Un dels problemes habituals de l'estereometria són les tasques de creuar rectes i plans i calcular els angles entre ells. Considerem en aquest article amb més detall l'anomenat mètode de coordenades i els angles entre la recta i el pla.
Línia i pla en geometria
Abans de considerar el mètode de coordenades i l'angle entre una línia i un pla, hauríeu de familiaritzar-vos amb els objectes geomètrics anomenats.
Una línia és una col·lecció de punts en l'espai o en un pla, cadascun dels quals es pot obtenir transferint linealment l'anterior a un vector determinat. A continuació, denotem aquest vector amb el símbol u¯. Si aquest vector es multiplica per qualsevol nombre que no sigui igual a zero, obtenim un vector paral·lel a u¯. Una línia és un objecte lineal infinit.
Un pla és també una col·lecció de punts que estan situats de tal manera que si en formeu vectors arbitraris, aleshores tots seran perpendiculars a algun vector n¯. Aquest últim s'anomena normal o simplement normal. Un pla, a diferència d'una recta, és un objecte infinit bidimensional.
Mètode de coordenades per resoldre problemes de geometria
A partir del nom del mètode en si, podem concloure que estem parlant d'un mètode per resoldre problemes, que es basa en la realització de càlculs seqüencials analítics. En altres paraules, el mètode de coordenades us permet resoldre problemes geomètrics mitjançant eines d'àlgebra universal, les principals de les quals són equacions.
Cal tenir en compte que el mètode en qüestió va aparèixer als albors de la geometria i l'àlgebra modernes. René Descartes, Pierre de Fermat, Isaac Newton i Leibniz van fer una gran contribució al seu desenvolupament durant els segles XVII-XVIII.
L'essència del mètode és calcular les distàncies, angles, àrees i volums d'elements geomètrics a partir de les coordenades de punts coneguts. Observeu que la forma de les equacions finals obtingudes depèn del sistema de coordenades. Molt sovint, el sistema cartesià rectangular s'utilitza en problemes, ja que és més convenient treballar-hi.
Equació de línia
Considerant el mètode de coordenades i els angles entre la recta i el pla, comencem per establir l'equació de la recta. Hi ha diverses maneres de representar línies en forma algebraica. Aquí considerem només l'equació vectorial, ja que es pot obtenir fàcilment d'ella en qualsevol altra forma i és fàcil de treballar.
Suposem que hi ha dos punts: P i Q. Se sap que es pot traçar una línia a través d'ells, iserà l'únic. La representació matemàtica corresponent de l'element té aquest aspecte:
(x, y, z)=P + λPQ¯.
On PQ¯ és un vector les coordenades del qual s'obtenen de la següent manera:
PQ¯=Q - P.
El símbol λ indica un paràmetre que pot prendre absolutament qualsevol nombre.
A l'expressió escrita, podeu canviar la direcció del vector, i també substituir les coordenades Q en lloc del punt P. Totes aquestes transformacions no comportaran un canvi en la ubicació geomètrica de la línia.
Tingueu en compte que quan es resolen problemes, de vegades es requereix representar l'equació vectorial escrita en una forma explícita (paramètrica).
Configuració d'un avió a l'espai
A més d'una línia recta, també hi ha diverses formes d'equacions matemàtiques per a un pla. Entre ells, destaquem el vector, l'equació en segments i la forma general. En aquest article, prestarem especial atenció a l'últim formulari.
Una equació general per a un pla arbitrari es pot escriure de la següent manera:
Ax + By + Cz + D=0.
Les majúscules llatines són certs números que defineixen un pla.
La conveniència d'aquesta notació és que conté explícitament un vector normal al pla. És igual a:
n¯=(A, B, C).
Conèixer aquest vector fa possible, mirant breument l'equació del pla, imaginar la ubicació d'aquest últim en el sistema de coordenades.
