Aquest article se centrarà en una secció especial de matemàtiques anomenada combinatòria. Fórmules, regles, exemples de resolució de problemes: tot això ho podeu trobar aquí llegint l'article fins al final.
Aleshores, quina és aquesta secció? La combinatòria tracta el tema de comptar qualsevol objecte. Però en aquest cas, els objectes no són prunes, peres o pomes, sinó una altra cosa. La combinatòria ens ajuda a trobar la probabilitat d'un esdeveniment. Per exemple, quan es juga a cartes, quina és la probabilitat que l'oponent tingui una carta de triomf? O un exemple així: quina és la probabilitat que obtingueu exactament blanc d'una bossa de vint boles? És per a aquest tipus de tasques que hem de conèixer almenys els fonaments bàsics d'aquesta secció de matemàtiques.
Configuracions combinades
Tenint en compte el tema dels conceptes bàsics i les fórmules de la combinatòria, no podem deixar de parar atenció a les configuracions combinatòries. S'utilitzen no només per a la formulació, sinó també per resoldre diversos problemes combinatoris. Alguns exemples d'aquests models són:
- ubicació;
- permutació;
- combinació;
- composició de números;
- número dividit.
Més endavant parlarem dels tres primers amb més detall, però en aquesta secció prestarem atenció a la composició i la divisió. Quan parlen de la composició d'un nombre determinat (per exemple, a), es refereixen a la representació del nombre a com una suma ordenada d'alguns nombres positius. I una divisió és una suma no ordenada.
Seccions
Abans d'anar directament a les fórmules de la combinatòria i la consideració de problemes, val la pena parar atenció al fet que la combinatòria, com altres apartats de matemàtiques, té els seus propis subapartats. Aquests inclouen:
- enumeratiu;
- estructural;
- extrem;
- Teoria de Ramsey;
- probabilístic;
- topològic;
- infinit.
En el primer cas, estem parlant de combinatòria enumerativa, els problemes consideren l'enumeració o el recompte de diferents configuracions que estan formades per elements de conjunts. Com a regla general, s'imposen algunes restriccions a aquests conjunts (distingibilitat, indistingibilitat, possibilitat de repetició, etc.). I el nombre d'aquestes configuracions es calcula mitjançant la regla de la suma o la multiplicació, de la qual parlarem una mica més endavant. La combinatòria estructural inclou les teories de grafs i matroides. Un exemple de problema de combinatòria extrema és quina és la dimensió més gran d'un graf que compleix les propietats següents… En el quart paràgraf, hem esmentat la teoria de Ramsey, que estudia la presència d'estructures regulars en configuracions aleatòries. Probabilísticala combinatòria és capaç de respondre la pregunta: quina és la probabilitat que un conjunt determinat tingui una propietat determinada. Com podeu suposar, la combinatòria topològica aplica mètodes en topologia. I, finalment, el setè punt: la combinatòria infinita estudia l'aplicació dels mètodes combinatoris a conjunts infinits.
Regla d'addició
Entre les fórmules de la combinatòria, se'n poden trobar de força senzilles, amb les quals estem familiaritzats des de fa temps. Un exemple és la regla de la suma. Suposem que ens donen dues accions (C i E), si s'exclouen mútuament, l'acció C es pot fer de diverses maneres (per exemple, a) i l'acció E es pot fer de maneres b, llavors qualsevol d'elles (C). o E) es pot fer de maneres a + b.
En teoria, això és força difícil d'entendre, intentarem transmetre tot el punt amb un exemple senzill. Prenem el nombre mitjà d'alumnes d'una classe, diguem que són vint-i-cinc. Entre ells hi ha quinze noies i deu nois. Cada dia s'assigna un assistent a la classe. De quantes maneres hi ha d'assignar un assistent de classe avui? La solució al problema és bastant simple, recorrerem a la regla de la suma. El text de la tasca no diu que només els nois o només les noies puguin estar de guàrdia. Per tant, podria ser qualsevol de les quinze noies o qualsevol dels deu nois. Aplicant la regla de la suma, obtenim un exemple força senzill que un alumne de primària pot afrontar fàcilment: 15 + 10. Un cop calculat, obtenim la resposta: vint-i-cinc. És a dir, només hi ha vint-i-cinc maneresassigneu una classe de servei per avui.
