Un dels axiomes de la geometria diu que a través de dos punts qualsevol és possible traçar una sola recta. Aquest axioma testifica que hi ha una expressió numèrica única que descriu de manera única l'objecte geomètric unidimensional especificat. Considereu a l'article la qüestió de com escriure l'equació d'una recta que passa per dos punts.
Què és un punt i una línia?
Abans de plantejar-nos la qüestió de construir en l'espai i en el pla una recta d'una equació que passa per un parell de punts diferents, cal definir els objectes geomètrics especificats.
Un punt està determinat de manera única per un conjunt de coordenades en un sistema determinat d'eixos de coordenades. A més d'ells, no hi ha més característiques per al punt. És un objecte de dimensió zero.
Quan es parla d'una línia recta, cada persona s'imagina una línia representada en un full de paper blanc. Al mateix temps, és possible donar una definició geomètrica exactaaquest objecte. Una recta és un conjunt de punts per als quals la connexió de cadascun d'ells amb tots els altres donarà un conjunt de vectors paral·lels.
Aquesta definició s'utilitza quan s'estableix l'equació vectorial d'una línia recta, que es comentarà a continuació.
Com que qualsevol línia es pot marcar amb un segment de longitud arbitrària, es diu que és un objecte geomètric unidimensional.
Funció vectorial de números
Una equació passant per dos punts d'una recta que passa es pot escriure de diferents formes. En espais tridimensionals i bidimensionals, l'expressió numèrica principal i intuïtivament comprensible és un vector.
Suposem que hi ha algun segment dirigit u¯(a; b; c). A l'espai 3D, el vector u¯ pot començar en qualsevol punt, de manera que les seves coordenades defineixen un conjunt infinit de vectors paral·lels. Tanmateix, si triem un punt específic P(x0; y0; z0) i posem com el començament del vector u¯, aleshores, multiplicant aquest vector per un nombre real arbitrari λ, es poden obtenir tots els punts d'una recta en l'espai. És a dir, l'equació vectorial s'escriurà com:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Òbviament, per al cas a l'avió, la funció numèrica pren la forma:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
L'avantatge d'aquest tipus d'equacions respecte a les altres (en segments, canònics,forma general) rau en el fet que conté explícitament les coordenades del vector de direcció. Aquest últim s'utilitza sovint per determinar si les línies són paral·leles o perpendiculars.
General en segments i funció canònica per a una línia recta en un espai bidimensional
En resoldre problemes, de vegades cal escriure l'equació d'una recta que passa per dos punts en una forma determinada i específica. Per tant, s'han de donar altres maneres d'especificar aquest objecte geomètric en l'espai bidimensional (per simplificar, considerem el cas en el pla).
Comencem amb una equació general. Té la forma:
Ax + By + C=0
Per regla general, en el pla l'equació d'una recta s'escriu d'aquesta forma, només y es defineix explícitament mitjançant x.
Ara transformeu l'expressió anterior de la següent manera:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
Aquesta expressió s'anomena equació en segments, ja que el denominador de cada variable mostra quant de temps es talla el segment de línia en l'eix de coordenades corresponent en relació amb el punt de partida (0; 0).
Queda per donar un exemple de l'equació canònica. Per fer-ho, escrivim la igu altat vectorial explícitament:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Expressem el paràmetre λ a partir d'aquí i igualem les igu altats resultants:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
La darrera igu altat s'anomena equació en forma canònica o simètrica.
Cadascun d'ells es pot convertir a vector i viceversa.
L'equació d'una recta que passa per dos punts: una tècnica de compilació
Torna a la pregunta de l'article. Suposem que hi ha dos punts a l'espai:
M(x1; y1; z1) i N(x 2; y2; z2)
Per ells passa l'única recta, l'equació de la qual és molt fàcil de compondre en forma vectorial. Per fer-ho, calculem les coordenades del segment dirigit MN¯, tenim:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
No és difícil endevinar que aquest vector serà la guia de la recta, l'equació de la qual s'ha d'obtenir. Sabent que també passa per M i N, podeu utilitzar les coordenades de qualsevol d'elles per a una expressió vectorial. Llavors l'equació desitjada pren la forma:
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
Per al cas de l'espai bidimensional, obtenim una igu altat similar sense la participació de la variable z.
Tan aviat com s'escriu la igu altat vectorial de la línia, es pot traduir a qualsevol altra forma que requereixi la qüestió del problema.
Tasca:escriu una equació general
Se sap que una recta passa pels punts amb coordenades (-1; 4) i (3; 2). Cal compondre l'equació d'una recta que els passa, de forma general, expressant y en termes de x.
Per resoldre el problema, primer escrivim l'equació en forma vectorial. Les coordenades vectorials (guia) són:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
Llavors, la forma vectorial de l'equació de la recta és la següent:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
Queda per escriure-ho en forma general en la forma y(x). Reescriurem aquesta igu altat explícitament, expressem el paràmetre λ i l'excloem de l'equació:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=> λ=(4 anys)/2;
(x+1)/4=(4 anys)/2
A partir de l'equació canònica resultant, expressem y i arribem a la resposta a la pregunta del problema:
y=-0,5x + 3,5
La validesa d'aquesta igu altat es pot comprovar substituint les coordenades dels punts especificats a l'enunciat del problema.
Problema: una línia recta que passa pel centre del segment
Ara resolem un problema interessant. Suposem que es donen dos punts M(2; 1) i N(5; 0). Se sap que una recta passa pel punt mitjà del segment que uneix els punts i és perpendicular a aquest. Escriu l'equació d'una recta que passa pel mig del segment en forma vectorial.
L'expressió numèrica desitjada es pot formar calculant la coordenada d'aquest centre i determinant el vector de direcció, queel segment fa un angle 90o.
El punt mitjà del segment és:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
Ara calculem les coordenades del vector MN¯:
MN¯=N - M=(3; -1)
Com que el vector de direcció de la línia desitjada és perpendicular a MN¯, el seu producte escalar és igual a zero. Això us permet calcular les coordenades desconegudes (a; b) del vector de direcció:
a3 - b=0=>
b=3a
Ara escriu l'equació vectorial:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
Aquí hem substituït el producte aλ per un nou paràmetre β.
Així, hem fet l'equació d'una recta que passa pel centre del segment.
