Les equacions quadriques solen aparèixer en una sèrie de problemes de matemàtiques i física, de manera que cada estudiant hauria de ser capaç de resoldre'ls. Aquest article detalla els mètodes principals per resoldre equacions de segon grau i també ofereix exemples del seu ús.
Quina equació s'anomena quadràtica
En primer lloc, respondrem la pregunta d'aquest paràgraf per entendre millor de què tractarà l'article. Per tant, l'equació quadràtica té la forma general següent: c + bx+ax2=0, on a, b, c són uns nombres, que s'anomenen coeficients. Aquí a≠0 és una condició obligatòria, en cas contrari, l'equació indicada degenera en una de lineal. Els coeficients restants (b, c) poden prendre absolutament qualsevol valor, inclòs zero. Així, expressions com ax2=0, on b=0 i c=0, o c+ax2=0, on b=0, o bx+ax2=0, on c=0 també són equacions quadràtiques, que s'anomenen incompletes, ja que el coeficient lineal b és zero o zero.és un terme lliure c, o tots dos desapareixen.
Una equació en la qual a=1 s'anomena reduïda, és a dir, té la forma: x2 + с/a + (b/a)x=0.
La solució d'una equació de segon grau és trobar els valors de x que compleixin la seva igu altat. Aquests valors s'anomenen arrels. Com que l'equació considerada és una expressió del segon grau, això vol dir que el nombre màxim de les seves arrels no pot superar les dues.
Quins mètodes existeixen per resoldre equacions quadrades
En general, hi ha 4 mètodes de solució. Els seus noms es mostren a continuació:
- Factoratge.
- Afegit al quadrat.
- Utilitzar una fórmula coneguda (mitjançant el discriminant).
- El mètode de solució és geomètric.
Com podeu veure a la llista anterior, els tres primers mètodes són algebraics, de manera que s'utilitzen més sovint que l'últim, que consisteix a representar una funció.
Hi ha una altra manera de resoldre equacions quadrades utilitzant el teorema de Vieta. Es podria incloure en 5è a la llista anterior, però això no es fa, ja que el teorema de Vieta és una conseqüència senzilla del 3r mètode.
Més endavant en l'article considerarem amb més detall els mètodes de solució esmentats i també donarem exemples del seu ús per trobar les arrels d'equacions específiques.
Mètode 1. Factorització
Per a aquest mètode en matemàtiques d'equacions de segon grau, hi ha una bellanom: factorització. L'essència d'aquest mètode és la següent: cal presentar l'equació quadràtica com un producte de dos termes (expressions), que han de ser iguals a zero. Després d'aquesta representació, podeu utilitzar la propietat del producte, que serà igual a zero només quan un o més (tots) dels seus membres siguin zero.
Ara considereu la seqüència d'accions específiques que cal dur a terme per trobar les arrels de l'equació:
- Mou tots els membres a una part de l'expressió (per exemple, a l'esquerra) de manera que només quedi 0 a l' altra part (dreta).
- Representa la suma dels termes d'una part de l'equació com a producte de dues equacions lineals.
- Establiu cadascuna de les expressions lineals a zero i resol-les.
Com podeu veure, l'algoritme de factorització és força senzill, però, la majoria dels estudiants tenen dificultats durant la implementació del 2n punt, així que ho explicarem amb més detall.
Per endevinar quines 2 expressions lineals, quan es multipliquen entre si, donaran l'equació quadràtica desitjada, cal recordar dues regles senzilles:
- Els coeficients lineals de dues expressions lineals, quan es multipliquen entre si, haurien de donar el primer coeficient de l'equació quadràtica, és a dir, el nombre a.
- Els termes lliures de les expressions lineals, quan es multipliquen, haurien de donar el nombre c de l'equació desitjada.
Un cop seleccionats tots els nombres de factors, s'han de multiplicar i, si donen l'equació desitjada, aneu al pas 3 del'algorisme anterior, en cas contrari hauríeu de canviar els multiplicadors, però ho heu de fer perquè sempre es segueixin les regles anteriors.
Exemple de solució per mètode de factorització
Mostrem clarament com és l'algorisme per resoldre una equació quadràtica per compondre i trobar arrels desconegudes. Donem una expressió arbitrària, per exemple, 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. Passem a la seva solució, observant la seqüència de punts de l'1 al 3, que s'exposen al paràgraf anterior de l'article.
