Sovint en física s'ha de resoldre problemes per calcular l'equilibri en sistemes complexos que tenen moltes forces d'actuació, palanques i eixos de rotació. En aquest cas, és més fàcil utilitzar el concepte de moment de força. Aquest article ofereix totes les fórmules necessàries amb explicacions detallades que s'han d'utilitzar per resoldre problemes del tipus anomenat.
De què parlarem?
Moltes persones probablement s'han adonat que si actues amb qualsevol força sobre un objecte fixat en un punt determinat, aquest comença a girar. Un exemple cridaner és la porta de la casa o de l'habitació. Si l'agafeu pel mànec i l'empenyeu (apliqueu força), començarà a obrir-se (engegueu les frontisses). Aquest procés és una manifestació en la vida quotidiana de l'acció d'una magnitud física, que s'anomena moment de força.
De l'exemple descrit amb la porta es dedueix que el valor en qüestió indica la capacitat de rotació de la força, que és el seu significat físic. També aquest valors'anomena moment de torsió.
Determinació del moment de força
Abans de definir la quantitat a considerar, fem una foto senzilla.
Així, la figura mostra una palanca (blava), que es fixa a l'eix (verd). Aquesta palanca té una longitud d, i al seu extrem s'aplica una força F. Què passarà amb el sistema en aquest cas? Així és, la palanca començarà a girar en sentit contrari a les agulles del rellotge quan es vegi des de d alt (tingueu en compte que si estireu una mica la vostra imaginació i imagineu que la vista es dirigeix des de baix cap a la palanca, llavors girarà en sentit horari).
Deixem que el punt d'unió de l'eix es digui O i el punt d'aplicació de la força - P. Aleshores, podem escriure la següent expressió matemàtica:
OP¯ F¯=M¯FO.
On OP¯ és el vector que es dirigeix des de l'eix fins a l'extrem de la palanca, també s'anomena palanca de força, F¯és la força vectorial aplicada al punt P, i M¯FO és el moment de força sobre el punt O (eix). Aquesta fórmula és la definició matemàtica de la magnitud física en qüestió.
Direcció del moment i regla de la mà dreta
L'expressió anterior és un producte creuat. Com sabeu, el seu resultat també és un vector perpendicular al pla que passa pels vectors multiplicadors corresponents. Aquesta condició es compleix amb dues direccions del valor M¯FO (avall i amunt).
Per únicper determinar, s'ha d'utilitzar l'anomenada regla de la mà dreta. Es pot formular d'aquesta manera: si doblegueu quatre dits de la mà dreta en un mig arc i dirigeu aquest mig arc de manera que vagi pel primer vector (el primer factor de la fórmula) i vagi fins al final de el segon, després el polze que sobresurt cap amunt indicarà la direcció del moment de torsió. Tingueu en compte també que abans d'utilitzar aquesta regla, heu d'establir els vectors multiplicats perquè surtin del mateix punt (els seus orígens han de coincidir).
En el cas de la figura del paràgraf anterior, podem dir, aplicant la regla de la mà dreta, que el moment de força relatiu a l'eix anirà dirigit cap amunt, és a dir, cap a nos altres.
A més del mètode marcat per determinar la direcció del vector M¯FO, n'hi ha dos més. Aquí els teniu:
- El moment de torsió s'orientarà de tal manera que si es mira la palanca giratòria des de l'extrem del seu vector, aquesta es mourà contra el rellotge. Generalment s'accepta considerar aquesta direcció del moment com a positiva quan es resolen diversos tipus de problemes.
- Si gireu el gir en el sentit de les agulles del rellotge, el parell es dirigirà cap al moviment (aprofundiment) del gir.
Totes les definicions anteriors són equivalents, de manera que tothom pot triar la que li convingui.
Per tant, es va trobar que la direcció del moment de força és paral·lela a l'eix al voltant del qual gira la palanca corresponent.
Força en angle
Considereu la imatge següent.
Aquí també veiem una palanca de longitud L fixada en un punt (indicat per una fletxa). Hi actua una força F, però està dirigida amb un cert angle Φ (phi) a la palanca horitzontal. La direcció del moment M¯FO en aquest cas serà la mateixa que a la figura anterior (a nos altres). Per calcular el valor absolut o mòdul d'aquesta quantitat, heu d'utilitzar la propietat del producte creuat. Segons ell, per a l'exemple en qüestió, podeu escriure l'expressió: MFO=LFsin(180 o -Φ) o, utilitzant la propietat del sinus, tornem a escriure:
MFO=LFsin(Φ).
