Un triangle és un polígon amb tres costats (tres cantons). Molt sovint, els costats es denoten amb lletres minúscules, corresponents a les majúscules que denoten vèrtexs oposats. En aquest article, ens familiaritzarem amb els tipus d'aquestes formes geomètriques, el teorema que determina quina és la suma dels angles d'un triangle.
Vistes per angles
Es distingeixen els següents tipus de polígons amb tres vèrtexs:
- d'angle agut, en què totes les cantonades són afilades;
- rectangular, amb un angle recte, mentre que els costats que el formen s'anomenen catets, i el costat que està situat oposat a l'angle recte s'anomena hipotenusa;
- obtús quan una cantonada és obtúsa;
- isòsceles, en què dos costats són iguals, i s'anomenen laterals, i el tercer és la base del triangle;
- equilàter, amb els tres costats iguals.
Propietats
Destaquen les principals propietats característiques de cada tipus de triangle:
- al costat del costat més gran sempre hi ha un angle més gran, i viceversa;
- costs oposats de la mateixa mida són angles iguals, i viceversa;
- qualsevol triangle té dos angles aguts;
- una cantonada exterior és més gran que qualsevol cantonada interior no adjacent a ella;
- la suma de dos angles qualsevol és sempre inferior a 180 graus;
- canton exterior és igual a la suma de les altres dues cantonades que no s'intersequen amb ella.
Teorema de la suma d'angles del triangle
El teorema diu que si sumeu tots els angles d'una figura geomètrica determinada, que es troba en el pla euclidià, aleshores la seva suma serà de 180 graus. Intentem demostrar aquest teorema.
Tindrem un triangle arbitrari amb vèrtexs de KMN.
A través del vèrtex M dibuixa una recta paral·lela a la recta KN (aquesta línia també s'anomena recta euclidiana). Hi marquem el punt A de manera que els punts K i A estiguin situats a diferents costats de la recta MN. Tenim angles iguals AMN i KNM, que, com els interns, es troben transversals i estan formats per la secant MN juntament amb les rectes KN i MA, que són paral·leles. D'això se'n dedueix que la suma dels angles del triangle situat als vèrtexs M i H és igual a la mida de l'angle KMA. Els tres angles formen la suma, que és igual a la suma dels angles KMA i MKN. Com que aquests angles són interiors unilaterals respecte arectes paral·leles KN i MA amb una secant KM, la seva suma és de 180 graus. Teorema demostrat.
Conseqüència
El corol·lari següent es desprèn del teorema demostrat anteriorment: qualsevol triangle té dos angles aguts. Per demostrar-ho, suposem que una figura geomètrica donada només té un angle agut. També es pot suposar que cap dels angles és agut. En aquest cas, ha d'haver com a mínim dos angles iguals o superiors a 90 graus. Però aleshores la suma dels angles serà superior a 180 graus. Però això no pot ser, perquè segons el teorema, la suma dels angles d'un triangle és de 180 °, ni més ni menys. Això és el que s'havia de demostrar.
Propietat cantonera exterior
Quina és la suma dels angles d'un triangle que són externs? Aquesta pregunta es pot respondre de dues maneres. La primera és que cal trobar la suma dels angles, que es prenen un a cada vèrtex, és a dir, tres angles. El segon implica que cal trobar la suma dels sis angles als vèrtexs. Primer, anem a tractar amb la primera opció. Per tant, el triangle conté sis cantonades externes, dues a cada vèrtex.
Cada parella té els mateixos angles perquè són verticals:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
A més, se sap que l'angle extern d'un triangle és igual a la suma de dos angles interns que no es tallen amb ell. Per tant, ∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
A partir d'això resulta que la suma de l'exteriorles cantonades, que es prenen una a cada vèrtex, seran iguals a:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
Atès que la suma dels angles és de 180 graus, es pot argumentar que ∟A + ∟B + ∟C=180°. I això vol dir que ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360°. Si s'utilitza la segona opció, la suma dels sis angles serà, respectivament, el doble de gran. És a dir, la suma dels angles externs del triangle serà:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°.
Triangle dret
Quina és la suma dels angles aguts d'un triangle rectangle? La resposta a aquesta pregunta, de nou, es desprèn del teorema, que estableix que els angles en un triangle sumen 180 graus. I la nostra afirmació (propietat) sona així: en un triangle rectangle, els angles aguts sumen 90 graus. Demostrem la seva veracitat.
Donem-nos un triangle KMN, en el qual ∟Н=90°. Cal demostrar que ∟K + ∟M=90°.
