilitzen pel mateix motiu: se'n deriven lleis bàsiques. En biologia, les equacions diferencials s'utilitzen per modelar el comportament de sistemes, com ara depredador-presa. També es poden utilitzar per crear models de reproducció de, per exemple, una colònia de microorganismes.
Com ajudaran les equacions diferencials a la vida?
La resposta a aquesta pregunta és senzilla: de cap manera. Si no sou un científic o enginyer, és poc probable que us siguin útils. Tanmateix, per al desenvolupament general, no està de més saber què és una equació diferencial i com es resol. I després la pregunta d'un fill o filla "què és una equació diferencial?" no et confondrà. Bé, si sou un científic o un enginyer, llavors vostè mateix entén la importància d'aquest tema en qualsevol ciència. Però el més important és que ara la pregunta "com resoldre una equació diferencial de primer ordre?" sempre pots respondre. D'acord, sempre és agradablequan enteneu el que la gent té por d'entendre.
Problemes d'aprenentatge principals
El principal problema per entendre aquest tema és la poca habilitat per integrar i diferenciar funcions. Si sou dolents per prendre derivades i integrals, probablement hauríeu d'aprendre més, dominar diferents mètodes d'integració i diferenciació i només llavors començar a estudiar el material que es descriu a l'article.
Algunes persones es sorprenen quan s'assabenten que dx es pot transferir, perquè abans (a l'escola) es deia que la fracció dy/dx és indivisible. Aquí heu de llegir la literatura sobre la derivada i entendre que és la relació de quantitats infinitesimals que es poden manipular en resoldre equacions.
Molts no s'adonen immediatament que la solució d'equacions diferencials de primer ordre és sovint una funció o una integral que no es pot prendre, i aquest engany els genera molts problemes.
Què més es pot estudiar per a una millor comprensió?
El millor és començar una immersió més profunda en el món del càlcul diferencial amb llibres de text especialitzats, per exemple, en càlcul per a estudiants d'especialitats no matemàtiques. A continuació, podeu passar a una literatura més especialitzada.
S'ha de dir que, a més de les equacions diferencials, també hi ha equacions integrals, així que sempre tindreu alguna cosa per intentar i alguna cosa per estudiar.
Conclusió
Ho esperem després de llegirAquest article us va donar una idea de què són les equacions diferencials i de com resoldre-les correctament.
En qualsevol cas, les matemàtiques ens seran útils d'alguna manera a la vida. Desenvolupa la lògica i l'atenció, sense les quals cada persona és com sense mans.
