En física, la consideració de problemes amb cossos o sistemes en rotació que es troben en equilibri es realitza mitjançant el concepte de "moment de força". Aquest article considerarà la fórmula del moment de força, així com el seu ús per resoldre aquest tipus de problemes.
Moment de força en física
Com s'indica a la introducció, aquest article es centrarà en els sistemes que poden girar al voltant d'un eix o al voltant d'un punt. Considereu un exemple d'aquest model, que es mostra a la figura següent.
Veiem que la palanca grisa es fixa a l'eix de gir. Al final de la palanca hi ha un cub negre d'alguna massa, sobre el qual actua una força (fletxa vermella). És intuïtivament clar que el resultat d'aquesta força serà la rotació de la palanca al voltant de l'eix en sentit contrari a les agulles del rellotge.
El moment de la força és una magnitud en física, que és igual al producte vectorial del radi que connecta l'eix de rotació i el punt d'aplicació de la força (vector verd a la figura) i la força externa. mateix. És a dir, s'escriu la fórmula del moment de força sobre l'eixde la següent manera:
M¯=r¯F¯
El resultat d'aquest producte és el vector M¯. La seva direcció es determina a partir del coneixement dels vectors multiplicadors, és a dir, r¯ i F¯. Segons la definició de producte creuat, M¯ ha de ser perpendicular al pla format pels vectors r¯ i F¯, i dirigit d'acord amb la regla de la mà dreta (si es col·loquen quatre dits de la mà dreta al llarg del primer multiplicat). vector cap al final del segon, aleshores el polze indica cap a on es dirigeix el vector desitjat). A la figura, podeu veure cap a on es dirigeix el vector M¯ (fletxa blava).
Notació escalar M¯
A la figura del paràgraf anterior, la força (fletxa vermella) actua sobre la palanca amb un angle de 90o. En el cas general, es pot aplicar en qualsevol angle. Considereu la imatge següent.
Aquí veiem que la força F ja està actuant sobre la palanca L amb un angle determinat Φ. Per a aquest sistema, la fórmula del moment de força relatiu a un punt (mostrat amb una fletxa) en forma escalar tindrà la forma:
M=LFsin(Φ)
De l'expressió es dedueix que el moment de la força M serà més gran, com més propera estigui la direcció d'acció de la força F de l'angle 90o respecte a L Per contra, si F actua al llarg de L, aleshores sin(0)=0 i la força no crea cap moment (M=0).
Quan es considera el moment de la força en forma escalar, sovint s'utilitza el concepte de "palanca de força". Aquest valor és la distància entre l'eix (puntrotació) i el vector F. Aplicant aquesta definició a la figura anterior, podem dir que d=Lsin(Φ) és la palanca de força (la igu altat es desprèn de la definició de la funció trigonomètrica "sinus"). Mitjançant la palanca de força, la fórmula del moment M es pot reescriure de la següent manera:
M=dF
Significat físic de M
La magnitud física considerada determina la capacitat de la força externa F per exercir un efecte de rotació sobre el sistema. Per portar el cos en moviment de rotació, cal informar-lo d'algun moment M.
Un bon exemple d'aquest procés és obrir o tancar la porta d'una habitació. Sostenint la maneta, la persona fa un esforç i gira la porta sobre les seves frontisses. Tothom ho pot fer. Si intenteu obrir la porta actuant sobre ella prop de les frontisses, haureu de fer grans esforços per moure-la.
Un altre exemple és afluixar una femella amb una clau anglesa. Com més curta sigui aquesta clau, més difícil serà completar la tasca.
Les característiques indicades queden demostrades per la fórmula del moment de força sobre l'espatlla, que es va donar en el paràgraf anterior. Si M es considera un valor constant, com més petita d, més gran s'ha d'aplicar per crear un moment de força donat.
Diverses forces actuants al sistema
Els casos es van considerar anteriorment quan només una força F actua sobre un sistema capaç de rotar, però què passa si hi ha diverses forces d'aquest tipus? De fet, aquesta situació és més freqüent, ja que les forces poden actuar sobre el sistemanaturalesa diferent (gravitatòria, elèctrica, de fricció, mecànica i altres). En tots aquests casos, el moment de força M¯ resultant es pot obtenir utilitzant la suma vectorial de tots els moments Mi¯, és a dir:
M¯=∑i(Mi¯), on i és el nombre de força Fi
De la propietat de l'additivitat dels moments se'n desprèn una conclusió important, que s'anomena teorema de Varignon, que rep el nom del matemàtic de finals del segle XVII - principis del XVIII - el francès Pierre Varignon. Es diu: "La suma dels moments de totes les forces que actuen sobre el sistema considerat es pot representar com un moment d'una força, que és igual a la suma de totes les altres i s'aplica a un punt determinat". Matemàticament, el teorema es pot escriure de la següent manera:
∑i(Mi¯)=M¯=d∑i (Fi¯)
Aquest important teorema s'utilitza sovint a la pràctica per resoldre problemes sobre la rotació i l'equilibri dels cossos.