La figura també mostra un triangle rectangle acabat, els costats del qual són la palanca mateixa (hipotenusa), la línia d'acció de la força (cama) i el costat de la longitud d (la segona cateta). Donat que sin(Φ)=d/L, aquesta fórmula tindrà la forma: MFO=dF. Es pot veure que la distància d és la distància des del punt de fixació de la palanca fins a la línia d'acció de la força, és a dir, d és la palanca de la força.
Les dues fórmules considerades en aquest paràgraf, que es deriven directament de la definició del moment de torsió, són útils per resoldre problemes pràctics.
Unitats de parell
Usant la definició, es pot establir que el valor MFO s'ha de mesurar en newtons per metre (Nm). De fet, en forma d'aquestes unitats, s'utilitza en SI.
Tingueu en compte que Nm és una unitat de treball, que s'expressa en joules, com l'energia. No obstant això, els joules no s'utilitzen per al concepte de moment de força, ja que aquest valor reflecteix precisament la possibilitat d'implementar aquest últim. Tanmateix, hi ha una connexió amb la unitat de treball: si, com a resultat de la força F, la palanca gira completament al voltant del seu punt de pivot O, aleshores el treball realitzat serà igual a A=MF O 2pi (2pi és l'angle en radians que correspon a 360o). En aquest cas, la unitat de parell MFO es pot expressar en joules per radiant (J/rad.). Aquest últim, juntament amb Hm, també s'utilitza en el sistema SI.
Teorema de Varignon
A finals del segle XVII, el matemàtic francès Pierre Varignon, estudiant l'equilibri dels sistemes amb palanques, va formular per primera vegada el teorema, que ara porta el seu cognom. Es formula de la següent manera: el moment total de diverses forces és igual al moment de la força resultant, que s'aplica a un determinat punt relatiu al mateix eix de rotació. Matemàticament, es pot escriure de la següent manera:
M¯1+M¯2 +…+M¯=M¯=d¯ ∑ i=1(F¯i)=d¯F¯.
Aquest teorema és convenient utilitzar per calcular els moments de torsió en sistemes amb forces d'acció múltiples.
A continuació, donem un exemple d'ús de les fórmules anteriors per resoldre problemes de física.
Problema amb la clau anglesa
Un deUn exemple cridaner de demostració de la importància de tenir en compte el moment de la força és el procés de desenroscar les femelles amb una clau anglesa. Per desenroscar la femella, cal aplicar una mica de parell. Cal calcular quanta força s'ha d'aplicar al punt A per començar a desenroscar la femella, si aquesta força al punt B és de 300 N (vegeu la figura següent).
De la figura anterior, se segueixen dues coses importants: primer, la distància OB és el doble de la de OA; en segon lloc, les forces FA i FBes dirigeixen perpendicularment a la palanca corresponent amb l'eix de gir coincidint amb el centre de la femella (punt O).
El moment de parell per a aquest cas es pot escriure en forma escalar de la següent manera: M=OBFB=OAFA. Com que OB/OA=2, aquesta igu altat només es mantindrà si FA és 2 vegades més gran que FB. A partir de la condició del problema, obtenim que FA=2300=600 N. És a dir, com més llarga sigui la clau, més fàcil serà desenroscar la femella.
Problema amb dues boles de diferents masses
La figura següent mostra un sistema que està en equilibri. Cal trobar la posició del fulcre si la longitud del tauler és de 3 metres.
Com que el sistema està en equilibri, la suma dels moments de totes les forces és igual a zero. Hi ha tres forces que actuen sobre el tauler (els pesos de les dues boles i la força de reacció del suport). Com que la força de suport no crea un moment de torsió (la longitud de la palanca és zero), només hi ha dos moments creats pel pes de les boles.
Deixa que el punt d'equilibri estigui a una distància x devora que conté una bola de 100 kg. Aleshores podem escriure la igu altat: M1-M2=0. Com que el pes del cos ve determinat per la fórmula mg, llavors tenim: m 1gx - m2g(3-x)=0. Reduïm g i substituïm les dades, obtenim: 100x - 5(3-x)=0=> x=15/105=0,143 m o 14,3 cm.
Així, per tal que el sistema estigui en equilibri, cal establir un punt de referència a una distància de 14,3 cm de la vora, on hi haurà una bola de 100 kg de massa.
