El poder és un dels conceptes més importants de la física. Provoca un canvi en l'estat de qualsevol objecte. En aquest article, considerarem quin és aquest valor, quines forces hi ha i també mostrarem com trobar la projecció de la força sobre l'eix i sobre el pla.
El poder i el seu significat físic
En física, la força és una magnitud vectorial que mostra el canvi de la quantitat de moviment d'un cos per unitat de temps. Aquesta definició considera que la força és una característica dinàmica. Des del punt de vista de l'estàtica, la força en física és una mesura de la deformació elàstica o plàstica dels cossos.
El sistema internacional SI expressa la força en newtons (N). Què és 1 newton, la manera més fàcil d'entendre l'exemple de la segona llei de la mecànica clàssica. La seva notació matemàtica és la següent:
F¯=ma¯
Aquí F¯ és una força externa que actua sobre un cos de massa m i resulta en una acceleració a¯. La definició quantitativa d'un newton es desprèn de la fórmula: 1 N és una força que provoca un canvi en la velocitat d'un cos amb una massa d'1 kg en 1 m/s per cada segon.
Exemples de dinàmiquesLes manifestacions de força són l'acceleració d'un cotxe o d'un cos en caiguda lliure en el camp gravitatori terrestre.
La manifestació estàtica de la força, com s'ha assenyalat, s'associa amb fenòmens de deformació. Les fórmules següents s'han de donar aquí:
F=PS
F=-kx
La primera expressió relaciona la força F amb la pressió P que exerceix sobre alguna àrea S. Mitjançant aquesta fórmula, 1 N es pot definir com una pressió d'1 pascal aplicada a una àrea d'1 m 2. Per exemple, una columna d'aire atmosfèric al nivell del mar pressiona sobre un lloc d'1 m2 amb una força de 105N!
La segona expressió és la forma clàssica de la llei de Hooke. Per exemple, estirar o comprimir una molla amb un valor lineal x condueix a l'aparició d'una força oposada F (en l'expressió k és el factor de proporcionalitat).
Quines forces hi ha
Ja s'ha demostrat més amunt que les forces poden ser estàtiques i dinàmiques. Aquí diem que a més d'aquesta característica, poden ser forces de contacte o de llarg abast. Per exemple, la força de fricció, les reaccions de suport són forces de contacte. El motiu de la seva aparició és la validesa del principi de Pauli. Aquest últim afirma que dos electrons no poden ocupar el mateix estat. És per això que el tacte de dos àtoms provoca la seva repulsió.
Les forces de llarg abast apareixen com a resultat de la interacció dels cossos a través d'un determinat camp portador. Per exemple, tals són la força de la gravetat o la interacció electromagnètica. Les dues potències tenen un rang infinit,tanmateix, la seva intensitat disminueix com el quadrat de la distància (lleis de Coulomb i gravetat).
La potència és una quantitat vectorial
Un cop tractat el significat de la magnitud física considerada, podem procedir a l'estudi del tema de la projecció de forces sobre l'eix. En primer lloc, observem que aquesta magnitud és un vector, és a dir, es caracteritza per un mòdul i direcció. Mostrarem com calcular el mòdul de força i la seva direcció.
Se sap que qualsevol vector es pot definir de manera única en un sistema de coordenades donat si es coneixen els valors de les coordenades del seu inici i final. Suposem que hi ha algun segment dirigit MN¯. Aleshores, la seva direcció i mòdul es poden determinar mitjançant les expressions següents:
MN¯=(x2-x1; y2-y 1; z2-z1);
|MN¯|=√((x2-x1)2+ (y2 -y1)2+ (z2-z1 )2).
Aquí, les coordenades amb índexs 2 corresponen al punt N, les que tenen índexs 1 corresponen al punt M. El vector MN¯ està dirigit de M a N.
Per una qüestió de generalitat, hem mostrat com trobar el mòdul i les coordenades (direcció) d'un vector en un espai tridimensional. Fórmules similars sense la tercera coordenada són vàlides per al cas del pla.
Per tant, el mòdul de força és el seu valor absolut, expressat en newtons. Des del punt de vista de la geometria, el mòdul és la longitud del segment dirigit.
Quina és la projecció de la forçaeix?
El més convenient és parlar de projeccions de segments dirigits sobre eixos i plans de coordenades si primer col·loqueu el vector corresponent a l'origen, és a dir, al punt (0; 0; 0). Suposem que tenim algun vector de força F¯. Situem el seu començament en el punt (0; 0; 0), llavors les coordenades del vector es poden escriure de la següent manera:
F¯=((x1- 0); (y1- 0); (z1 - 0))=(x1; y1; z1).
