Sistemes numèrics: què és? Fins i tot sense saber la resposta a aquesta pregunta, cadascú de nos altres utilitza involuntàriament sistemes de numeració a la nostra vida i no ho sospita. Així és, plural! És a dir, no un, sinó diversos. Abans de donar exemples de sistemes numèrics no posicionals, entenem aquest problema, parlem també dels sistemes posicionals.
Factura necessària
Des de l'antiguitat, la gent tenia la necessitat de comptar, és a dir, s'adonava intuïtivament que necessitava expressar d'alguna manera una visió quantitativa de les coses i els esdeveniments. El cervell va suggerir que era necessari utilitzar objectes per comptar. Els dits sempre han estat els més convenients, i això és comprensible, perquè sempre estan disponibles (amb rares excepcions).
Per tant, els antics representants de la raça humana van haver de doblegar els dits en el sentit literal, per indicar el nombre de mamuts morts, per exemple. Aquests elements del compte encara no tenien noms, sinó només una imatge visual, una comparació.
Sistema de numeració posicional modern
El sistema numèric és un mètode (manera) de representar valors quantitatius i quantitats mitjançant certs signes (símbols o lletres).
Cal entendre què és posicional i no posicional en el recompte abans de donar exemples de sistemes numèrics no posicionals. Hi ha molts sistemes de numeració posicionals. Ara s'utilitzen els següents en diversos camps del coneixement: binari (inclou només dos elements significatius: 0 i 1), hexadecimal (nombre de caràcters - 6), octal (caràcters - 8), duodecimal (dotze caràcters), hexadecimal (inclou setze caràcters). personatges). A més, cada fila de caràcters dels sistemes comença des de zero. Les tecnologies informàtiques modernes es basen en l'ús de codis binaris: el sistema de numeració posicional binari.
Sistema de nombres decimals
La posició és la presència de posicions significatives en diferents graus, sobre les quals es troben els signes del nombre. Això es pot demostrar millor amb l'exemple del sistema de numeració decimal. Al cap i a la fi, estem acostumats a utilitzar-lo des de la infància. En aquest sistema hi ha deu signes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Pren el número 327. Té tres signes: 3, 2, 7. Cadascun d'ells es troba en la seva pròpia posició (lloc). El set ocupa la posició reservada per a valors únics (unitats), les dues desenes i les tres-centes. Com que el nombre és de tres dígits, per tant, només hi ha tres posicions.
En base a l'anterior, aixòun nombre decimal de tres xifres es pot descriure de la següent manera: tres centes, dues desenes i set unitats. A més, la importància (importància) de les posicions es compta d'esquerra a dreta, d'una posició feble (una) a una de més forta (centers).
Ens sentim molt còmodes amb el sistema de numeració posicional decimal. Tenim deu dits a les mans, i el mateix als peus. Cinc més cinc, així que, gràcies als dits, ens imaginem fàcilment una dotzena des de la infància. Per això és fàcil que els nens aprenguin les taules de multiplicar per cinc i deu. I també és molt fàcil aprendre a comptar els bitllets, que sovint són múltiples (és a dir, dividits sense resta) per cinc i deu.
Altres sistemes de numeració posicional
Per sorpresa de molts, cal dir que no només en el sistema de recompte decimal, el nostre cervell està acostumat a fer alguns càlculs. Fins ara, la humanitat ha estat utilitzant sistemes numèrics de sis i duodecimals. És a dir, en aquest sistema només hi ha sis caràcters (en hexadecimal): 0, 1, 2, 3, 4, 5. En duodecimal n'hi ha dotze: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, on A - indica el número 10, B - el número 11 (ja que el signe ha de ser un).
Jutgeu per vos altres mateixos. Comptem el temps en sis, oi? Una hora són seixanta minuts (sis desenes), un dia són vint-i-quatre hores (dues vegades dotze), un any són dotze mesos, i així successivament… Tots els intervals de temps encaixen fàcilment en sèries de sis i duodecimals. Però estem tan acostumats a això que ni tan sols hi pensem quan comptem el temps.
Sistemes numèrics no posicionals. Unary
Cal definir què és: un sistema de numeració no posicional. Aquest és un sistema de signes en què no hi ha posicions per als signes d'un nombre, o el principi de "llegir" un nombre no depèn de la posició. També té les seves pròpies regles per escriure o calcular.
Donem exemples de sistemes numèrics no posicionals. Tornem a l'antiguitat. La gent necessitava un compte i va inventar l'invent més senzill: els nusos. El sistema de nombres no posicionals és nodular. Un article (una bossa d'arròs, un toro, un paller, etc.) es comptava, per exemple, quan es comprava o venia, i es feia un nus amb una corda.
Com a resultat, es van fer tants nusos a la corda com moltes bosses d'arròs es van comprar (com a exemple). Però també podrien ser osques en un pal de fusta, en una llosa de pedra, etc. Aquest sistema de nombres es va conèixer com a nodular. Té un segon nom: unari o solter ("uno" en llatí significa "un").
