Per determinar el paral·lelisme i la perpendicularitat dels plans, així com per calcular les distàncies entre aquests objectes geomètrics, és convenient utilitzar un o altre tipus de funcions numèriques. Per a quins problemes és convenient utilitzar l'equació d'un pla en segments? En aquest article, veurem què és i com utilitzar-lo en tasques pràctiques.
Què és una equació en segments de línia?
Un avió es pot definir a l'espai 3D de diverses maneres. En aquest article, es donaran algunes d'elles mentre es resolen problemes de diversos tipus. Aquí donem una descripció detallada de l'equació en segments del pla. Generalment té la forma següent:
x/p + y/q + z/r=1.
On els símbols p, q, r denoten alguns nombres específics. Aquesta equació es pot traduir fàcilment en una expressió general i en altres formes de funcions numèriques per al pla.
La conveniència d'escriure l'equació en segments rau en el fet que conté les coordenades explícites de la intersecció del pla amb eixos de coordenades perpendiculars. A l'eix xen relació amb l'origen, el pla talla un segment de longitud p, a l'eix y - igual a q, a z - de longitud r.
Si alguna de les tres variables no està continguda a l'equació, vol dir que el pla no passa per l'eix corresponent (els matemàtics diuen que creua a l'infinit).
A continuació, aquí teniu alguns problemes en què mostrarem com treballar amb aquesta equació.
Comunicació general i en segments d'equacions
Se sap que el pla ve donat per la següent igu altat:
2x - 3y + z - 6=0.
Cal escriure aquesta equació general del pla en segments.
Quan sorgeix un problema semblant, cal seguir aquesta tècnica: transferim el terme lliure al costat dret de la igu altat. Aleshores dividim tota l'equació per aquest terme, intentant expressar-la en la forma donada al paràgraf anterior. Tenim:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
Hem obtingut en els segments l'equació del pla, donada inicialment de forma general. Es nota que el pla talla segments amb longituds de 3, 2 i 6 per als eixos x, y i z, respectivament. L'eix Y talla el pla a l'àrea de coordenades negatives.
Quan s'elabora una equació en segments, és important que totes les variables estiguin precedides d'un signe "+". Només en aquest cas, el nombre pel qual es divideix aquesta variable mostrarà la coordenada tallada a l'eix.
Vector normal i punt al pla
Se sap que algun avió té un vector de direcció (3; 0; -1). També se sap que passa pel punt (1; 1; 1). Per a aquest pla, escriu una equació en segments.
Per resoldre aquest problema, primer hauríeu d'utilitzar la forma general d'aquest objecte geomètric bidimensional. La forma general s'escriu com:
Ax + By + Cz + D=0.
Els tres primers coeficients aquí són les coordenades del vector guia, que s'especifica a l'enunciat del problema, és a dir:
A=3;
B=0;
C=-1.
Queda per trobar el terme lliure D. Es pot determinar amb la fórmula següent:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
On els valors de coordenades amb índex 1 corresponen a les coordenades d'un punt pertanyent al pla. Substituïm els seus valors per la condició del problema, obtenim:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
Ara podeu escriure l'equació completa:
3x - z - 2=0.
La tècnica per convertir aquesta expressió en una equació en segments del pla ja s'ha demostrat anteriorment. Aplica'l:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
S'ha rebut la resposta al problema. Tingueu en compte que aquest pla només talla els eixos x i z. Per a y és paral·lel.
Dues rectes que defineixen un avió
Des del curs de geometria espacial, cada estudiant sap que dues rectes arbitràries defineixen de manera única un pla enespai tridimensional. Anem a resoldre un problema semblant.
Es coneixen dues equacions de línies:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
Cal escriure l'equació del pla en segments, passant per aquestes rectes.
Com que les dues rectes han de situar-se en el pla, això vol dir que els seus vectors (guies) han de ser perpendiculars al vector (guia) del pla. Al mateix temps, se sap que el producte vectorial de dos segments dirigits arbitraris dóna el resultat en forma de coordenades del tercer, perpendiculars als dos originals. Donada aquesta propietat, obtenim les coordenades d'un vector normal al pla desitjat:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
Com que es pot multiplicar per un nombre arbitrari, aquest forma un nou segment dirigit paral·lel a l'original, podem substituir el signe de les coordenades obtingudes pel contrari (multiplicar per -1), obtenim:
(1; 2; 1).
Coneixem el vector de direcció. Queda per agafar un punt arbitrari d'una de les rectes i traçar l'equació general del pla:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
Traduint aquesta igu altat en una expressió en segments, obtenim:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
Així, el pla talla els tres eixos a la regió positiva del sistema de coordenades.
Tres punts i un avió
Igual que dues línies rectes, tres punts defineixen un pla de manera única en l'espai tridimensional. Escrivim l'equació corresponent en segments si es coneixen les coordenades següents dels punts situats en el pla:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
Fem el següent: calculeu les coordenades de dos vectors arbitraris que connecten aquests punts, després trobeu el vector n¯ normal al pla calculant el producte dels segments dirigits trobats. Obtenim:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
Preneu com a exemple el punt P, feu l'equació del pla:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 o z=0.
Tenim una expressió senzilla que correspon al pla xy en el sistema de coordenades rectangulars donat. No es pot escriure en segments, ja que els eixos x i y pertanyen al pla i la longitud del segment tallat a l'eix z és zero (el punt (0; 0; 0) pertany al pla).
