Fins i tot a l'escola, tots vam estudiar equacions i, per descomptat, sistemes d'equacions. Però no molta gent sap que hi ha diverses maneres de resoldre'ls. Avui analitzarem amb detall tots els mètodes per resoldre un sistema d'equacions algebraiques lineals, que consta de més de dues igu altats.
Història
Avui se sap que l'art de resoldre equacions i els seus sistemes es va originar a l'antiga Babilònia i Egipte. Tanmateix, les igu altats en la seva forma habitual van aparèixer després de l'aparició del signe igual "=", que va ser introduït el 1556 pel matemàtic anglès Record. Per cert, aquest signe es va triar per una raó: significa dos segments iguals paral·lels. De fet, no hi ha millor exemple d'igu altat.
El fundador de les designacions de lletres modernes d'incògnites i signes de graus és el matemàtic francès François Viet. Tanmateix, les seves designacions difereixen significativament de les actuals. Per exemple, denotava el quadrat d'un nombre desconegut amb la lletra Q (lat. "quadratus"), i el cub amb la lletra C (lat. "cubus"). Aquestes designacions ara semblen incòmodes, però aleshoresera la manera més entenedora d'escriure sistemes d'equacions algebraiques lineals.
No obstant això, el desavantatge dels mètodes de solució d'aleshores era que els matemàtics només consideraven les arrels positives. Potser això es deu al fet que els valors negatius no tenien cap utilitat pràctica. D'una manera o d'una altra, van ser els matemàtics italians Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano i Rafael Bombelli els primers a considerar les arrels negatives al segle XVI. I l'aspecte modern, el principal mètode per resoldre equacions quadràtiques (a través del discriminant) es va crear només al segle XVII gràcies al treball de Descartes i Newton.
A mitjans del segle XVIII, el matemàtic suís Gabriel Cramer va trobar una nova manera de facilitar la resolució de sistemes d'equacions lineals. Aquest mètode va rebre el seu nom posteriorment i fins avui el fem servir. Però parlarem del mètode Cramer una mica més endavant, però de moment parlarem d'equacions lineals i mètodes per resoldre-les per separat del sistema.
Equacions lineals
Les equacions lineals són les igu altats més senzilles amb variable(s). Es classifiquen com a algebraics. Les equacions lineals s'escriuen en forma general de la següent manera: 2+…a x =b. Necessitarem la seva representació d'aquesta forma quan compilem sistemes i matrius més.
Sistemes d'equacions algebraiques lineals
La definició d'aquest terme és aquesta: és un conjunt d'equacions que tenen incògnites comunes i una solució comuna. Per regla general, a l'escola tot es decidia per sistemesamb dues o fins i tot tres equacions. Però hi ha sistemes amb quatre o més components. Primer descobrim com anotar-los perquè sigui convenient resoldre'ls més tard. En primer lloc, els sistemes d'equacions algebraiques lineals es veuran millor si totes les variables s'escriuen com a x amb l'índex adequat: 1, 2, 3, etc. En segon lloc, totes les equacions s'han de reduir a la forma canònica: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
Després de tots aquests passos, podem començar a parlar de com trobar una solució als sistemes d'equacions lineals. Les matrius seran molt útils per a això.
Matrius
Una matriu és una taula que consta de files i columnes, i els seus elements es troben a la seva intersecció. Aquests poden ser valors o variables específics. Molt sovint, per designar elements, s'hi col·loquen subíndexs (per exemple, a11 o a23). El primer índex significa el número de fila i el segon el número de columna. A les matrius, així com a qualsevol altre element matemàtic, podeu realitzar diverses operacions. Així que podeu:
1) Resta i suma taules de la mateixa mida.
2) Multiplica una matriu per algun nombre o vector.
3) Transposició: converteix les files de la matriu en columnes i les columnes en files.
4) Multiplica matrius si el nombre de files d'una d'elles és igual al nombre de columnes de l' altra.
Comentarem totes aquestes tècniques amb més detall, ja que ens seran útils en el futur. Restar i sumar matrius és molt fàcil. Tancom prenem matrius de la mateixa mida, llavors cada element d'una taula correspon a cada element d'una altra. Així, sumem (restarem) aquests dos elements (és important que estiguin en els mateixos llocs de les seves matrius). Quan multipliqueu una matriu per un nombre o vector, només heu de multiplicar cada element de la matriu per aquest nombre (o vector). La transposició és un procés molt interessant. De vegades és molt interessant veure-ho a la vida real, per exemple, quan es canvia l'orientació d'una tauleta o un telèfon. Les icones de l'escriptori són una matriu i, quan canvieu de posició, es transposa i s'ample, però disminueix en alçada.
