El món està disposat de manera que la solució d'un gran nombre de problemes es redueix a trobar les arrels d'una equació de segon grau. Les arrels de les equacions són importants per descriure diversos patrons. Això ho sabien fins i tot els aparelladors de l'antiga Babilònia. Els astrònoms i els enginyers també es van veure obligats a resoldre aquests problemes. Al segle VI dC, el científic indi Aryabhata va desenvolupar les bases per trobar les arrels d'una equació quadràtica. Les fórmules es van completar al segle XIX.
Conceptes generals
Us convidem a familiaritzar-vos amb les regularitats bàsiques de les igu altats quadràtiques. En general, la igu altat es pot escriure de la següent manera:
ax2 + bx + c=0, El nombre d'arrels d'una equació quadràtica pot ser igual a una o dues. Es pot fer una anàlisi ràpida utilitzant el concepte de discriminant:
D=b2 - 4ac
Depenent del valor calculat, obtenim:
- Quan D > 0 hi ha dues arrels diferents. La fórmula general per determinar les arrels d'una equació quadràtica sembla (-b± √D) / (2a).
- D=0, en aquest cas l'arrel és una i correspon al valor x=-b / (2a)
- D < 0, per a un valor negatiu del discriminant, no hi ha solució per a l'equació.
Nota: si el discriminant és negatiu, l'equació no té arrels només a la regió dels nombres reals. Si l'àlgebra s'estén al concepte d'arrels complexes, aleshores l'equació té una solució.
Donem una cadena d'accions que confirmin la fórmula per trobar arrels.
De la forma general de l'equació, se segueix:
ax2 + bx=-c
Multipliquem les parts dreta i esquerra per 4a i afegim b2, obtenim
4a2x2 + 4abx + b2 =-4ac+b 2
Transforma el costat esquerre al quadrat del polinomi (2ax + b)2. Extraïm l'arrel quadrada dels dos costats de l'equació 2ax + b=-b ± √(-4ac + b2), transferim el coeficient b al costat dret, obtenim:
2ax=-b ± √(-4ac + b2)
A partir d'aquí segueix:
x=(-b ± √(b2 - 4ac))
El que calia mostrar.
Cas especial
En alguns casos, la solució del problema es pot simplificar. Per tant, per a un coeficient b parell obtenim una fórmula més senzilla.
Denota k=1/2b, aleshores la fórmula de la forma general de les arrels de l'equació quadràtica pren la forma:
x=(-k ± √(k2 -ac)) / a
Quan D=0, obtenim x=-k / a
Un altre cas especial és la solució de l'equació amb a=1.
Per a la forma x2 + bx + c=0 les arrels seran x=-k ± √(k2 - c) amb discriminant superior a 0. En el cas en què D=0, l'arrel estarà determinada per una fórmula simple: x=-k.
Utilitzar gràfics
Qualsevol persona, sense ni tan sols saber-ho, s'enfronta constantment a fenòmens físics, químics, biològics i fins i tot socials ben descrits per una funció quadràtica.
Nota: la corba construïda sobre la base d'una funció quadràtica s'anomena paràbola.
Aquí teniu alguns exemples.
- Quan es calcula la trajectòria d'un projectil, s'utilitza la propietat del moviment al llarg d'una paràbola d'un cos disparat en angle respecte a l'horitzó.
- La propietat d'una paràbola per distribuir uniformement la càrrega s'utilitza àmpliament en arquitectura.
Entenent la importància de la funció parabòlica, anem a esbrinar com utilitzar el gràfic per explorar les seves propietats, utilitzant els conceptes de "discriminant" i "arrels d'una equació quadràtica".
Depenent del valor dels coeficients a i b, només hi ha sis opcions per a la posició de la corba:
- El discriminant és positiu, a i b tenen signes diferents. Les branques de la paràbola miren cap amunt, l'equació quadràtica té dues solucions.
- Discriminant i el coeficient b són iguals a zero, el coeficient a és major que zero. El gràfic es troba a la zona positiva, l'equació té 1 arrel.
- El discriminant i tots els coeficients són positius. L'equació quadràtica no té solució.
- El discriminant i el coeficient a són negatius, b és major que zero. Les branques del gràfic estan dirigides cap avall, l'equació té dues arrels.
- Discriminant iel coeficient b és igual a zero, el coeficient a és negatiu. La paràbola mira cap avall, l'equació té una arrel.
- Els valors del discriminant i tots els coeficients són negatius. No hi ha solucions, els valors de la funció es troben completament a la zona negativa.
Nota: l'opció a=0 no es considera, ja que en aquest cas la paràbola degenera en línia recta.
Tot l'anterior està ben il·lustrat per la figura següent.
Exemples de resolució de problemes
Condició: utilitzant les propietats generals, feu una equació quadràtica les arrels de la qual siguin iguals entre elles.
Solució:
segons l'estat del problema x1 =x2 o -b + √(b2- 4ac) / (2a)=-b + √(b2 - 4ac) / (2a). Simplificant la notació:
-b + √(b2 - 4ac) / (2a) - (-b - √(b2 - 4ac) / (2a))=0, obriu els claudàtors i doneu termes semblants. L'equació es converteix en 2√(b2 - 4ac)=0. Aquesta afirmació és certa quan b2 - 4ac=0, per tant, b 2=4ac, llavors el valor b=2√(ac) es substitueix a l'equació
ax2 + 2√(ac)x + c=0, en la forma reduïda obtenim x2 + 2√(c / a)x + c=0.
Resposta:
per a a diferent de 0 i qualsevol c, només hi ha una solució si b=2√(c / a).
Les equacions quadriques, per tota la seva senzillesa, són de gran importància en els càlculs d'enginyeria. Gairebé qualsevol procés físic es pot descriure amb alguna aproximaciófuncions de potència d'ordre n. L'equació quadràtica serà la primera aproximació d'aquest tipus.