Regla de multiplicació
La regla de la multiplicació també pertany a les fórmules bàsiques de la combinatòria. Comencem per la teoria. Suposem que necessitem realitzar diverses accions (a): la primera acció es realitza d'una manera, la segona - de 2 maneres, la tercera - de 3 maneres, i així successivament fins que l'última a-acció es realitza de dues maneres. Aleshores, totes aquestes accions (de les quals tenim un total) es poden realitzar de N maneres. Com calcular la desconeguda N? La fórmula ens ajudarà amb això: N \u003d c1c2c3…ca.
Un cop més, no hi ha res clar en teoria, passem a un exemple senzill d'aplicació de la regla de multiplicació. Prenem la mateixa classe de vint-i-cinc persones, en què estudien quinze noies i deu nois. Només que aquesta vegada hem d'escollir dos assistents. Poden ser només nens o nenes, o un nen amb una nena. Passem a la solució elemental del problema. Escollim el primer assistent, tal com vam decidir en el darrer paràgraf, en tenim vint-i-cinc opcions possibles. La segona persona de guàrdia pot ser qualsevol de les persones restants. Vam tenir vint-i-cinc alumnes, vam triar un, això vol dir que qualsevol de les vint-i-quatre persones restants pot ser la segona de torn. Finalment, apliquem la regla de la multiplicació i trobem que els dos assistents es poden triar de sis-centes maneres. Hem obtingut aquest nombre multiplicant vint-i-cinc per vint-i-quatre.
Canvi
Ara considerarem una fórmula combinatòria més. En aquesta secció de l'article, nos altresParlem de permutacions. Considereu el problema immediatament amb un exemple. Agafem boles de billar, en tenim n-è. Hem de calcular: quantes opcions hi ha per disposar-los en fila, és a dir, per fer un conjunt ordenat.
Comencem, si no tenim pilotes, també tenim zero opcions de col·locació. I si tenim una bola, llavors la disposició també és la mateixa (matemàticament, això es pot escriure de la següent manera: Р1=1). Es poden disposar dues boles de dues maneres diferents: 1, 2 i 2, 1. Per tant, Р2=2. Es poden disposar tres boles de sis maneres (Р3=6): 1, 2, 3; 1, 3, 2; 2, 1, 3; 2, 3, 1; 3, 2, 1; 3, 1, 2. I si no n'hi ha tres, sinó deu o quinze? Llistar totes les opcions possibles és molt llarg, llavors la combinatòria ens ajuda. La fórmula de permutació ens ajudarà a trobar la resposta a la nostra pregunta. Pn=nP(n-1). Si intentem simplificar la fórmula, obtenim: Pn=n (n - 1) … 21. I aquest és el producte dels primers nombres naturals. Aquest nombre s'anomena factorial i es denota com n!
Considerem el problema. El líder cada matí construeix el seu destacament en fila (vint persones). Hi ha tres millors amics al destacament: Kostya, Sasha i Lesha. Quina és la probabilitat que estiguin l'un al costat de l' altre? Per trobar la resposta a la pregunta, cal dividir la probabilitat d'un "bon" resultat pel nombre total de resultats. El nombre total de permutacions és de 20!=2,5 quintilions. Com comptar el nombre de resultats "bons"? Suposem que Kostya, Sasha i Lesha són un superhome. Aleshores nos altresNomés tenim divuit assignatures. El nombre de permutacions en aquest cas és 18=6,5 quadrilions. Amb tot això, Kostya, Sasha i Lesha es poden moure arbitràriament entre ells en el seu triple indivisible, i això són 3 més!=6 opcions. Així que tenim 18 constel·lacions "bones" en total! 3! Només hem de trobar la probabilitat desitjada: (18!3!) / 20! Que és aproximadament 0,016. Si es converteix en un percentatge, només és de l'1,6%.
