La paradoxa de la teoria de l'elecció pública va ser descrita per primera vegada pel marquès Condorcet l'any 1785, que va ser generalitzada amb èxit als anys 50 del segle passat per l'economista nord-americà K. Arrow. El teorema d'Arrow respon a una pregunta molt senzilla de la teoria de la decisió col·lectiva. Suposem que hi ha múltiples opcions en política, projectes públics o distribució d'ingressos, i hi ha persones les preferències de les quals determinen aquestes opcions.
La pregunta és quins procediments existeixen per determinar qualitativament l'elecció. I com aprendre sobre les preferències, sobre l'ordenació col·lectiva o social de les alternatives, de millor a pitjor. La resposta d'Arrow a aquesta pregunta va sorprendre a molts.
El teorema d'Arrow diu que aquests procediments no existeixen en absolut; en tot cas, no es corresponen amb certes i bastant raonables preferències de la gent. El marc tècnic d'Arrow, en el qual va donar un significat clar al problema de la contractació social, i la seva resposta rigorosa s'utilitzen avui àmpliament per estudiar problemes d'economia social. El teorema en si va formar la base de la teoria moderna de l'elecció pública.
Teoria de l'elecció pública
El teorema d'Arrow mostra que si els votants tenen almenys tres alternatives, no hi ha cap sistema electoral que pugui transformar l'elecció dels individus en opinió pública.
La impactant declaració prové de l'economista i premi Nobel Kenneth Joseph Arrow, que va demostrar aquesta paradoxa a la seva tesi doctoral i la va popularitzar al seu llibre de 1951 Social Choice and Individual Values. El títol de l'article original és "Dificultats en el concepte de la Seguretat Social".
El teorema d'Arrow diu que és impossible dissenyar un sistema electoral amb un ordre que compleixi sempre criteris justos:
- Quan un votant escull l' alternativa X a Y, aleshores la comunitat de votants preferirà X a Y. Si les opcions de cadascun dels votants X i Y romanen sense canvis, aleshores l'elecció de la societat X i Y serà la el mateix fins i tot si els votants trien altres parells de X i Z, Y i Z, o Z i W.
- No hi ha un "dictador d'elecció" perquè un votant no pot influir en l'elecció d'un grup.
- Els sistemes electorals existents no cobreixen els requisits necessaris, ja que proporcionen més informació que el rang ordinal.
Sistemes de gestió social estatal
Tot i que l'economista nord-americà Kenneth Arrow va rebre el Premi Nobel d'Economia, el treball va ser més útil per al desenvolupament de les ciències socials, ja que el "Teorema de la impossibilitat" d'Arrow va marcar l'inici d'una direcció completament nova en l'economia: l'elecció social. Aquesta indústria intenta analitzar matemàticament l'adopció de decisions conjuntes, en particular en l'àmbit dels sistemes públics de gestió social.
L'elecció és la democràcia en acció. La gent va a votar i expressa les seves preferències i, al final, les preferències de molta gent s'han d'ajuntar per prendre una decisió conjunta. Per això és molt important l'elecció del mètode de votació. Però hi ha realment un vot perfecte? Segons els resultats de la teoria d'Arrow, obtinguts l'any 1950, la resposta és no. Si "ideal" significa un mètode de votació preferent que compleix els criteris definits per mètodes de votació raonables.
El mètode de votació preferit és la classificació, on els electors valoren tots els candidats segons les seves preferències, i en funció d'aquestes valoracions, el resultat és: una altra llista de tots els candidats a presentar per voluntat comuna del poble. Segons el teorema de la impossibilitat d'Arrow, es pot especificar un mètode de votació raonable:
- Sense dictadors (ND): el resultat no sempre ha de coincidir amb l'avaluació d'una persona concreta.
- Eficiència de Pareto (PE): si cada votant prefereix el candidat A al candidat B, el resultat hauria d'indicarcandidat A sobre candidat B.
- La independència d' alternatives incompatibles (IIA) és la puntuació relativa dels candidats A i B i no hauria de canviar si els votants canvien la puntuació d' altres candidats, però no canvien les seves puntuacions relatives d'A i B.
