La geometria és bonica perquè, a diferència de l'àlgebra, on no sempre està clar què penses i per què, dóna visibilitat a l'objecte. Aquest meravellós món de diversos cossos està decorat amb poliedres regulars.
Informació general sobre els poliedres regulars
Segons molts, els poliedres regulars, o com també s'anomenen sòlids platònics, tenen propietats úniques. A aquests objectes s'associen diverses hipòtesis científiques. Quan comences a estudiar aquests cossos geomètrics, entens que pràcticament no saps res sobre un concepte com els poliedres regulars. La presentació d'aquests objectes a l'escola no sempre és interessant, per la qual cosa molts ni tan sols recorden com es diuen. La majoria de la gent només recorda el cub. Cap dels cossos de la geometria és tan perfecte com els poliedres regulars. Tots els noms d'aquests cossos geomètrics provenen de l'antiga Grècia. Volen dir el nombre de cares: tetraedre - de quatre cares, hexaedre - de sis cares, octaedre - octaedre, dodecaedre - de dotze cares, icosaedre - de vint cares. Tots aquests cossos geomètricsva ocupar un lloc important en el concepte de l'univers de Plató. Quatre d'ells personificaven els elements o entitats: el tetraedre -foc, l'icosaedre -aigua, el cub -terra, l'octaedre -aire. El dodecaedre encarnava tot el que existeix. Es considerava el principal, perquè era un símbol de l'univers.
Generalització del concepte de poliedre
Un poliedre és una col·lecció d'un nombre finit de polígons tal que:
- cada costat de qualsevol dels polígons és alhora el costat d'un sol altre polígon del mateix costat;
- de cada un dels polígons, podeu arribar als altres passant pels polígons adjacents.
Els polígons que formen un poliedre són les seves cares, i els seus costats són arestes. Els vèrtexs dels políedres són els vèrtexs dels polígons. Si el concepte de polígon s'entén com a línies discontínues planes i tancades, s'arriba a una definició de poliedre. En el cas que aquest concepte signifiqui una part del pla limitada per línies trencades, s'ha d'entendre una superfície formada per peces poligonals. Un poliedre convex és un cos situat en un costat d'un pla adjacent a la seva cara.
Una altra definició de poliedre i els seus elements
Un poliedre és una superfície formada per polígons que limita un cos geomètric. Són:
- no convex;
- convex (correcte i incorrecta).
Un poliedre regular és un poliedre convex amb la màxima simetria. Elements dels poliedres regulars:
- tetraedre: 6 arestes, 4 cares, 5 vèrtexs;
- hexaedre (cub): 12, 6, 8;
- dodecaedre: 30, 12, 20;
- octaedre: 12, 8, 6;
- icosaedre: 30, 20, 12.
Teorema d'Euler
Estableix una relació entre el nombre d'arestes, vèrtexs i cares que són topològicament equivalents a una esfera. Sumant el nombre de vèrtexs i cares (B + D) de diversos poliedres regulars i comparant-los amb el nombre d'arestes, es pot establir un patró: la suma del nombre de cares i vèrtexs és igual al nombre d'arestes (P) augmentat. per 2. Podeu derivar una fórmula senzilla:
B + D=R + 2
Aquesta fórmula és certa per a tots els poliedres convexos.
Definicions bàsiques
El concepte de poliedre regular no es pot descriure en una frase. És més significatiu i voluminós. Perquè un organisme sigui reconegut com a tal, ha de complir una sèrie de definicions. Per tant, un cos geomètric serà un poliedre regular si es compleixen les condicions següents:
- és convex;
- el mateix nombre d'arestes convergeixen en cadascun dels seus vèrtexs;
- totes les seves cares són polígons regulars, iguals entre si;
- tots els seus angles díedrics són iguals.
Propietats dels poliedres regulars
Hi ha 5 tipus diferents de poliedres regulars:
- Cube (hexaedre): té un angle pla a la part superior de 90°. Té un angle de 3 costats. La suma dels angles plans a la part superior és 270°.
- Tetraedre - angle pla a la part superior - 60°. Té un angle de 3 costats. La suma dels angles plans a la part superior és de 180°.
- Octaedre - angle de vèrtex pla - 60°. Té una cantonada de 4 cares. La suma dels angles plans a la part superior és 240°.
- Dodecaedre - angle pla al vèrtex 108°. Té un angle de 3 costats. La suma dels angles plans a la part superior és 324°.
- Icosaedre - té un angle pla a la part superior - 60°. Té un angle de 5 costats. La suma dels angles plans a la part superior és 300°.
