Un concepte important en matemàtiques és una funció. Amb la seva ajuda, podeu visualitzar molts processos que ocorren a la natura, reflectir la relació entre determinades quantitats mitjançant fórmules, taules i imatges en un gràfic. Un exemple és la dependència de la pressió d'una capa líquida sobre un cos de la profunditat d'immersió, l'acceleració -de l'acció d'una determinada força sobre un objecte, l'augment de la temperatura- de l'energia transmesa i molts altres processos. L'estudi d'una funció implica la construcció d'un gràfic, l'aclaració de les seves propietats, l'abast i els valors, els intervals d'augment i disminució. Un punt important en aquest procés és trobar els punts extrems. Sobre com fer-ho bé i la conversa continuarà.
Sobre el concepte en si en un exemple concret
En medicina, traçar un gràfic de funcions pot indicar el progrés d'una mal altia en el cos d'un pacient, reflectint visualment la seva condició. Suposem que el temps en dies es representa al llarg de l'eix OX i la temperatura del cos humà es representa al llarg de l'eix OY. La figura mostra clarament com aquest indicador augmenta bruscament illavors cau. També és fàcil notar punts singulars que reflecteixen els moments en què la funció, havent augmentat prèviament, comença a disminuir, i viceversa. Aquests són els punts extrems, és a dir, els valors crítics (màxim i mínim) en aquest cas de la temperatura del pacient, després dels quals es produeixen canvis en el seu estat.
Angle d'inclinació
És fàcil determinar a partir de la figura com canvia la derivada d'una funció. Si les rectes del gràfic augmenten amb el temps, aleshores és positiu. I com més inclinades són, més gran és el valor de la derivada, a mesura que augmenta l'angle d'inclinació. Durant els períodes de disminució, aquest valor pren valors negatius, tornant a zero en els punts extrems, i la gràfica de la derivada en aquest últim cas es dibuixa paral·lela a l'eix OX.
Qualsevol altre procés s'ha de tractar de la mateixa manera. Però el millor d'aquest concepte pot indicar el moviment de diversos cossos, que es mostra clarament als gràfics.
Moviment
Suposem que algun objecte es mou en línia recta, guanyant velocitat de manera uniforme. Durant aquest període, el canvi en les coordenades del cos representa gràficament una determinada corba, que un matemàtic anomenaria branca d'una paràbola. Al mateix temps, la funció augmenta constantment, ja que els indicadors de coordenades canvien més i més ràpidament amb cada segon. El gràfic de velocitat mostra el comportament de la derivada, el valor de la qual també augmenta. Això vol dir que el moviment no té punts crítics.
Hauria continuat indefinidament. Però si el cos decideix de sobte frenar, aturar-se i començar a moure's en un altredirecció? En aquest cas, els indicadors de coordenades començaran a disminuir. I la funció passarà el valor crític i passarà d'augmentar a disminuir.
En aquest exemple, podeu tornar a entendre que els punts extrems del gràfic de la funció apareixen en els moments en què deixa de ser monòton.
Significat físic de la derivada
Descrita anteriorment va mostrar clarament que la derivada és essencialment la taxa de canvi de la funció. Aquest refinament conté el seu significat físic. Els punts extrems són àrees crítiques del gràfic. És possible esbrinar-los i detectar-los calculant el valor de la derivada, que resulta ser igual a zero.
Hi ha un altre signe, que és una condició suficient per a un extrem. La derivada en aquests llocs d'inflexió canvia de signe: de "+" a "-" a la regió del màxim i de "-" a "+" a la regió del mínim.
Moviment sota la influència de la gravetat
Imaginem una altra situació. Els nens, jugant a pilota, la llançaven de tal manera que començava a moure's en angle amb l'horitzó. En el moment inicial, la velocitat d'aquest objecte era la més gran, però sota la influència de la gravetat va començar a disminuir, i amb cada segon el mateix valor, igual a aproximadament 9,8 m/s2. Aquest és el valor de l'acceleració que es produeix sota la influència de la gravetat terrestre durant la caiguda lliure. A la Lluna, seria unes sis vegades més petit.
La gràfica que descriu el moviment del cos és una paràbola amb branques,cap avall. Com trobar punts extrems? En aquest cas, aquest és el vèrtex de la funció, on la velocitat del cos (bola) pren un valor zero. La derivada de la funció esdevé zero. En aquest cas, la direcció, i per tant el valor de la velocitat, canvia al contrari. El cos vola cap avall amb cada segon més i més ràpid, i accelera en la mateixa quantitat: 9,8 m/s2.