Vector F¯ mostra la direcció de la força a l'espai en el sistema de coordenades donat. Ara dibuixem segments perpendiculars des del final de F¯ fins a cadascun dels eixos. La distància des del punt d'intersecció de la perpendicular amb l'eix corresponent fins a l'origen s'anomena projecció de la força sobre l'eix. No és difícil endevinar que en el cas de la força F¯, les seves projeccions sobre els eixos x, y i z seran x1, y1 i z 1, respectivament. Tingueu en compte que aquestes coordenades mostren els mòduls de projeccions de forces (la longitud dels segments).
Angles entre la força i les seves projeccions sobre els eixos de coordenades
Calcular aquests angles no és difícil. Tot el que cal per resoldre-ho és el coneixement de les propietats de les funcions trigonomètriques i la capacitat d'aplicar el teorema de Pitàgores.
Per exemple, definim l'angle entre la direcció de la força i la seva projecció a l'eix x. El triangle rectangle corresponent estarà format per la hipotenusa (vector F¯) i el catet (segment x1). El segon pot és la distància des de l'extrem del vector F¯ fins a l'eix x. L'angle α entre F¯ i l'eix x es calcula amb la fórmula:
α=arccos(|x1|/|F¯|)=arccos(x1/√(x 12+y12+z1 2)).
Com podeu veure, per determinar l'angle entre l'eix i el vector, és necessari i suficient conèixer les coordenades de l'extrem del segment dirigit.
Per a angles amb altres eixos (y i z), podeu escriure expressions semblants:
β=arccos(|y1|/|F¯|)=arccos(y1/√(x 12+y12+z 12));
γ=arccos(|z1|/|F¯|)=arccos(z1/√(x 12+y12+z 12)).
Tingueu en compte que en totes les fórmules hi ha mòduls als numeradors, la qual cosa elimina l'aparició de cantonades obtuses. Entre la força i les seves projeccions axials, els angles són sempre inferiors o iguals a 90o.
La força i les seves projeccions al pla de coordenades
La definició de la projecció de la força sobre el pla és la mateixa que la de l'eix, només que en aquest cas la perpendicular s'ha de baixar no sobre l'eix, sinó sobre el pla.
En el cas d'un sistema de coordenades rectangulars espacials, tenim tres plans mútuament perpendiculars xy (horitzontal), yz (vertical frontal), xz (vertical lateral). Els punts d'intersecció de les perpendiculars caigudes des de l'extrem del vector fins als plans anomenats són:
(x1; y1; 0) per a xy;
(x1; 0; z1) per a xz;
(0; y1; z1) per a zy.
Si cadascun dels punts marcats està connectat a l'origen, obtenim la projecció de la força F¯ sobre el pla corresponent. Quin és el mòdul de força, ho sabem. Per trobar el mòdul de cada projecció, cal aplicar el teorema de Pitàgores. Denotem les projeccions al pla com a Fxy, Fxz i Fzy. Aleshores, les igu altats seran vàlides per als seus mòduls:
Fxy=√(x12+y1 2);
Fxz=√(x12+ z1 2);
Fzy=√(y12+ z1 2).
Angles entre projeccions sobre el pla i vector de força
Al paràgraf anterior, es van donar fórmules per als mòduls de projeccions sobre el pla del vector considerat F¯. Aquestes projeccions, juntament amb el segment F¯ i la distància des del seu extrem fins al pla, formen triangles rectangles. Per tant, com en el cas de les projeccions sobre l'eix, podeu utilitzar la definició de funcions trigonomètriques per calcular els angles en qüestió. Podeu escriure les igu altats següents:
α=arccos(Fxy/|F¯|)=arccos(√(x12 +y12) /√(x12 +y12+z12));
β=arccos(Fxz/|F¯|)=arccos(√(x12 +z12)/√(x12 +y12+z12));
γ=arccos(Fzy/|F¯|)=arccos(√(y12+z12)/√(x12+y12 +z12)).
És important entendre que l'angle entre la direcció de la força F¯ i la seva corresponent projecció sobre el pla és igual a l'angle entre F¯ i aquest pla. Si considerem aquest problema des del punt de vista de la geometria, podem dir que el segment dirigit F¯ està inclinat respecte als plans xy, xz i zy.
On s'utilitzen les projeccions de força?
Les fórmules anteriors per a les projeccions de forces sobre els eixos de coordenades i sobre el pla no són només d'interès teòric. Sovint s'utilitzen per resoldre problemes físics. El procés mateix de trobar projeccions s'anomena descomposició de la força en els seus components. Aquests últims són vectors, la suma dels quals hauria de donar el vector força original. En el cas general, és possible descompondre la força en components arbitraris, però, per resoldre problemes, és convenient utilitzar projeccions sobre eixos i plans perpendiculars.