Funciona un moment de força?
Analitzant les fórmules anteriors en forma escalar o vectorial, podem concloure que el valor de M és un treball. De fet, la seva dimensió és Nm, que en SI correspon al joule (J). De fet, el moment de la força no és el treball, sinó només una quantitat que és capaç de fer-ho. Perquè això succeeixi, cal tenir un moviment circular en el sistema i una acció a llarg termini M. Per tant, la fórmula del treball del moment de la força s'escriu de la següent manera:
A=Mθ
BEn aquesta expressió, θ és l'angle pel qual es va fer la rotació pel moment de la força M. Com a resultat, la unitat de treball es pot escriure com Nmrad o Jrad. Per exemple, un valor de 60 Jrad indica que quan es gira 1 radià (aproximadament 1/3 del cercle), la força F que crea el moment M va fer 60 joules de treball. Aquesta fórmula s'utilitza sovint per resoldre problemes en sistemes on actuen les forces de fricció, tal com es mostrarà a continuació.
Moment de força i moment d'impuls
Com es mostra, l'impacte del moment M en el sistema fa que hi aparegui un moviment de rotació. Aquest últim es caracteritza per una quantitat anomenada "momentum". Es pot calcular amb la fórmula:
L=Iω
Aquí I és el moment d'inèrcia (un valor que juga el mateix paper en rotació que la massa en el moviment lineal del cos), ω és la velocitat angular, està relacionada amb la velocitat lineal per la fórmula ω=v/r.
Els dos moments (moment i força) estan relacionats entre si mitjançant l'expressió següent:
M=Iα, on α=dω / dt és l'acceleració angular.
Donem una altra fórmula que és important per resoldre problemes per al treball de moments de forces. Amb aquesta fórmula, podeu calcular l'energia cinètica d'un cos en rotació. Té aquest aspecte:
Ek=1/2Iω2
A continuació, presentem dos problemes amb solucions, on mostrem com utilitzar les fórmules físiques considerades.
Equilibri de diversos cossos
La primera tasca està relacionada amb l'equilibri d'un sistema en el qual actuen diverses forces. A laLa figura següent mostra un sistema sobre el qual actuen tres forces. Cal calcular quina massa s'ha de suspendre l'objecte d'aquesta palanca i en quin punt s'ha de fer perquè aquest sistema estigui en equilibri.
A partir de les condicions del problema, podem entendre que per resoldre'l s'ha d'utilitzar el teorema de Varignon. La primera part del problema es pot respondre immediatament, ja que el pes de l'objecte a penjar de la palanca serà:
P=F1 - F2 + F3=20 - 10 + 25=35 H
Els signes aquí es trien tenint en compte que la força que fa girar la palanca en sentit contrari a les agulles del rellotge crea un moment negatiu.
La posició del punt d, on s'ha de penjar aquest pes, es calcula amb la fórmula:
M1 - M2 + M3=dP=720 - 510 + 325=d35=> d=165/35=4, 714 m
Tingueu en compte que utilitzant la fórmula del moment de gravetat hem calculat el valor equivalent M del creat per tres forces. Perquè el sistema estigui en equilibri, cal suspendre un cos que pesi 35 N al punt 4, a 714 m de l'eix de l' altre costat de la palanca.
Problema amb el disc en moviment
La solució del següent problema es basa en l'ús de la fórmula del moment de la força de fregament i de l'energia cinètica del cos de revolució. Tasca: Donat un disc amb un radi de r=0,3 metres, que gira a una velocitat de ω=1 rad/s. Cal calcular fins a quin punt pot recórrer la superfície si el coeficient de fricció de rodament és Μ=0,001.
Aquest problema és més fàcil de resoldre si feu servir la llei de conservació de l'energia. Tenim l'energia cinètica inicial del disc. Quan comença a rodar, tota aquesta energia es gasta en escalfar la superfície a causa de l'acció de la força de fricció. Igualant ambdues quantitats, obtenim l'expressió:
Iω2/2=ΜN/rrθ
La primera part de la fórmula és l'energia cinètica del disc. La segona part és el treball del moment de la força de fregament F=ΜN/r, aplicat a la vora del disc (M=Fr).
Atès que N=mg i I=1/2mr2, calculem θ:
θ=mr2 ω2/(4Μmg)=r 2 ω2/(4Μ g)=0, 32 1 2/(40,0019,81)=2,29358 rad
Com que els radians de 2pi corresponen a la longitud de 2pir, obtenim que la distància necessària que recorrerà el disc és:
s=θr=2,293580,3=0,688 m o uns 69 cm
Tingueu en compte que la massa del disc no afecta aquest resultat.
