Els poliedres no només ocupen un lloc destacat en la geometria, sinó que també es produeixen en la vida quotidiana de cada persona. Sense oblidar els articles per a la llar creats artificialment en forma de diversos polígons, començant per una caixa de llumins i acabant amb elements arquitectònics, cristalls en forma de cub (sal), prisma (cristall), piràmide (scheelite), octaedre (diamant), etc. e.
El concepte de poliedre, tipus de poliedres en geometria
La geometria com a ciència conté una secció d'estereometria que estudia les característiques i propietats de les figures tridimensionals. Els cossos geomètrics, els costats dels quals en l'espai tridimensional estan formats per plans limitats (cares), s'anomenen "poliedres". Els tipus de poliedres inclouen més d'una dotzena de representants, que es diferencien pel nombre i la forma de les cares.
No obstant això, tots els poliedres tenen propietats comunes:
- Tots tenen 3 components essencials: la cara(superfície d'un polígon), vèrtex (cantonades formades a la unió de cares), aresta (costat d'una figura o un segment format a la unió de dues cares).
- Cada vorera del polígon connecta dues i només dues cares adjacents entre elles.
- La convexitat significa que el cos està completament situat només en un costat del pla on es troba una de les cares. La regla s'aplica a totes les cares del poliedre. Aquestes figures geomètriques en estereometria s'anomenen poliedres convexos. L'excepció són els poliedres en forma d'estrella, que són derivats de sòlids geomètrics polièdrics regulars.
Els poliedres es poden dividir condicionalment en:
- Tipus de poliedres convexos, formats per les classes següents: ordinaris o clàssics (prisma, piràmide, paral·lelepípede), regulars (també anomenats sòlids platònics), semiregulars (segon nom - sòlids d'Arquimedes).
- Políedres no convexos (en forma d'estrella).
Prism i les seves propietats
L'estereometria com a branca de la geometria estudia les propietats de les figures tridimensionals, tipus de poliedres (un prisma és un d'ells). Un prisma és un cos geomètric que necessàriament té dues cares absolutament idèntiques (també s'anomenen bases) situades en plans paral·lels, i l'enèsimo nombre de cares laterals en forma de paral·lelograms. Al seu torn, el prisma també té diverses varietats, incloent tipus de poliedres com:
- Paral·lelepípede - format si la base és un paral·lelogram -polígon amb 2 parells d'angles oposats iguals i 2 parells de costats oposats congruents.
- Un prisma recte té vores perpendiculars a la base.
- El prisma inclinat es caracteritza per la presència d'angles no rectes (que no siguin 90) entre les cares i la base.
- Un prisma regular es caracteritza per les bases en forma de polígon regular amb cares laterals iguals.
Propietats bàsiques d'un prisma:
- Bases congruents.
- Totes les vores del prisma són iguals i paral·leles entre elles.
- Totes les cares laterals tenen forma de paral·lelogram.
Piràmide
La piràmide és un cos geomètric, que consta d'una base i enèsimo nombre de cares triangulars, connectades en un punt: la part superior. Cal tenir en compte que si les cares laterals de la piràmide estan representades necessàriament per triangles, aleshores la base pot ser un polígon triangular, un quadrangle o un pentàgon, i així successivament fins a l'infinit. En aquest cas, el nom de la piràmide correspondrà al polígon de la base. Per exemple, si un triangle es troba a la base d'una piràmide, és una piràmide triangular, un quadrilàter és un quadrangular, etc.
Les piràmides són poliedres en forma de cons. Els tipus de poliedres d'aquest grup, a més dels enumerats anteriorment, també inclouen els següents representants:
- Una piràmide regular té un polígon regular a la seva base i la seva alçada es projecta al centreun cercle inscrit a la base o circumscrit al seu voltant.
- Una piràmide rectangular es forma quan una de les vores laterals es talla amb la base en angle recte. En aquest cas, també és just anomenar aquesta vora l'alçada de la piràmide.
Propietats de la piràmide:
- Si totes les vores laterals de la piràmide són congruents (de la mateixa alçada), aleshores totes es tallen amb la base amb el mateix angle, i al voltant de la base podeu dibuixar un cercle amb un centre que coincideixi amb la projecció de la part superior de la piràmide.
- Si la base de la piràmide és un polígon regular, aleshores totes les arestes laterals són congruents i les cares són triangles isòsceles.
Poliedre regular: tipus i propietats dels poliedres
En estereometria, un lloc especial l'ocupen cossos geomètrics amb cares absolutament iguals, als vèrtexs dels quals es connecten el mateix nombre d'arestes. Aquests sòlids s'anomenen sòlids platònics o poliedres regulars. Els tipus de poliedres amb aquestes propietats només tenen cinc formes:
- Tetraedre.
- Hexaedre.
- Octaedre.
- Dodecaedre.
- Icosaedre.