Segona derivada
En el cas anterior, la gràfica del mòdul de velocitat es dibuixa com una línia recta. Aquesta línia es dirigeix primer cap avall, ja que el valor d'aquesta quantitat està en constant disminució. Després d'haver arribat a zero en un dels punts del temps, els indicadors d'aquest valor comencen a augmentar i la direcció de la representació gràfica del mòdul de velocitat canvia dràsticament. Ara la línia apunta cap amunt.
La velocitat, en ser la derivada temporal de la coordenada, també té un punt crític. En aquesta regió, la funció, inicialment decreixent, comença a augmentar. Aquest és el lloc del punt extrem de la derivada de la funció. En aquest cas, el pendent de la tangent esdevé zero. I l'acceleració, sent la segona derivada de la coordenada respecte al temps, canvia de signe de “-” a “+”. I el moviment des d'una lentitud uniforme s'accelera de manera uniforme.
Gràfic d'acceleració
Ara considereu quatre imatges. Cadascun d'ells mostra un gràfic del canvi al llarg del temps d'una magnitud física com l'acceleració. En el cas de "A", el seu valor es manté positiu i constant. Això vol dir que la velocitat del cos, com la seva coordenada, augmenta constantment. Si aImagineu que l'objecte es mourà d'aquesta manera durant un temps infinitament llarg, la funció que reflecteix la dependència de la coordenada en el temps resultarà en constant augment. D'això se'n dedueix que no té regions crítiques. Tampoc hi ha punts extrems a la gràfica de la derivada, és a dir, velocitat que canvia linealment.
El mateix s'aplica al cas "B" amb una acceleració positiva i en constant augment. És cert que els diagrames de coordenades i velocitat seran una mica més complicats aquí.
Quan l'acceleració tendeix a zero
Veint la imatge "B", podeu veure una imatge completament diferent que caracteritza el moviment del cos. La seva velocitat es representarà gràficament com una paràbola amb les branques apuntant cap avall. Si continuem la línia que descriu el canvi d'acceleració fins que es talla amb l'eix OX, i més enllà, podem imaginar que fins a aquest valor crític, on l'acceleració resulta ser igual a zero, la velocitat de l'objecte augmentarà. cada cop més lentament. El punt extrem de la derivada de la funció de coordenades estarà just a la part superior de la paràbola, després del qual el cos canviarà radicalment la naturalesa del moviment i començarà a moure's en l' altra direcció.
En aquest últim cas, "G", la naturalesa del moviment no es pot determinar amb precisió. Aquí només sabem que no hi ha acceleració durant algun període a considerar. Això vol dir que l'objecte pot romandre al seu lloc o que el moviment es produeix a una velocitat constant.
Tasca d'addició de coordenades
Passem a les tasques que sovint es troben en l'estudi de l'àlgebra a l'escola i que s'ofereixen perpreparació per a l'examen. La figura següent mostra la gràfica de la funció. Es requereix per calcular la suma dels punts extrems.
Fem això per a l'eix y determinant les coordenades de les regions crítiques on s'observa un canvi en les característiques de la funció. En poques paraules, trobem els valors al llarg de l'eix x dels punts d'inflexió i després procedim a sumar els termes resultants. Segons el gràfic, és evident que prenen els valors següents: -8; -7; -5; -3; -2; un; 3. Això suma -21, que és la resposta.
Solució òptima
No cal explicar com d'important pot ser l'elecció de la solució òptima en la realització de tasques pràctiques. Al cap i a la fi, hi ha moltes maneres d'aconseguir l'objectiu, i la millor sortida, per regla general, és només una. Això és extremadament necessari, per exemple, quan es dissenyen vaixells, naus espacials i aeronaus, estructures arquitectòniques per trobar la forma òptima d'aquests objectes fets per l'home.
La velocitat dels vehicles depèn en gran mesura de la minimització competent de la resistència que experimenten quan es mouen per l'aigua i l'aire, de les sobrecàrregues que sorgeixen sota la influència de les forces gravitatòries i molts altres indicadors. Un vaixell al mar necessita qualitats com l'estabilitat durant una tempesta; per a un vaixell fluvial, un calat mínim és important. Quan es calcula el disseny òptim, els punts extrems del gràfic poden donar visualment una idea de la millor solució a un problema complex. Les tasques d'aquest tipus són sovintes resolen en l'economia, en els àmbits econòmics, en moltes altres situacions de la vida.
De la història antiga
Problemes extrems van ocupar fins i tot els antics savis. Els científics grecs van desvelar amb èxit el misteri de les àrees i els volums mitjançant càlculs matemàtics. Van ser els primers a entendre que en un pla de diverses figures amb el mateix perímetre, el cercle sempre té l'àrea més gran. De la mateixa manera, una bola està dotada del màxim volum entre altres objectes de l'espai amb la mateixa superfície. Personalitats tan famoses com Arquimedes, Euclides, Aristòtil, Apol·loni es van dedicar a resoldre aquests problemes. Heron va aconseguir molt bé trobar punts extrems, que, després de recórrer als càlculs, van construir aparells enginyosos. Aquests inclouen màquines automàtiques que es mouen per mitjà de vapor, bombes i turbines que funcionaven amb el mateix principi.