Segons el teorema d'Arrow, resulta que en el cas d'eleccions amb tres o més criteris, no hi ha funcions d'elecció social que siguin simultàniament adequades per a ND, PE i IIA.
Sistema de selecció racional
La necessitat de l'agregació de preferències es manifesta en moltes àrees de la vida humana:
- L'economia del benestar utilitza mètodes microeconòmics per mesurar el benestar a nivell econòmic agregat. Una metodologia típica comença per derivar o inferir una funció de benestar, que després es pot utilitzar per classificar les assignacions de recursos econòmicament sòlides en termes de benestar. En aquest cas, els estats estan intentant trobar un resultat econòmicament viable i sostenible.
- En teoria de decisions, quan una persona ha de fer una elecció racional basada en diversos criteris.
- En els sistemes electorals, que són mecanismes per trobar una única solució a partir de les preferències de molts votants.
En les condicions del teorema d'Arrow, es distingeix l'ordre de preferències per a un determinat conjunt de paràmetres (resultats). Cada unitat de la societat, o cada criteri de decisió, assigna un determinat ordre de preferència respecte a un conjunt de resultats. La societat busca un sistemavotació basada en la classificació, anomenada funció de benestar.
Aquesta regla d'agregació de preferències transforma un perfil de preferències establert en un ordre públic global. La declaració d'Arrow diu que si un òrgan de govern té almenys dos votants i tres criteris de selecció, és impossible crear una funció de benestar que compleixi totes aquestes condicions alhora.
Per a cada conjunt de preferències individuals de votant, la funció de benestar ha de realitzar una puntuació de selecció pública única i completa:
- Això s'ha de fer de manera que el resultat sigui una avaluació completa de les preferències del públic.
- Determinísticament hauria de donar la mateixa puntuació quan les preferències dels votants semblen ser les mateixes.
Independència d' alternatives irrellevants (IIA)
L'elecció entre X i Y està connectada únicament amb les preferències de l'individu entre X i Y: això és la independència en parells (independència per parelles), segons el teorema de la "Impossibilitat de la democràcia" d'Arrow. Al mateix temps, un canvi en la valoració d'una persona d' alternatives irrellevants situades fora d'aquests grups no afecta l'avaluació social d'aquest subconjunt. Per exemple, presentar un tercer candidat en una elecció de dos candidats no té cap efecte sobre el resultat de les eleccions tret que guanyi el tercer candidat.
La societat es caracteritza per la monotonia i una combinació positiva de valors socials i individuals. Si una persona canvia el seu ordre de preferència mitjançant la promoció d'una opció determinada, llavors l'ordreles preferències de la societat haurien de correspondre a la mateixa opció sense canvis. Una persona no hauria de poder perjudicar una opció posant-li un preu més alt.
En el teorema de la impossibilitat, l'eficiència i la justícia en la societat es garanteixen a través de la sobirania del ciutadà. Tot ordre social possible de preferències s'ha de poder assolir amb algun conjunt d'ordres de preferències individuals. Això vol dir que la funció de benestar és surjectiva: té un espai objectiu il·limitat. Una versió posterior (1963) del teorema d'Arrow va substituir els criteris de monotonia i no solapament.
Pareto. Eficàcia o unanimitat?
Si cada persona prefereix una opció concreta a una altra, l'ordre de preferència social també ho hauria de fer. És essencial que la funció de benestar sigui mínimament sensible al perfil de preferències. Aquesta versió posterior és més general i té condicions una mica més febles. Els axiomes d'uniformitat, sense solapament, juntament amb IIA, denoten l'eficiència de Pareto. Al mateix temps, no implica solapament de l'IIA i no implica monotonia.
IIA té tres propòsits:
- Estàndard. Les alternatives irrellevants no haurien d'importar.
- Pràctic. Ús d'informació mínima.
- Estratègic. Proporcionar els incentius adequats per identificar realment les preferències individuals. Tot i que l'objectiu estratègic és conceptualment diferent de l'IIA, estan estretament relacionats.
L'eficiència de Pareto, que rep el nom de l'economista i politòleg italià Vilfredo Pareto (1848-1923), s'utilitza en l'economia neoclàssica juntament amb el concepte teòric de competència perfecta com a referent per avaluar l'eficiència dels mercats reals. Cal tenir en compte que cap dels resultats s'aconsegueix fora de la teoria econòmica. Hipotèticament, si existís la competència perfecta i els recursos s'utilitzessin de la manera més eficient possible, llavors tothom tindria el nivell de vida més alt, o l'eficiència de Pareto.