Àrea de poliedres regulars
L'àrea superficial d'aquests cossos geomètrics (S) es calcula com l'àrea d'un polígon regular multiplicada pel nombre de les seves cares (G):
S=(a: 2) x 2G ctg π/p
El volum d'un poliedre regular
Aquest valor es calcula multiplicant el volum d'una piràmide regular, a la base de la qual hi ha un polígon regular, pel nombre de cares, i la seva alçada és el radi de l'esfera inscrita (r):
V=1: 3rS
Volums de poliedres regulars
Com qualsevol altre cos geomètric, els poliedres regulars tenen volums diferents. A continuació es mostren les fórmules amb les quals podeu calcular-les:
- tetraedre: α x 3√2: 12;
- octaedre: α x 3√2: 3;
- icosaedre; α x 3;
- hexaedre (cub): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- dodecaedre: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Elements de poliedres regulars
Hexaedre i octaedre són cossos geomètrics duals. És a dir, es poden obtenir l'un de l' altre si el centre de gravetat de la cara d'una es pren com a vèrtex de l' altra, i viceversa. L'icosaedre i el dodecaedre també són duals. Només el tetraedre és dual a si mateix. Segons el mètode Euclides, podeu obtenir un dodecaedre d'un hexaedre construint "sostres" a les cares d'un cub. Els vèrtexs d'un tetraedre seran 4 vèrtexs qualsevol d'un cub que no siguin adjacents per parelles al llarg d'una aresta. De l'hexaedre (cub) podeu obtenir altres poliedres regulars. Tot i que hi ha innombrables polígons regulars, només hi ha 5 poliedres regulars.
Radi de polígons regulars
Hi ha 3 esferes concèntriques associades a cadascun d'aquests cossos geomètrics:
- descrit, passant pels seus cims;
- inscrit, tocant cadascuna de les seves cares al centre;
- mediana, tocant totes les vores del mig.
El radi de l'esfera descrita es calcula amb la fórmula següent:
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
El radi d'una esfera inscrita es calcula amb la fórmula:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
on θ és l'angle díedre entre cares adjacents.
El radi de l'esfera mitjana es pot calcular mitjançant la fórmula següent:
ρ=a cos π/p: 2 sin π/h,
on el valor de h=4, 6, 6, 10 o 10. La relació de radis circumscrits i inscrits és simètrica respecte a p i q. Aixòcalculat amb la fórmula:
R/r=tg π/p x tg π/q
Simetria de poliedres
La simetria dels poliedres regulars provoca el principal interès en aquests cossos geomètrics. S'entén com a tal moviment del cos en l'espai, que deixa el mateix nombre de vèrtexs, cares i arestes. En altres paraules, sota l'efecte d'una transformació de simetria, una aresta, vèrtex, cara conserva la seva posició original o es mou a la posició original d'una altra aresta, vèrtex o cara.
Els elements de simetria dels poliedres regulars són característics de tot tipus d'aquests cossos geomètrics. Aquí estem parlant d'una transformació idèntica que deixa qualsevol dels punts en la seva posició original. Per tant, quan feu girar un prisma poligonal, podeu obtenir diverses simetries. Qualsevol d'ells es pot representar com a producte de reflexions. Una simetria que és el producte d'un nombre parell de reflexions s'anomena recta. Si és el producte d'un nombre senar de reflexions, s'anomena invers. Així, totes les rotacions al voltant d'una recta són simetria directa. Qualsevol reflex d'un poliedre és una simetria inversa.
Per entendre millor els elements de simetria dels poliedres regulars, podem prendre l'exemple d'un tetraedre. Qualsevol recta que passi per un dels vèrtexs i el centre d'aquesta figura geomètrica també passarà pel centre de la cara oposada a aquesta. Cadascun dels girs de 120° i 240° al voltant de la línia és plural.simetria del tetraedre. Com que té 4 vèrtexs i 4 cares, només hi ha vuit simetries directes. Qualsevol de les línies que passa pel mig de la vora i el centre d'aquest cos passa pel mig de la seva vora oposada. Qualsevol rotació de 180°, anomenada mitja volta, al voltant d'una línia recta és una simetria. Com que el tetraedre té tres parells d'arestes, hi ha tres simetries directes més. A partir de l'anterior, podem concloure que el nombre total de simetries directes, inclosa la transformació idèntica, arribarà a dotze. El tetraedre no té altres simetries directes, però sí 12 simetries inverses. Per tant, el tetraedre es caracteritza per un total de 24 simetries. Per a més claredat, podeu construir un model d'un tetraedre normal a partir de cartró i assegurar-vos que aquest cos geomètric realment només té 24 simetries.
El dodecaedre i l'icosaedre són els més propers a l'esfera del cos. L'icosaedre té el major nombre de cares, l'angle díedre més gran i es pot pressionar més fortament contra una esfera inscrita. El dodecaedre té el defecte angular més petit, l'angle sòlid més gran al vèrtex. Pot omplir la seva esfera descrita al màxim.
Escombrats de poliedres
Els poliedres regulars sense embolcall, que tots vam enganxar durant la infància, tenen molts conceptes. Si hi ha una col·lecció de polígons, cada costat dels quals s'identifica només amb un costat del políedre, la identificació dels costats ha de complir dues condicions:
- de cada polígon, podeu repassar els polígons que en tinguincostat identificat;
- costs identificats han de tenir la mateixa longitud.
És el conjunt de polígons que compleixen aquestes condicions que s'anomena desenvolupament del políedre. Cadascun d'aquests cossos en té diversos. Així, per exemple, un cub en té 11.