Allotjament
Ara considerarem una altra fórmula combinatòria molt important i necessària. L'allotjament és el nostre proper número, que us suggerim que considereu en aquesta secció de l'article. Ens complicarem més. Suposem que volem considerar possibles permutacions, només que no de tot el conjunt (n), sinó d'un de més petit (m). És a dir, considerem permutacions de n elements per m.
Les fórmules bàsiques de la combinatòria no només s'han de memoritzar, sinó enteses. Fins i tot malgrat que es tornen més complicats, ja que no tenim un paràmetre, sinó dos. Suposem que m \u003d 1, després A \u003d 1, m \u003d 2, després A \u003d n(n - 1). Si simplifiquem encara més la fórmula i canviem a la notació mitjançant factorials, obtenim una fórmula força concisa: A \u003d n! / (n - m)!
Combinació
Hem considerat gairebé totes les fórmules bàsiques de la combinatòria amb exemples. Ara passem a l'etapa final de considerar el curs bàsic de combinatòria: conèixer la combinació. Ara triarem m elements entre els n que tenim, mentre que els triarem tots de totes les maneres possibles. Aleshores, en què és diferent això de l'allotjament? No ho faremconsiderar l'ordre. Aquest conjunt no ordenat serà una combinació.
Introduïu immediatament la notació: C. Agafem col·locacions de m boles de n. Deixem de parar atenció a l'ordre i obtenim combinacions repetides. Per obtenir el nombre de combinacions, hem de dividir el nombre de col·locacions per m! (m factorial). És a dir, C \u003d A / m! Per tant, hi ha algunes maneres de triar entre n boles, aproximadament iguals a quantes per triar gairebé tot. Hi ha una expressió lògica per a això: triar una mica és el mateix que llençar gairebé tot. També és important esmentar en aquest punt que es pot aconseguir el nombre màxim de combinacions quan s'intenta seleccionar la meitat dels elements.
Com triar una fórmula per resoldre un problema?
Hem examinat amb detall les fórmules bàsiques de la combinatòria: col·locació, permutació i combinació. Ara la nostra tasca és facilitar l'elecció de la fórmula necessària per resoldre el problema en combinatòria. Podeu utilitzar el següent esquema força senzill:
- Pregunta't: es té en compte l'ordre dels elements al text del problema?
- Si la resposta és no, utilitzeu la fórmula de combinació (C=n! / (m!(n - m)!)).
- Si la resposta és no, heu de respondre una pregunta més: s'inclouen tots els elements a la combinació?
- Si la resposta és sí, feu servir la fórmula de permutació (P=n!).
- Si la resposta és no, feu servir la fórmula d'assignació (A=n! / (n - m)!).
Exemple
Hem considerat els elements de la combinatòria, les fórmules i algunes altres qüestions. Ara passem aconsiderant un problema real. Imagina que tens un kiwi, una taronja i un plàtan davant teu.
Pregunta 1: de quantes maneres es poden reorganitzar? Per fer-ho, utilitzem la fórmula de permutació: P=3!=6 maneres.
Pregunta segona: de quantes maneres es pot triar una fruita? Això és obvi, només tenim tres opcions: trieu kiwi, taronja o plàtan, però apliquem la fórmula de combinació: C \u003d 3! / (2!1!)=3.
Pregunta tercera: de quantes maneres es poden triar dues fruites? Quines opcions tenim? kiwi i taronja; kiwi i plàtan; taronja i plàtan. És a dir, tres opcions, però això és fàcil de comprovar amb la fórmula de combinació: C \u003d 3! / (1!2!)=3
Pregunta quarta: de quantes maneres es poden triar tres fruites? Com podeu veure, només hi ha una manera de triar tres fruites: prendre un kiwi, una taronja i un plàtan. C=3! / (0!3!)=1.
Pregunta 5: de quantes maneres pots triar almenys una fruita? Aquesta condició implica que podem prendre una, dues o les tres fruites. Per tant, afegim C1 + C2 + C3=3 + 3 + 1=7. És a dir, tenim set maneres de treure almenys una peça de fruita de la taula.