A la pràctica, és impossible fer cap acció social, com un canvi de política econòmica, sense empitjorar la situació d'almenys una persona, per la qual cosa el concepte de millora de Pareto ha trobat una aplicació més àmplia en economia. Una millora de Pareto es produeix quan un canvi en la distribució no perjudica ningú i ajuda almenys a una persona, donada la distribució inicial de béns a un grup de persones. La teoria suggereix que les millores de Pareto continuaran aportant valor a l'economia fins que s'arribi a l'equilibri de Pareto, quan no es puguin fer més millores.
Enunciat formal del teorema
Sigui A el conjunt de resultats, N el nombre de votants o criteris de decisió. Denoteu el conjunt de tots els ordenaments lineals complets de A a L (A). La funció estricta de la seguretat social (regla d'agregació de preferències) és una funció que agrega les preferències dels votants en un ordre de preferència únic perA.
N - una tupla (R 1, …, R N) ∈ L (A) N de preferències dels votants s'anomena perfil de preferències. En la seva forma més forta i més simple, el teorema d'impossibilitat d'Arrow estableix que sempre que el conjunt de possibles alternatives A té més de 2 elements, les tres condicions següents es tornen inconsistents:
- Unanimitat o dèbil eficiència de Pareto. Si l' alternativa A se situa estrictament per sobre de B per a tots els ordres R 1, …, R N, aleshores A se situa estrictament per sobre de B en F (R 1, R 2, …, R N). Al mateix temps, la unanimitat implica l'absència d'imposició.
- No dictadura. No hi ha cap "jo" individual les preferències estrictes sempre prevalguin. És a dir, no hi ha I ∈ {1, …, N }, que per a tots (R 1, …, R N) ∈ L (A) N, sigui estrictament superior a B de R. "I" ocupa estrictament superior a B. sobre F (R 1, R 2, …, R N), per a tots els A i B.
- Independència d' alternatives irrellevants. Per a dos perfils de preferència (R 1, …, R N) i (S 1, …, S N) de manera que per a tots els individus I, les alternatives A i B tenen el mateix ordre en R i que en Si, les alternatives A i B tenen el mateix ordre en F (R 1, R 2, …, R N) que en F (S 1, S2, …, S N).
Interpretació del teorema
Tot i que el teorema de la impossibilitat està demostrat matemàticament, sovint s'expressa de manera no matemàtica amb l'afirmació que cap mètode de votació és just, tots els mètodes de votació classificat tenen defectes o l'únic mètode de votació que no és incorrecte és una dictadura. Aquestes afirmacions són una simplificacióEl resultat de Arrow, que no sempre es considera correcte. El teorema d'Arrow estableix que un mecanisme de vot preferencial determinista, és a dir, aquell en què l'ordre de preferència és l'única informació en la votació i qualsevol conjunt de vots possible produeix un resultat únic, no pot satisfer totes les condicions anteriors alhora.
Diversos teòrics han suggerit relaxar el criteri de l'IIA com a sortida de la paradoxa. Els defensors dels mètodes de qualificació argumenten que l'IIA és un criteri innecessàriament fort que es viola en la majoria de sistemes electorals útils. Els defensors d'aquesta posició assenyalen que l'incompliment del criteri estàndard de l'IIA està implicat de manera trivial per la possibilitat de preferències cícliques. Si els votants voten així:
- 1 vot per a A> B> C;
- 1 vot per a B> C> A;
- 1 vot per a C> A> B.
Llavors, la preferència de grup de duplicació majoritària és que A supera B, B supera C i C supera A, i això resulta en una preferència de tisores-roca-tisores per a qualsevol comparació de parells.
En aquest cas, qualsevol regla d'agregació que compleixi el requisit bàsic de la majoria de que el candidat amb més vots hagi de guanyar les eleccions incompleix el criteri de l'IIA si les preferències socials han de ser transitives o acícliques. Per veure-ho, se suposa que aquesta norma compleix l'IIA. Ja que les preferències de la majorias'observen, la societat afavoreix A - B (dos vots per A> B i un per B> A), B - C i C - A. Així, es crea un cicle que contradiu la suposició que les preferències socials són transitives.