Construcció de Cartago
Hi ha una llegenda, la trama de la qual es basa en resoldre un dels problemes extrems. El resultat de l'enfocament empresarial demostrat per la princesa fenícia, que va recórrer als savis per demanar ajuda, va ser la construcció de Cartago. El terreny d'aquesta antiga i famosa ciutat va ser presentat a Dido (aquest era el nom del governant) pel líder d'una de les tribus africanes. La superfície de l'hort al principi no li va semblar molt gran, ja que segons el contracte s'havia de cobrir amb una pell de bou. Però la princesa va ordenar als seus soldats que el tallessin a tires fines i en fessin un cinturó. Va resultar ser tan llarg que cobria el lloc,on encaixa tota la ciutat.
Els orígens del càlcul
I ara passem de l'antiguitat a una època posterior. Curiosament, al segle XVII, una reunió amb un venedor de vi va impulsar a Kepler a entendre els fonaments de l'anàlisi matemàtica. El comerciant era tan versat en la seva professió que podia determinar fàcilment el volum de la beguda a la bóta simplement baixant-hi un torniquet de ferro. Reflexionant sobre aquesta curiositat, el famós científic va aconseguir resoldre aquest dilema per si mateix. Resulta que els hàbils boters d'aquella època s'acostumaven a fer vas de tal manera que a una certa alçada i radi de la circumferència dels anells de fixació tinguessin una capacitat màxima.
Això va ser per motius de Kepler per a una reflexió posterior. Bochars va arribar a la solució òptima mitjançant una llarga recerca, errors i nous intents, transmetent la seva experiència de generació en generació. Però Kepler volia accelerar el procés i aprendre a fer el mateix en poc temps mitjançant càlculs matemàtics. Tots els seus desenvolupaments, recollits pels col·legues, es van convertir en els ara coneguts teoremes de Fermat i Newton - Leibniz.
Problema d'àrea màxima
Imaginem que tenim un cable amb una longitud de 50 cm. Com fer-ne un rectangle amb l'àrea més gran?
Començant una decisió, s'ha de procedir de veritats simples i conegudes. Està clar que el perímetre de la nostra figura serà de 50 cm. També consta del doble de longituds d'ambdós costats. Això vol dir que, havent designat un d'ells com a "X", l' altre es pot expressar com (25 - X).
A partir d'aquí obtenimuna àrea igual a X (25 - X). Aquesta expressió es pot representar com una funció que pren molts valors. La solució del problema requereix trobar el màxim d'ells, la qual cosa vol dir que hauríeu d'esbrinar els punts extrems.
Per fer-ho, trobem la primera derivada i l'equiparem a zero. El resultat és una equació simple: 25 - 2X=0.
A partir d'ella ens aprèn que un dels costats X=12, 5.
Per tant, un altre: 25 – 12, 5=12, 5.
Resulta que la solució al problema serà un quadrat amb un costat de 12,5 cm.
Com trobar la velocitat màxima
Considerem un exemple més. Imagineu que hi ha un cos el moviment rectilini del qual està descrit per l'equació S=- t3 + 9t2 – 24t – 8, on la distància El recorregut s'expressa en metres i el temps en segons. Cal trobar la velocitat màxima. Com fer-ho? Troba la velocitat baixada, és a dir, la primera derivada.
Aconseguim l'equació: V=- 3t2 + 18t – 24. Ara, per resoldre el problema, hem de tornar a trobar els punts extrems. Això s'ha de fer de la mateixa manera que en la tasca anterior. Troba la primera derivada de la velocitat i iguala-la a zero.
Aconseguim: - 6t + 18=0. Per tant, t=3 s. És el moment en què la velocitat del cos adquireix un valor crític. Substituïm les dades obtingudes a l'equació de velocitat i obtenim: V=3 m/s.
Però com entendre que aquesta és exactament la velocitat màxima, perquè els punts crítics d'una funció poden ser els seus valors màxims o mínims? Per comprovar-ho, cal trobar un segonderivada de la velocitat. S'expressa com el número 6 amb un signe menys. Això vol dir que el punt trobat és el màxim. I en el cas d'un valor positiu de la segona derivada, hi hauria un mínim. Per tant, la solució trobada va resultar correcta.
Les tasques que es donen com a exemple són només una part de les que es poden resoldre si es poden trobar els punts extrems d'una funció. De fet, n'hi ha molts més. I aquest coneixement obre possibilitats il·limitades per a la civilització humana.
