Els estudiants de matemàtiques superiors han de ser conscients que la suma d'algunes sèries de potències pertanyents a l'interval de convergència de la sèrie donada resulta ser un nombre continu i il·limitat de vegades la funció diferenciada. Sorgeix la pregunta: és possible afirmar que una funció arbitrària donada f(x) és la suma d'alguna sèrie de potències? És a dir, en quines condicions es pot representar la funció f(x) per una sèrie de potències? La importància d'aquesta qüestió rau en el fet que és possible substituir aproximadament la funció f(x) per la suma dels primers termes de la sèrie de potències, és a dir, per un polinomi. Aquesta substitució d'una funció per una expressió força senzilla -un polinomi- també és convenient quan es resolen alguns problemes d'anàlisi matemàtica, és a dir: quan es resolen integrals, quan es calculen equacions diferencials, etc.
S'ha demostrat que per a alguna funció f(х) on les derivades fins a (n+1)è ordre, inclosa l'última, es poden calcular al barri (α - R; x0 + R) d'algun punt x=α la fórmula és vàlida:
Aquesta fórmula porta el nom del famós científic Brook Taylor. La sèrie que s'obté de l'anterior s'anomena sèrie Maclaurin:
La regla que permet expandir-se en una sèrie de Maclaurin:
- Determineu les derivades de la primera, segona, tercera… ordre.
- Calculeu a què són iguals les derivades en x=0.
- Registreu la sèrie de Maclaurin per a aquesta funció i, a continuació, determineu l'interval de la seva convergència.
- Determineu l'interval (-R;R) on la resta de la fórmula de Maclaurin
R (x) -> 0 per a n -> infinit. Si n'hi ha, la funció f(x) ha de coincidir amb la suma de la sèrie de Maclaurin.
Ara considereu la sèrie Maclaurin per a funcions individuals.
1. Per tant, el primer serà f(x)=ex. Per descomptat, segons les seves característiques, aquesta funció té derivades de diversos ordres, i f(k)(x)=ex, on k és igual a tots nombres naturals. Substituïm x=0. Obtenim f(k)(0)=e0=1, k=1, 2… tindria aquest aspecte:
2. La sèrie de Maclaurin per a la funció f(x)=sin x. Aclareix immediatament que la funció per a totes les incògnites tindrà derivades, a més de f'(x)=cos x=sin(x+n/2), f '' (x)=-sin x=sin(x+2n/2)…, f(k)(x)=sin(x+k n/2), on k és igual a qualsevol nombre natural. És a dir, després de fer càlculs senzills, podem arribar a la conclusió que la sèrie de f(x)=sin x serà així:
3. Ara intentem considerar la funció f(x)=cos x. Ella és per a tot el desconegutté derivades d'ordre arbitrari, i |f(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… De nou, després de fer alguns càlculs, obtenim que la sèrie per a f(x)=cos x serà així:
Per tant, hem enumerat les funcions més importants que es poden ampliar a la sèrie Maclaurin, però es complementen amb la sèrie de Taylor per a algunes funcions. Ara els enumerarem. També val la pena assenyalar que les sèries de Taylor i Maclaurin són una part important de la pràctica de resoldre sèries en matemàtiques superiors. Per tant, sèrie Taylor.
1. El primer serà una sèrie per a f-ii f(x)=ln(1+x). Com en els exemples anteriors, donat-nos f (x)=ln (1 + x), podem afegir una sèrie utilitzant la forma general de la sèrie de Maclaurin. tanmateix, per a aquesta funció, la sèrie Maclaurin es pot obtenir de manera molt més senzilla. Després d'integrar una sèrie geomètrica determinada, obtenim una sèrie per a f(x)=ln(1+x) d'aquesta mostra:
2. I el segon, que serà definitiu al nostre article, serà una sèrie per a f (x) u003d arctg x. Per a x pertanyent a l'interval [-1;1], l'expansió és vàlida:
Això és tot. Aquest article examina les sèries de Taylor i Maclaurin més utilitzades en matemàtiques superiors, en particular, a les universitats econòmiques i tècniques.
