Tot alumne sap que el quadrat de la hipotenusa és sempre igual a la suma dels catets, cadascun dels quals és al quadrat. Aquesta afirmació s'anomena teorema de Pitàgores. És un dels teoremes més famosos de la trigonometria i de les matemàtiques en general. Considereu-ho amb més detall.
El concepte de triangle rectangle
Abans de procedir a considerar el teorema de Pitàgores, en el qual el quadrat de la hipotenusa és igual a la suma dels catets que són quadrats, hauríem de considerar el concepte i les propietats d'un triangle rectangle, per al qual el teorema és vàlid.
Triangle és una figura plana amb tres angles i tres costats. Un triangle rectangle, com el seu nom indica, té un angle recte, és a dir, aquest angle és 90o.
A partir de les propietats generals de tots els triangles, se sap que la suma dels tres angles d'aquesta figura és 180o, el que significa que per a un triangle rectangle la suma de dos angles que no són rectes, és 180o -90o=90o. L'últim fet significa que qualsevol angle d'un triangle rectangle que no sigui un angle recte sempre serà inferior a 90o.
El costat oposat a l'angle recte s'anomena hipotenusa. Els altres dos costats són els catets del triangle, poden ser iguals entre si, o poden diferir. Per la trigonometria se sap que com més gran és l'angle contra el qual es troba un costat en un triangle, més gran serà la longitud d'aquest costat. Això vol dir que en un triangle rectangle la hipotenusa (es troba davant de l'angle 90o) sempre serà més gran que qualsevol dels catets (es troba davant dels angles < 90o).).
Notació matemàtica del teorema de Pitàgores
Aquest teorema diu que el quadrat de la hipotenusa és igual a la suma dels catets, cadascun dels quals està prèviament al quadrat. Per escriure aquesta formulació matemàticament, considereu un triangle rectangle en què els costats a, b i c són els dos catets i la hipotenusa, respectivament. En aquest cas, el teorema, que s'enuncia com el quadrat de la hipotenusa és igual a la suma dels quadrats dels catets, es pot representar amb la fórmula següent: c2=a 2 + b 2. A partir d'aquí, es poden obtenir altres fórmules importants per a la pràctica: a=√(c2 - b2), b=√(c 2 - a2) i c=√(a2 + b2).
Tingueu en compte que en el cas d'un triangle equilàter rectangle, és a dir, a=b, la formulació: el quadrat de la hipotenusa és igual a la suma dels catets, cadascun dels qualsquadrat, escrit matemàticament com: c2=a2 + b2=2a 2, que implica la igu altat: c=a√2.
Antecedents històrics
El teorema de Pitàgores, que diu que el quadrat de la hipotenusa és igual a la suma dels catets, cadascun dels quals és al quadrat, era conegut molt abans que el famós filòsof grec hi prestés atenció. Molts papirs de l'antic Egipte, així com tauletes d'argila dels babilonis, confirmen que aquests pobles utilitzaven la propietat assenyalada dels costats d'un triangle rectangle. Per exemple, una de les primeres piràmides egípcies, la piràmide de Kefrén, la construcció de la qual es remunta al segle 26 aC (2000 anys abans de la vida de Pitàgores), es va construir a partir del coneixement de la relació d'aspecte en un triangle rectangle de 3x4x5.
Per què ara el teorema rep el nom d'un grec? La resposta és senzilla: Pitàgores és el primer a demostrar matemàticament aquest teorema. Els escrits babilònics i egipcis supervivents només mencionen el seu ús, però no proporcionen cap prova matemàtica.
Es creu que Pitàgores va demostrar el teorema en qüestió utilitzant les propietats de triangles similars, que va obtenir dibuixant una alçada en un triangle rectangle des de l'angle 90o a la hipotenusa.
Un exemple d'ús del teorema de Pitàgores
Considereu un problema senzill: cal determinar la longitud d'una escala inclinada L, si se sap que té una alçada H=3metres, i la distància des de la paret contra la qual es recolza l'escala fins al seu peu és P=2,5 metres.
En aquest cas, H i P són els catets, i L és la hipotenusa. Com que la longitud de la hipotenusa és igual a la suma dels quadrats dels catets, obtenim: L2=H2 + P 2, d'on L=√(H2 + P2)=√(3 2 + 2, 5 2)=3,905 metres o 3 metres i 90,5 cm.