Item 1. Mou tots els termes al costat esquerre i ordena'ls en la seqüència clàssica per a una equació de segon grau. Tenim la igu altat següent: 2x+(-8)+x2=0.
Item 2. Ho dividim en un producte d'equacions lineals. Com que a=1, i c=-8, aleshores seleccionarem, per exemple, aquest producte (x-2)(x+4). Compleix les regles per trobar els factors esperats establertes en el paràgraf anterior. Si obrim els claudàtors, obtenim: -8+2x+x2, és a dir, obtenim exactament la mateixa expressió que al costat esquerre de l'equació. Això vol dir que hem endevinat correctament els multiplicadors i que podem passar al tercer pas de l'algorisme.
Item 3. Igualem cada factor a zero, obtenim: x=-4 i x=2.
Si hi ha dubtes sobre el resultat, es recomana comprovar substituint les arrels trobades a l'equació original. En aquest cas, tenim: 22+22-8=0 i 2(-4)+(-4)2 -8=0. S'han trobat arrels correctament.
Així, utilitzant el mètode de factorització, hem trobat que l'equació donada té dues arrels de diferentsté: 2 i -4.
Mètode 2. Complement del quadrat complet
En l'àlgebra d'equacions quadrades, no sempre es pot utilitzar el mètode del multiplicador, ja que en el cas de valors fraccionaris dels coeficients de l'equació de segon grau, sorgeixen dificultats en la implementació del paràgraf 2 de l'algorisme.
El mètode del quadrat complet, al seu torn, és universal i es pot aplicar a equacions de segon grau de qualsevol tipus. La seva essència és realitzar les següents operacions:
- Els termes de l'equació que conté els coeficients a i b s'han de transferir a una part de l'equació i el terme lliure c a l' altra.
- A continuació, les parts de la igu altat (dreta i esquerra) s'han de dividir pel coeficient a, és a dir, presentar l'equació en forma reduïda (a=1).
- Suma els termes amb coeficients a i b per representar-los com un quadrat d'una equació lineal. Com que a \u003d 1, el coeficient lineal serà igual a 1, com per al terme lliure de l'equació lineal, hauria de ser igual a la meitat del coeficient lineal de l'equació quadràtica reduïda. Un cop fet el quadrat de l'expressió lineal, cal afegir el nombre corresponent al costat dret de la igu altat, on es troba el terme lliure, que s'obté ampliant el quadrat.
- Agafa l'arrel quadrada amb els signes "+" i "-" i resol l'equació lineal ja obtinguda.
L'algoritme descrit pot ser a primera vista percebut com una mica complicat, però a la pràctica és més fàcil d'implementar que el mètode de factorització.
Un exemple de solució que utilitza el complement quadrat complet
Donem un exemple d'equació quadràtica per entrenar la seva solució pel mètode descrit al paràgraf anterior. Donem l'equació quadràtica -10 - 6x+5x2=0. Comencem a resoldre'l seguint l'algorisme descrit anteriorment.
Item 1. Utilitzem el mètode de transferència quan resolem equacions quadrades, obtenim: - 6x+5x2=10.
Punt 2. La forma reduïda d'aquesta equació s'obté dividint pel número 5 de cadascun dels seus membres (si les dues parts es divideixen o es multipliquen pel mateix nombre, es conservarà la igu altat). Com a resultat de les transformacions, obtenim: x2 - 6/5x=2.
Item 3. La meitat del coeficient - 6/5 és -6/10=-3/5, utilitzeu aquest nombre per completar el quadrat, obtenim: (-3/5+x) 2 . L'ampliem i el terme lliure resultant s'ha de restar del costat esquerre de la igu altat per tal de satisfer la forma original de l'equació de segon grau, que equival a sumar-la al costat dret. Com a resultat, obtenim: (-3/5+x)2=59/25.
Item 4. Calcula l'arrel quadrada amb signes positius i negatius i troba les arrels: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. Les dues arrels trobades tenen els valors següents: x1=(√59+3)/5 i x1=(3-√59)/5.
Com que els càlculs realitzats estan relacionats amb les arrels, hi ha una gran probabilitat d'equivocar-se. Per tant, es recomana comprovar la correcció de les arrels x2 i x1. Obtenim x1: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. Substitueix arax2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
Així, hem demostrat que les arrels trobades de l'equació són certes.