Fem una altra ullada a un procés com ara la multiplicació de matrius. Tot i que no ens serà útil, encara ens serà útil conèixer-lo. Només podeu multiplicar dues matrius si el nombre de columnes d'una taula és igual al nombre de files de l' altra. Ara prenem els elements d'una fila d'una matriu i els elements de la columna corresponent d'una altra. Els multipliquem entre si i després els sumem (és a dir, per exemple, el producte dels elements a11 i a12 per b 12i b22 seran iguals a: a11b12 + a 12 b22). Així, s'obté un element de la taula i s'omple encara més mitjançant un mètode similar.
Ara podem començar a mirar com es resol el sistema d'equacions lineals.
Mètode Gauss
Aquest tema comença a passar fins i tot a l'escola. Coneixem bé el concepte de "sistema de dues equacions lineals" i sabem resoldre'ls. Però, què passa si el nombre d'equacions és més de dues? El mètode Gauss ens ajudarà amb això.
Per descomptat, aquest mètode és convenient utilitzar si feu una matriu del sistema. Però no pots transformar-lo i resoldre'l en la seva forma més pura.
Aleshores, com resol aquest mètode el sistema d'equacions lineals de Gauss? Per cert, tot i que aquest mètode porta el seu nom, es va descobrir en l'antiguitat. Gauss proposa el següent: realitzar operacions amb equacions per tal de reduir eventualment tot el conjunt a una forma esglaonada. És a dir, cal que de d alt a baix (si es col·loca correctament) de la primera a l'última equació, disminueixi una incògnita. En altres paraules, hem d'assegurar-nos que obtenim, per exemple, tres equacions: a la primera - tres incògnites, a la segona - dues, a la tercera - una. Aleshores, a partir de l'última equació, trobem la primera incògnita, substituïm el seu valor a la segona o primera equació i, a continuació, trobem les dues variables restants.
Mètode Cramer
Per dominar aquest mètode, és vital dominar les habilitats de suma, resta de matrius, i també cal poder trobar determinants. Per tant, si ho fas malament o no saps com fer-ho, hauràs d'aprendre i practicar.
Quina és l'essència d'aquest mètode i com fer-ho perquè s'obté un sistema d'equacions lineals de Cramer? Tot és molt senzill. Hem de construir una matriu a partir de coeficients numèrics (gairebé sempre) d'un sistema d'equacions algebraiques lineals. Per fer-ho, només cal agafar els números davant de les incògnites i ordenar-lostaula en l'ordre en què s'enregistren al sistema. Si el nombre va precedit d'un signe "-", anotem un coeficient negatiu. Així doncs, hem compilat la primera matriu a partir dels coeficients de les incògnites, sense incloure els nombres després dels signes iguals (naturalment, l'equació s'hauria de reduir a la forma canònica, quan només el nombre està a la dreta, i totes les incògnites amb coeficients a l'esquerra). Aleshores, heu de crear diverses matrius més, una per a cada variable. Per fer-ho, substituïm al seu torn cada columna amb coeficients de la primera matriu per una columna de nombres després del signe igual. Així, obtenim diverses matrius i després trobem els seus determinants.
Després d'haver trobat els determinants, la qüestió és petita. Tenim una matriu inicial, i hi ha diverses matrius resultants que corresponen a diferents variables. Per obtenir les solucions del sistema, dividim el determinant de la taula resultant pel determinant de la taula inicial. El nombre resultant és el valor d'una de les variables. De la mateixa manera, trobem totes les incògnites.
Altres mètodes
Hi ha diversos mètodes més per obtenir la solució de sistemes d'equacions lineals. Per exemple, l'anomenat mètode de Gauss-Jordan, que s'utilitza per trobar solucions a un sistema d'equacions quadràtiques i també s'associa amb l'ús de matrius. També hi ha un mètode de Jacobi per resoldre un sistema d'equacions algebraiques lineals. És el més fàcil d'adaptar a un ordinador i s'utilitza en informàtica.
Casos difícils
La complexitat sol produir-se quan el nombre d'equacions és menor que el nombre de variables. Aleshores podem dir amb seguretat que o el sistema és inconsistent (és a dir, no té arrels), o el nombre de les seves solucions tendeix a l'infinit. Si tenim el segon cas, hem d'escriure la solució general del sistema d'equacions lineals. Conté almenys una variable.
Conclusió
Aquí arribem al final. En resum: hem analitzat què són un sistema i una matriu, hem après a trobar una solució general a un sistema d'equacions lineals. A més, es van considerar altres opcions. Hem esbrinat com es resol el sistema d'equacions lineals: el mètode de Gauss i el mètode de Cramer. Hem parlat de casos difícils i d' altres maneres de trobar solucions.
De fet, aquest tema és molt més extens i, si el voleu entendre millor, us recomanem que llegiu literatura més especialitzada.