Així, segons el teorema de la suma dels angles ∟К + ∟М + ∟Н=180°. La nostra condició diu que ∟Н=90°. Així doncs, resulta que ∟K + ∟M + 90°=180°. És a dir, ∟K + ∟M=180° - 90°=90°. Això és el que havíem de demostrar.
A més de les propietats anteriors d'un triangle rectangle, podeu afegir el següent:
- angles que es troben contra les cames són aguts;
- la hipotenusa és triangular més que qualsevol dels catets;
- la suma dels catets és més gran que la hipotenusa;
- camaun triangle que es troba davant d'un angle de 30 graus és la meitat de la hipotenusa, és a dir, igual a la meitat.
Com una altra propietat d'aquesta figura geomètrica, es pot distingir el teorema de Pitàgores. Ella afirma que en un triangle amb un angle de 90 graus (rectangular), la suma dels quadrats dels catets és igual al quadrat de la hipotenusa.
La suma dels angles d'un triangle isòsceles
Abans dèiem que isòsceles és un polígon amb tres vèrtexs, que conté dos costats iguals. Aquesta propietat d'una figura geomètrica donada és coneguda: els angles a la seva base són iguals. Demostrem-ho.
Preneu el triangle KMN, que és isòsceles, KN és la seva base.
Estem obligats a demostrar que ∟К=∟Н. Per tant, diguem que MA és la bisectriu del nostre triangle KMN. El triangle MCA, tenint en compte el primer signe d'igu altat, és igual al triangle MCA. És a dir, per condició es dóna que KM=NM, MA és un costat comú, ∟1=∟2, ja que MA és una bisectriu. Utilitzant el fet que aquests dos triangles són iguals, podem afirmar que ∟K=∟Н. Així que es demostra el teorema.
Però ens interessa quina és la suma dels angles d'un triangle (isòsceles). Com que en aquest sentit no té peculiaritats pròpies, partirem del teorema considerat anteriorment. És a dir, podem dir que ∟K + ∟M + ∟H=180°, o 2 x ∟K + ∟M=180° (ja que ∟K=∟H). No demostrarem aquesta propietat, ja que el teorema de la suma del triangle es va demostrar abans.
Excepte com s'ha comentatpropietats sobre els angles d'un triangle, també hi ha afirmacions tan importants:
- en un triangle isòsceles, l'alçada que s'ha baixat fins a la base és tant la mediana, la bisectriu de l'angle que hi ha entre costats iguals, com l'eix de simetria de la seva base;
- medianes (bisectrius, alçades) que es dibuixen als costats d'aquesta figura geomètrica són iguals.
Les
Triangle equilàter
També s'anomena dret, és el triangle amb tots els costats iguals. Per tant, els angles també són iguals. Cada un té 60 graus. Demostrem aquesta propietat.
Suposem que tenim un triangle KMN. Sabem que KM=NM=KN. I això vol dir que segons la propietat dels angles situats a la base d'un triangle isòsceles, ∟К=∟М=∟Н. Com que, segons el teorema, la suma dels angles d'un triangle és ∟К + ∟М + ∟Н=180°, aleshores 3 x ∟К=180° o ∟К=60°, ∟М=60°, ∟ Í=60°. Així, l'afirmació es demostra.
Com podeu veure a la demostració anterior basada en el teorema, la suma dels angles d'un triangle equilàter, com la suma dels angles de qualsevol altre triangle, és de 180 graus. No cal tornar a demostrar aquest teorema.
També hi ha aquestes propietats característiques d'un triangle equilàter:
- mediana, bisectriu, alçada en aquesta figura geomètrica són les mateixes i la seva longitud es calcula com (a x √3): 2;
- si descriu un cercle al voltant d'un polígon determinat, llavors el seu radi seràés igual a (a x √3): 3;
- si inscriu una circumferència en un triangle equilàter, el seu radi serà (a x √3): 6;
- l'àrea d'aquesta figura geomètrica es calcula amb la fórmula: (a2 x √3): 4.
Triangle angulat
Segons la definició de triangle obtús, un dels seus angles està entre 90 i 180 graus. Però tenint en compte que els altres dos angles d'aquesta figura geomètrica són aguts, podem concloure que no superen els 90 graus. Per tant, el teorema de la suma d'angles del triangle funciona quan es calcula la suma d'angles en un triangle obtús. Resulta que podem dir amb seguretat, basant-nos en el teorema esmentat anteriorment, que la suma dels angles d'un triangle obtus és de 180 graus. Un cop més, aquest teorema no s'ha de tornar a demostrar.