Els poliedres regulars deuen el seu nom a l'antic filòsof grec Plató, que va descriure aquests cossos geomètrics en els seus escrits i els va connectar amb els elements naturals: terra, aigua, foc, aire. La cinquena figura va rebre la semblança amb l'estructura de l'univers. Segons la seva opinió, els àtoms dels elements naturals en forma s'assemblen als tipus de poliedres regulars. A causa de la seva propietat més emocionant -Simetria, aquests cossos geomètrics van ser de gran interès no només per als matemàtics i filòsofs antics, sinó també per als arquitectes, artistes i escultors de tots els temps. La presència de només 5 tipus de poliedres amb simetria absoluta es va considerar un descobriment fonamental, fins i tot se'ls va concedir una connexió amb el principi diví.
Hexaedre i les seves propietats
En forma d'hexàgon, els successors de Plató van assumir una semblança amb l'estructura dels àtoms de la terra. Per descomptat, en l'actualitat, aquesta hipòtesi ha estat totalment refutada, la qual cosa, però, no impedeix que les figures atraguin la ment de personatges famosos amb la seva estètica en els temps moderns.
En geometria, un hexaedre, també conegut com a cub, es considera un cas especial de paral·lelepípede, que, al seu torn, és una mena de prisma. En conseqüència, les propietats del cub estan relacionades amb les propietats del prisma, amb l'única diferència que totes les cares i cantonades del cub són iguals entre si. D'això se'n deriven les propietats següents:
- Totes les arestes del cub són congruents i es troben en plans paral·lels entre si.
- Totes les cares són quadrats congruents (n'hi ha 6 en total en un cub), qualsevol dels quals es pot prendre com a base.
- Tots els angles de la interfície són 90.
- Un nombre igual d'arestes emana de cada vèrtex, és a dir, 3.
- El cub té 9 eixos de simetria, que es tallen tots en el punt d'intersecció de les diagonals de l'hexaedre, anomenat centre de simetria.
Tetraedre
Un tetraedre és un tetraedre amb cares iguals en forma de triangles, cadascun dels vèrtexs dels qualsés el punt d'unió de tres cares.
Propietats del tetraedre regular:
- Totes les cares d'un tetraedre són triangles equilàters, el que significa que totes les cares d'un tetraedre són congruents.
- Com que la base està representada per una figura geomètrica regular, és a dir, té els costats iguals, les cares del tetraedre convergeixen en el mateix angle, és a dir, tots els angles són iguals.
- La suma dels angles plans en cadascun dels vèrtexs és 180, ja que tots els angles són iguals, llavors qualsevol angle d'un tetraedre regular és 60.
- Cada un dels vèrtexs es projecta al punt d'intersecció de les altures de la cara oposada (ortocentre).
L'octaedre i les seves propietats
Descrivint els tipus de poliedres regulars, no es pot deixar d'observar un objecte com un octaedre, que es pot representar visualment com dues piràmides regulars quadrangulars enganxades per bases.
Propietats de l'octaedre:
- El mateix nom d'un cos geomètric suggereix el nombre de les seves cares. L'octaedre consta de 8 triangles equilàters congruents, en cadascun dels vèrtexs dels quals convergeixen un nombre igual de cares, és a dir, 4.
- Com que totes les cares d'un octaedre són iguals, els seus angles d'interfície també són iguals, cadascun dels quals és igual a 60, i la suma dels angles plans de qualsevol dels vèrtexs és, per tant, 240.
Dodecaedre
Si imaginem que totes les cares d'un cos geomètric són un pentàgon regular, obtenim un dodecaedre -una xifra de 12 polígons.
Propietats del dodecaedre:
- Tres cares es tallen a cada vèrtex.
- Totes les cares són iguals i tenen la mateixa longitud de vora i la mateixa àrea.
- El dodecaedre té 15 eixos i plans de simetria, i qualsevol d'ells passa pel vèrtex de la cara i pel mig de l'aresta oposada.
Icosaedre
No menys interessant que el dodecaedre, la figura de l'icosaedre és un cos geomètric tridimensional amb 20 cares iguals. Entre les propietats d'un vint-edre regular, es pot destacar les següents:
- Totes les cares de l'icosaedre són triangles isòsceles.
- Cinc cares convergeixen a cada vèrtex del políedre i la suma dels angles adjacents del vèrtex és 300.
- L'icosaedre, com el dodecaedre, té 15 eixos i plans de simetria que passen pels punts mitjans de les cares oposades.
Polígons semiregulars
A més dels sòlids platònics, el grup de poliedres convexos també inclou els sòlids d'Arquimedes, que són poliedres regulars truncats. Els tipus de poliedres d'aquest grup tenen les propietats següents:
- Els cossos geomètrics tenen cares iguals per parelles de diversos tipus, per exemple, un tetraedre truncat té 8 cares, com un tetraedre regular, però en el cas d'un sòlid d'Arquimede, 4 cares seran triangulars i 4 seran hexagonals.
- Tots els angles d'un vèrtex són congruents.
Políedres estrella
Els representants de tipus no volumètrics de cossos geomètrics són poliedres estelats les cares dels quals es tallen entre si. Es poden formar fusionant dos sòlids 3D regulars o ampliant les seves cares.
Així, aquests poliedres estelats es coneixen com: formes estrellades de l'octaedre, dodecaedre, icosaedre, cuboctaedre, icosododecaedre.
