El prisma és un políedre o poliedre, que s'estudia en el curs escolar de geometria sòlida. Una de les propietats importants d'aquest poliedre és el seu volum. Considerem a l'article com es pot calcular aquest valor i també donem les fórmules per al volum dels prismes: quadrangulars i hexagonals regulars.
Prisma en estereometria
Aquesta figura s'entén com un poliedre, que consta de dos polígons idèntics situats en plans paral·lels, i de diversos paral·lelograms. Per a certs tipus de prismes, els paral·lelograms poden representar quadrilàters rectangulars o quadrats. A continuació es mostra un exemple de l'anomenat prisma pentagonal.
Per construir una figura com a la figura anterior, cal agafar un pentàgon i realitzar la seva transferència paral·lela a una certa distància a l'espai. Connectant els costats de dos pentàgons mitjançant paral·lelograms, obtenim el prisma desitjat.
Cada prisma consta de cares, vèrtexs i arestes. Els vèrtexs del prismaa diferència de la piràmide, són iguals, cadascuna d'elles fa referència a una de les dues bases. Les cares i les arestes són de dos tipus: les que pertanyen a les bases i les que pertanyen als costats.
Els prismes són de diversos tipus (correctes, oblics, convexos, rectes, còncaus). Considerem més endavant a l'article per quina fórmula es calcula el volum d'un prisma, tenint en compte la forma de la figura.
Expressió general per determinar el volum d'un prisma
Independentment de quin tipus pertanyi la figura objecte d'estudi, sigui recta o obliqua, regular o irregular, hi ha una expressió universal que permet determinar-ne el volum. El volum d'una figura espacial és l'àrea de l'espai que està tancada entre les seves cares. La fórmula general del volum d'un prisma és:
V=So × h.
Aquí So representa l'àrea de la base. Cal recordar que estem parlant d'una base, i no de dues. El valor h és l'alçada. L'alçada de la figura objecte d'estudi s'entén com la distància entre les seves bases idèntiques. Si aquesta distància coincideix amb les longituds de les costelles laterals, es parla d'un prisma recte. En una figura recta, tots els costats són rectangles.
Per tant, si un prisma és oblic i té un polígon de base irregular, calcular el seu volum es fa més complicat. Si la xifra és recta, el càlcul del volum només es redueix a la determinació de l'àrea de la base So.
Determinació del volum d'una figura normal
Regular és qualsevol prisma que és recte i té una base poligonal amb costats i angles iguals entre si. Per exemple, aquests polígons regulars són un quadrat i un triangle equilàter. Al mateix temps, un rombe no és una figura regular, ja que no tots els seus angles són iguals.
La fórmula per al volum d'un prisma regular segueix sense ambigüitats de l'expressió general de V, que es va escriure al paràgraf anterior de l'article. Abans de procedir a escriure la fórmula corresponent, cal determinar l'àrea de la base correcta. Sense entrar en detalls matemàtics, us presentem la fórmula per determinar l'àrea indicada. És universal per a qualsevol n-gon regular i té la forma següent:
S=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Com podeu veure a l'expressió, l'àrea Sn és una funció de dos paràmetres. Un nombre enter n pot prendre valors des de 3 fins a l'infinit. El valor a és la longitud del costat de l'n-gon.
Per calcular el volum d'una figura, només cal multiplicar l'àrea S per l'alçada h o per la longitud de la vora lateral b (h=b). Com a resultat, arribem a la següent fórmula de treball:
V=n / 4 × ctg (pi / n) × a2 × h.
Tingueu en compte que per determinar el volum d'un prisma de tipus arbitrari cal conèixer diverses magnituds (longituds dels costats de la base, alçada, angles díedrics de la figura), però per calcular el valor V de un prisma regular, només hem de conèixer dos paràmetres lineals, per exemple, a i h.
El volum d'un prisma regular quadrangular
Un prisma quadrangular s'anomena paral·lelepípede. Si totes les seves cares són iguals i són quadrats, llavors aquesta figura serà un cub. Cada alumne sap que el volum d'un paral·lelepípede o cub rectangular es determina multiplicant els seus tres costats diferents (longitud, alçada i amplada). Aquest fet es desprèn de l'expressió de volum general escrita per a una figura regular:
V=n/4 × ctg (pi/n) × a2 × h=4/4 × ctg (pi/4) × a2× h=a2 × h.
Aquí la cotangent de 45° és igual a 1. Tingueu en compte que la igu altat de l'alçada h i la longitud del costat de la base a condueixen automàticament a la fórmula del volum d'un cub.
Volum del prisma regular hexagonal
Ara apliqueu la teoria anterior per determinar el volum d'una figura de base hexagonal. Per fer-ho, només cal que substituïu el valor n=6 a la fórmula:
V=6/4 × ctg (pi / 6) × a2 × h=3 × √3/2 × a2 × h.
L'expressió escrita es pot obtenir de manera independent sense utilitzar la fórmula universal per a S. Per fer-ho, heu de dividir l'hexàgon regular en sis triangles equilàters. El costat de cadascun d'ells serà igual a a. L'àrea d'un triangle correspon a:
S3=√3/4 × a2.
Multiplicant aquest valor pel nombre de triangles (6) i per l'alçada, obtenim la fórmula anterior per al volum.