Mètode 3. Aplicació de la coneguda fórmula
Aquest mètode de resolució d'equacions de segon grau és potser el més senzill, ja que consisteix a substituir els coeficients per una fórmula coneguda. Per utilitzar-lo, no cal pensar a compilar algorismes de solució, n'hi ha prou amb recordar només una fórmula. Es mostra a la imatge de d alt.
En aquesta fórmula, l'expressió radical (b2-4ac) s'anomena discriminant (D). Del seu valor depèn de quines arrels s'obtinguin. Hi ha 3 casos:
- D>0, aleshores l'equació de l'arrel dues en té de reals i diferents.
- D=0, llavors s'obté l'arrel, que es pot calcular a partir de l'expressió x=-b/(a2).
- D<0, aleshores obteniu dues arrels imaginàries diferents, que es representen com a nombres complexos. Per exemple, el nombre 3-5i és complex, mentre que la unitat imaginària i compleix la propietat: i2=-1.
Un exemple de solució calculant el discriminant
Donem un exemple d'equació quadràtica per practicar amb la fórmula anterior. Trobeu les arrels de -3x2-6+3x+4x=0. Primer, calculeu el valor del discriminant, obtenim: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
Com que s'obté D<0, vol dir que les arrels de l'equació considerada són nombres complexos. Trobem-los substituint el valor D trobat a la fórmula donada al paràgraf anterior (també es mostra a la foto de d alt). Obtenim: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
Mètode 4. Ús del gràfic de funcions
També s'anomena mètode gràfic per resoldre equacions quadrades. Cal dir que, per regla general, no s'utilitza per a l'anàlisi quantitativa, sinó per a l'anàlisi qualitativa de l'equació considerada.
L'essència del mètode és representar una funció quadràtica y=f(x), que és una paràbola. Aleshores, cal determinar en quins punts la paràbola talla l'eix x (X), seran les arrels de l'equació corresponent.
Per saber si una paràbola tallarà l'eix X, n'hi ha prou de conèixer la posició del seu mínim (màxim) i la direcció de les seves branques (poden augmentar o disminuir). Hi ha dues propietats d'aquesta corba per recordar:
- Si a>0 - les paràboles de la branca estan dirigides cap amunt, al contrari, si a<0, baixen.
- La coordenada mínima (màxima) d'una paràbola és sempre x=-b/(2a).
Per exemple, cal determinar si l'equació -4x+5x2+10=0 té arrels. La paràbola corresponent estarà dirigida cap amunt, ja que un=5>0. El seu extrem té coordenades: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. Com que el mínim de la corba es troba per sobre de l'eix x (y=9, 2), aleshores no talla aquest últim durant capvalors x. És a dir, l'equació donada no té arrels reals.
Teorema de Vieta
Com s'ha indicat anteriorment, aquest teorema és una conseqüència del mètode núm. 3, que es basa en l'aplicació d'una fórmula amb un discriminant. L'essència del teorema de Vieta és que permet connectar els coeficients de l'equació i les seves arrels en igu altat. Obtenim les igu altats corresponents.
Utilitzem la fórmula per calcular les arrels mitjançant el discriminant. Afegiu dues arrels, obtenim: x1+x2=-b/a. Ara multipliquem les arrels entre si: x1x2, després d'una sèrie de simplificacions obtenim el número c/a.
Per tant, per resoldre les equacions de segon grau mitjançant el teorema de Vieta, podeu utilitzar les dues igu altats obtingudes. Si es coneixen els tres coeficients d'una equació, les arrels es poden trobar resolent el sistema adequat d'aquestes dues equacions.
Un exemple d'ús del teorema de Vieta
Heu d'escriure una equació quadràtica si sabeu que té la forma x2+c=-bx i les seves arrels són 3 i -4.
Atès que a=1 a l'equació considerada, les fórmules de Vieta seran com: x2+x1=-b i x2x1=pàg. Substituint els valors coneguts de les arrels, obtenim: b=1 i c=-12. Com a resultat, l'equació quadràtica reduïda restaurada tindrà l'aspecte següent: x2-12=-1x. Podeu substituir-hi el valor de les arrels i assegurar-vos que la igu altat es mantingui.
Aplicació inversa del teorema de Vieta, és a dir, el càlcul de les arrels performa coneguda de l'equació, permet que els nombres enters petits a, b i c trobin ràpidament (intuïtivament) solucions.