Arranjament mutu aespai de línia i pla
En el paràgraf següent de l'article passarem a la consideració del mètode de coordenades i l'angle entre la recta i el pla. Aquí respondrem a la pregunta de com es poden situar a l'espai els elements geomètrics considerats. Hi ha tres maneres:
- La recta talla el pla. Amb el mètode de coordenades, podeu calcular en quin punt únic es tallen la recta i el pla.
- El pla d'una recta és paral·lel. En aquest cas, el sistema d'equacions d'elements geomètrics no té solució. Per demostrar el paral·lelisme, s'acostuma a utilitzar la propietat del producte escalar del vector directiu de la recta i la normal del pla.
- L'avió conté una línia. Resolvant el sistema d'equacions en aquest cas, arribarem a la conclusió que per a qualsevol valor del paràmetre λ s'obté la igu altat correcta.
En el segon i tercer cas, l'angle entre els objectes geomètrics especificats és igual a zero. En el primer cas, està entre 0 i 90o.
Càlcul d'angles entre rectes i plans
Ara anem directament al tema de l'article. Qualsevol intersecció d'una recta i un pla es produeix en algun angle. Aquest angle està format per la pròpia recta i la seva projecció sobre el pla. Es pot obtenir una projecció si des de qualsevol punt d'una recta es baixa una perpendicular sobre el pla, i després a través del punt d'intersecció obtingut del pla i la perpendicular i el punt d'intersecció del pla i la recta original es dibuixa una línia recta que serà una projecció.
Calcular els angles entre línies i plans no és una tasca difícil. Per resoldre'l, n'hi ha prou de conèixer les equacions dels objectes geomètrics corresponents. Suposem que aquestes equacions semblen així:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c);
Ax + By + Cz + D=0.
L'angle desitjat es troba fàcilment utilitzant la propietat del producte dels vectors escalars u¯ i n¯. La fórmula final és així:
θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).
Aquesta fórmula diu que el sinus de l'angle entre una recta i un pla és igual a la relació entre el mòdul del producte escalar dels vectors marcats i el producte de les seves longituds. Per entendre per què va aparèixer el sinus en lloc del cosinus, passem a la figura següent.
Es pot veure que si apliquem la funció cosinus, obtindrem l'angle entre els vectors u¯ i n¯. L'angle desitjat θ (α a la figura) s'obté de la següent manera:
θ=90o- β.
El sinus apareix com a resultat de l'aplicació de les fórmules de reducció.
Exemple de problema
Passem a l'ús pràctic dels coneixements adquirits. Anem a resoldre un problema típic sobre l'angle entre una recta i un pla. Es donen les següents coordenades de quatre punts:
P=(1, -1, 0);
Q=(-1, 2, 2);
M=(0, 3, -1);
N=(-2, -1, 1).
Se sap que a través dels punts PQMun avió la travessa, i una recta passa per MN. Mitjançant el mètode de coordenades, s'ha de calcular l'angle entre el pla i la línia.
Primer, anem a escriure les equacions de la recta i el pla. Per a una línia recta, és fàcil compondre-la:
MN¯=(-2, -4, 2)=>
(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).
Per fer l'equació del pla, primer trobem la normal. Les seves coordenades són iguals al producte vectorial de dos vectors situats en el pla donat. Tenim:
PQ¯=(-2, 3, 2);
QM¯=(1, 1, -3)=>
n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5).
Ara substituïm les coordenades de qualsevol punt que hi ha a l'equació del pla general per obtenir el valor del terme lliure D:
P=(1, -1, 0);
- (Ax + By + Cz)=D=>
D=- (-11 + 4 + 0)=7.
L'equació plana és:
11x + 4y + 5z - 7=0.
Resta aplicar la fórmula de l'angle format en la intersecció d'una recta i un pla per obtenir la resposta al problema. Tenim:
(u¯n¯)=(11, 4, 5)(-2, -4, 2)=-28;
|u¯|=√24; |n¯|=√162;
θ=arcsin(28/√(16224))=26, 68o.
Usant aquest problema com a exemple, vam mostrar com utilitzar el mètode de coordenades per resoldre problemes geomètrics.
