Un dels temes més difícils i incomprensibles de les matemàtiques universitàries és la integració i el càlcul diferencial. Cal conèixer i entendre aquests conceptes, així com poder-los aplicar. Moltes disciplines tècniques universitàries estan lligades a diferencials i integrals.
Informació breu sobre les equacions
Aquestes equacions són un dels conceptes matemàtics més importants del sistema educatiu. Una equació diferencial és una equació que relaciona les variables independents, la funció que cal trobar i les derivades d'aquesta funció amb les variables que se suposa que són independents. El càlcul diferencial per trobar una funció d'una variable s'anomena ordinari. Si la funció desitjada depèn de diverses variables, es parla d'una equació diferencial parcial.
De fet, trobar una resposta determinada a l'equació es redueix a la integració, i el mètode de solució està determinat pel tipus d'equació.
Equacions de primer ordre
Una equació diferencial de primer ordre és una equació que pot descriure una variable, una funció desitjada i la seva primera derivada. Aquestes equacions es poden donar de tres formes: explícita, implícita, diferencial.
Conceptes necessaris per resoldre
Condició inicial: estableix el valor de la funció desitjada per a un valor determinat d'una variable que és independent.
Resolució d'una equació diferencial: qualsevol funció diferenciable, substituïda exactament a l'equació original, la converteix en idènticament igual. La solució obtinguda, que no és explícita, és la integral de l'equació.
La solució general de les equacions diferencials és una funció y=y(x;C), que pot satisfer els judicis següents:
- Una funció només pot tenir una constant arbitrària С.
- La funció resultant ha de ser una solució de l'equació per a qualsevol valor arbitrari d'una constant arbitrària.
- Amb una condició inicial determinada, una constant arbitrària es pot definir d'una manera única de manera que la solució particular resultant sigui coherent amb la condició inicial inicial donada.
A la pràctica, s'utilitza sovint el problema de Cauchy: trobar una solució particular que es pugui comparar amb la condició establerta al principi.
El teorema de Cauchy és un teorema que emfatitza l'existència i la singularitat d'una solució particular en el càlcul diferencial.
Sentit geomètric:
- Solució general y=y(x;C)l'equació és el nombre total de corbes integrals.
- El càlcul diferencial us permet connectar les coordenades d'un punt del pla XOY i la tangent dibuixada a la corba integral.
- Establir la condició inicial significa establir un punt a l'avió.
- Per resoldre el problema de Cauchy vol dir que de tot el conjunt de corbes integrals que representen la mateixa solució de l'equació, cal seleccionar l'única que passa per l'únic punt possible.
- El compliment de les condicions del teorema de Cauchy en un punt significa que una corba integral (a més, només una) passa necessàriament pel punt escollit en el pla.
Equació variable separable
Per definició, una equació diferencial és una equació on el seu costat dret descriu o es reflecteix com un producte (de vegades una relació) de dues funcions, una depenent només de "x" i l' altra - només de "y ". Un exemple clar d'aquest tipus: y'=f1(x)f2(y).
Per resoldre equacions d'una forma particular, primer heu de transformar la derivada y'=dy/dx. Aleshores, manipulant l'equació, cal portar-la a una forma on pugueu integrar les dues parts de l'equació. Després de les transformacions necessàries, integrem les dues parts i simplifiquem el resultat.
Equacions homogènies
Per definició, una equació diferencial es pot anomenar homogènia si té la forma següent: y'=g(y/x).
En aquest cas, la substitució y/x=s'utilitza més sovintt(x).
Per resoldre aquestes equacions, cal reduir una equació homogènia a una forma amb variables separables. Per fer-ho, heu de realitzar les operacions següents:
- Mostra, expressant la derivada de la funció original, a partir de qualsevol funció original com una nova equació.
- El següent pas és transformar la funció resultant a la forma f(x;y)=g(y/x). En paraules més senzilles, feu que l'equació contingui només la relació y/x i constants.
- Feu la substitució següent: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. La substitució feta ajudarà a dividir les variables de l'equació, fent-la progressivament a una forma més senzilla.
Equacions lineals
La definició d'aquestes equacions és la següent: una equació diferencial lineal és una equació on el seu costat dret s'expressa com una expressió lineal respecte a la funció original. La funció desitjada en aquest cas: y'=a(x)y + b(x).
Reformularem la definició de la següent manera: qualsevol equació de 1r ordre esdevindrà lineal en la seva forma si la funció original i la seva derivada s'inclouen a l'equació de primer grau i no es multipliquen entre si. La "forma clàssica" d'una equació diferencial lineal té l'estructura següent: y' + P(x)y=Q(x).
Abans de resoldre aquesta equació, s'hauria de convertir a la "forma clàssica". El següent pas serà l'elecció del mètode de solució: el mètode Bernoulli o el mètode Lagrange.
Resolució de l'equació ambutilitzant el mètode introduït per Bernoulli, implica la substitució i reducció d'una equació diferencial lineal a dues equacions amb variables separades relatives a les funcions U(x) i V(x), que es van donar en la seva forma original.
El mètode de Lagrange és trobar una solució general a l'equació original.
- Cal trobar la mateixa solució de l'equació homogènia. Després de cercar, tenim la funció y=y(x, C), on C és una constant arbitrària.
- Estem buscant una solució a l'equació original de la mateixa forma, però considerem C=C(x). Substituïm la funció y=y(x, C(x)) a l'equació original, trobem la funció C(x) i anotem la solució de l'equació original general.
Equació de Bernoulli
Equació de Bernoulli - si el costat dret del càlcul pren la forma f(x;y)=a(x)y + b(x)yk, on k és qualsevol valor numèric racional possible, sense prendre com a exemples de casos en què k=0 i k=1.
Si k=1, el càlcul esdevé separable, i quan k=0, l'equació roman lineal.
Considerem el cas general de resolució d'aquest tipus d'equacions. Tenim l'equació estàndard de Bernoulli. S'ha de reduir a una de lineal, per a això cal dividir l'equació per yk. Després d'aquesta operació, substituïu z(x)=y1-k. Després d'una sèrie de transformacions, l'equació es reduirà a una de lineal, més sovint pel mètode de substitució z=UV.
Equacions en diferencials totals
Definició. Una equació amb l'estructura P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 s'anomena equació completadiferencials, si es compleix la següent condició (en aquesta condició, "d" és una diferencial parcial): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
Totes les equacions diferencials de primer ordre considerades anteriorment es poden mostrar com a diferencials.
Aquests càlculs es resolen de diverses maneres. Però, però, tots comencen amb una comprovació de l'estat. Si es compleix la condició, aleshores la regió més a l'esquerra de l'equació és la diferencial total de la funció encara desconeguda U(x;y). Aleshores, d'acord amb l'equació, dU (x; y) serà igual a zero i, per tant, la mateixa integral de l'equació en diferencials totals es mostrarà en la forma U (x; y) u003d C. Per tant, la solució de l'equació es redueix a trobar la funció U (x; y).
Factor d'integració
Si la condició dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx no es compleix a l'equació, aleshores l'equació no té la forma que hem considerat anteriorment. Però de vegades és possible escollir alguna funció M(x;y), quan es multiplica per la qual l'equació pren la forma d'una equació en "diffs". La funció M (x;y) s'anomena factor d'integració.
Només es pot trobar un integrador quan es converteix en funció d'una sola variable.