Es fa obvi que aquest sistema numèric no és posicional. Al cap i a la fi, de quin tipus de posicions podem parlar quan (la posició) només és una! Curiosament, en algunes parts de la Terra, el sistema numèric unari no posicional encara està en ús.
A més, els sistemes de numeració no posicionals inclouen:
- romà (les lletres s'utilitzen per escriure números - caràcters llatins);
- antic egipci (semblant al romà, també s'utilitzaven símbols);
- alfabètic (es van utilitzar lletres de l'alfabet);
- Babilònic (cuneiforme - utilitzat directe i"falca" invertida);
- grec (també anomenat alfabètic).
Sistema de numeració romana
L'antic Imperi Romà, així com la seva ciència, va ser molt progressista. Els romans van donar al món molts invents útils de la ciència i l'art, inclòs el seu sistema de recompte. Fa dos-cents anys, els números romans s'utilitzaven per indicar quantitats en documents comercials (per tant, es va evitar la falsificació).
La numeració romana és un exemple de sistema de numeració no posicional, ara el coneixem. A més, el sistema romà s'utilitza activament, però no per a càlculs matemàtics, sinó per a accions molt enfocades. Per exemple, amb l'ajuda dels números romans, s'acostuma a designar dates històriques, segles, nombres de volums, seccions i capítols en les publicacions de llibres. Sovint s'utilitzen signes romans per decorar esferes de rellotges. I també la numeració romana és un exemple de sistema de numeració no posicional.
Els romans denotaven nombres amb lletres llatines. A més, van anotar els números segons determinades regles. Hi ha una llista de símbols clau en el sistema de numeració romana, amb l'ajuda de la qual es van escriure tots els nombres sense excepció.
| Número (decimal) | Número romà (lletra de l'alfabet llatí) |
| 1 | I |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | D |
| 1000 | M |
Regles per compondre números
El nombre requerit es va obtenir sumant signes (lletres llatines) i calculant-ne la suma. Considerem com s'escriuen simbòlicament els signes en el sistema romà i com s'han de "llegir". Enumerem les principals lleis de formació dels nombres en el sistema de nombres no posicionals romà.
- El número quatre - IV, consta de dos caràcters (I, V - un i cinc). S'obté restant el signe més petit del més gran si és a l'esquerra. Quan el signe més petit es troba a la dreta, cal que sumeu i, a continuació, obtindreu el número sis - VI.
- Cal afegir dos signes idèntics al costat de l' altre. Per exemple: SS és 200 (C és 100) o XX és 20.
- Si el primer signe d'un nombre és menor que el segon, el tercer caràcter d'aquesta fila pot ser un caràcter el valor del qual és fins i tot menor que el primer. Per evitar confusions, aquí teniu un exemple: CDX - 410 (en decimal).
- Alguns nombres grans es poden representar de diferents maneres, la qual cosa és un dels inconvenients del sistema de recompte romà. Aquests són alguns exemples: MVM (romà)=1000 + (1000 - 5)=1995 (decimal) o MDVD=1000 + 500 + (500 - 5)=1995. I això no és tot.
Trucs d'aritmètica
El sistema de nombres no posicionals és de vegades un conjunt complex de regles per a la formació de nombres, el seu processament (accions sobre ells). Les operacions aritmètiques en sistemes numèrics no posicionals no són fàcilsper a la gent moderna. No envegem els antics matemàtics romans!
Exemple d'addició. Intentem sumar dos nombres: XIX + XXVI=XXXV, aquesta tasca es realitza en dos passos:
- Primer: agafeu i sumeu les fraccions més petites dels nombres: IX + VI=XV (I després de V i I abans de X "es destrueixen" mútuament).
- Segon: afegeix fraccions grans de dos nombres: X + XX=XXX.
La resta és una mica més complicada. El nombre a reduir s'ha de dividir en els seus elements constitutius, i després els caràcters duplicats a reduir en el nombre a reduir i a restar. Resta 263 de 500:
D - CCLXIII=CCCCLXXXXVIIII - CCLXIII=CCXXXVII.
Multiplicació de números romans. Per cert, cal esmentar que els romans no tenien signes d'operacions aritmètiques, simplement les denotaven amb paraules.
El número múltiple s'havia de multiplicar per cada símbol individual del multiplicador, donant com a resultat diversos productes que s'havien d'afegir. Així és com es multipliquen els polinomis.
Pel que fa a la divisió, aquest procés en el sistema de numeració romana va ser i continua sent el més difícil. Aquí s'utilitzava l'antic àbac romà. Per treballar amb ell, la gent estava especialment entrenada (i no totes les persones van aconseguir dominar aquesta ciència).
Sobre els desavantatges dels sistemes no posicionals
Com s'ha esmentat anteriorment, els sistemes de nombres no posicionals tenen els seus inconvenients, inconvenients en l'ús. Unari és prou simple per a un simple recompte, però per a càlculs aritmètics i complexos, no ho ésprou bo.
A romà no hi ha regles uniformes per a la formació de grans nombres i sorgeix confusió, i també és molt difícil fer-hi càlculs. A més, el nombre més gran que els antics romans podien escriure amb el seu mètode era 100.000.