Els problemes on s'aplica el concepte de projeccions de força poden ser molt diferents. Per exemple, la mateixa segona llei de Newton suposa que la força externa F¯ que actua sobre el cos s'ha de dirigir de la mateixa manera que el vector velocitat v¯. Si les seves direccions difereixen en algun angle, aleshores, per tal que la igu altat sigui vàlida, cal substituir-hi no la força F¯ mateixa, sinó la seva projecció en la direcció v¯.
A continuació, donarem un parell d'exemples, on mostrarem com utilitzar el gravatfórmules.
La tasca de determinar les projeccions de forces al pla i als eixos de coordenades
Suposem que hi ha una força F¯, que es representa per un vector que té les següents coordenades final i inicial:
(2; 0; 1);
(-1; 4; -1).
Cal determinar el mòdul de la força, així com totes les seves projeccions sobre els eixos de coordenades i els plans, i els angles entre F¯ i cadascuna de les seves projeccions.
Comencem a resoldre el problema calculant les coordenades del vector F¯. Tenim:
F¯=(-1; 4; -1) - (2; 0; 1)=(-3; 4; -2).
Llavors el mòdul de força serà:
|F¯|=√(9 + 16 + 4)=√29 ≈ 5, 385 N.
Les projeccions sobre els eixos de coordenades són iguals a les coordenades corresponents del vector F¯. Calculem els angles entre ells i la direcció F¯. Tenim:
α=arccos(|-3 |/5, 385) ≈ 56, 14o;
β=arccos(|4|/5, 385) ≈ 42, 03o;
γ=arccos(|-2|/5, 385) ≈ 68, 20o.
Com que es coneixen les coordenades del vector F¯, és possible calcular els mòduls de projeccions de forces sobre el pla de coordenades. Utilitzant les fórmules anteriors, obtenim:
Fxy=√(9 +16)=5 N;
Fxz=√(9 + 4)=3, 606 N;
Fzy=√(16 + 4)=4, 472 N.
Finalment, queda per calcular els angles entre les projeccions trobades en el pla i el vector de força. Tenim:
α=arccos(Fxy/|F¯|)=arccos(5/5, 385) ≈ 21, 8o;
β=arccos(Fxz/|F¯|)=arccos(3, 606/5, 385) ≈ 48, 0o;
γ=arccos(Fzy/|F¯|)=arccos(4, 472/5, 385) ≈ 33, 9o.
Així, el vector F¯ és el més proper al pla de coordenades xy.
Problema amb una barra lliscant en un pla inclinat
Ara resolem un problema físic on caldrà aplicar el concepte de projecció de forces. Donem un pla inclinat de fusta. L'angle de la seva inclinació respecte a l'horitzó és de 45o. A l'avió hi ha un bloc de fusta que té una massa de 3 kg. Cal determinar amb quina acceleració es mourà aquesta barra pel pla si se sap que el coeficient de fricció de lliscament és 0,7.
Primer, fem l'equació de moviment del cos. Com que només hi actuaran dues forces (la projecció de la gravetat sobre un pla i la força de fregament), l'equació prendrà la forma:
Fg- Ff=ma=>
a=(Fg- Ff)/m.
Aquí Fg, Ff és la projecció de la gravetat i la fricció, respectivament. És a dir, la tasca es redueix a calcular els seus valors.
Com que l'angle amb el qual s'inclina el pla respecte a l'horitzó és de 45o, és fàcil demostrar que la projecció de la gravetat Fgal llarg de la superfície del pla serà igual a:
Fg=mgsin(45o)=39, 81/√2 ≈ 20, 81 N.
Aquesta projecció de força pretén desconcertarbloc de fusta i doneu-li acceleració.
Segons la definició, la força de fricció de lliscament és:
Ff=ΜN
On Μ=0, 7 (vegeu la condició del problema). La força de reacció del suport N és igual a la projecció de la força de gravetat sobre l'eix perpendicular al pla inclinat, és a dir:
N=mgcos(45o)
Llavors la força de fregament és:
Ff=Μmgcos(45o)=0, 739, 81/√2 ≈ 14, 57 N.
Substituïm les forces trobades a l'equació del moviment, obtenim:
a=(Fg- Ff)/m=(20,81 - 14,57)/3=2,08 m/ c2.
Així, el bloc baixarà pel pla inclinat, augmentant la seva velocitat en 2,08 m/s cada segon.