Per tant, el teorema d'Arrow demostra efectivament que qualsevol sistema electoral amb més victòries és un joc no trivial, i aquesta teoria de jocs s'hauria d'utilitzar per predir el resultat de la majoria dels mecanismes de votació. Això es pot veure com un resultat descoratjador perquè el joc no hauria de tenir equilibris eficients, per exemple, votar podria conduir a una alternativa que ningú realment volia però que tothom va votar.
Elecció social en lloc de preferència
L'elecció col·lectiva racional del mecanisme de votació segons el teorema d'Arrow no és l'objectiu de la presa de decisions socials. Sovint n'hi ha prou amb trobar alguna alternativa. L'enfocament alternatiu centrat en l'elecció explora les funcions d'elecció social que mapegen cada perfil de preferència, o les regles d'elecció social, funcions que mapegen cada perfil de preferència amb un subconjunt d' alternatives.
Pel que fa a les funcions d'elecció social, és ben conegut el teorema de Gibbard-Satterthwaite, que diu que si una funció d'elecció social el rang de la qual conté almenys tres alternatives és estratègicament estable, aleshores és dictatorial. Tenint en compte les regles de l'elecció social, creuen que les preferències socials estan darrere d'ells.
És a dir, consideren la regla com una opcióelements màxims: les millors alternatives a qualsevol preferència social. El conjunt d'elements de preferència social màxima s'anomena nucli. Les condicions per a l'existència d'una alternativa al nucli es van estudiar en dos enfocaments. El primer enfocament suposa que les preferències són almenys acícliques, cosa que és necessària i suficient perquè les preferències tinguin un element màxim en qualsevol subconjunt finit.
Per aquest motiu, està estretament relacionat amb la transitivitat relaxant. El segon enfocament elimina l'assumpció de preferències acícliques. Kumabe i Mihara van adoptar aquest enfocament. Van fer la suposició més coherent que les preferències individuals són les més importants.
Aversió al risc relativa
Hi ha diversos indicadors d'aversió al risc expressats per la funció d'utilitat en el teorema d'Arrow Pratt. Aversió al risc absoluta: com més gran sigui la curvatura u(c), més gran serà l'aversió al risc. Tanmateix, com que les funcions d'utilitat esperades no es defineixen de manera única, la mesura necessària es manté constant respecte a aquestes transformacions. Una d'aquestes mesures és la mesura Arrow-Pratt de l'aversió al risc absoluta (ARA), després que els economistes Kenneth Arrow i John W. Pratt definissin la relació d'aversió al risc absoluta com
A (c)=- {u '' (c)}/ {u '(c)}, on: u '(c) i u '' (c) denoten la primera i segona derivades respecte a "c" de "u (c)".
Les dades experimentals i empíriques són generalment coherents amb una disminució de l'aversió al risc absoluta. mesura relativaL'aversió al risc de Arrow Pratt (ACR) o la relació d'aversió al risc relativa es defineix per:
R (c)=cA (c)={-cu '' (c)} /{u '(c) R (c).
Com amb l'aversió al risc absoluta, els termes respectius utilitzats són aversió al risc relativa constant (CRRA) i aversió al risc relativa decreixent/augmentant (DRRA/IRRA). L'avantatge d'aquesta quantitat és que encara és una mesura vàlida de l'aversió al risc fins i tot si la funció d'utilitat canvia de propensió al risc, és a dir, la utilitat no és estrictament convexa/còncava en tota la "c". Un RRA constant implica una reducció de l'ARA de la teoria d'Arrow Pratt, però el contrari no sempre és cert. Com a exemple específic d'aversió al risc relativa constant, la funció d'utilitat: u(c)=log(c), implica RRA=1.
Gràfic de l'esquerra: la funció d'utilitat per evitar riscos és còncava des de baix, i la funció d'utilitat amb aversion al risc és convexa. Gràfic central: a l'espai dels valors de desviació estàndard esperats, les corbes d'indiferència de risc tenen pendent cap amunt. Gràfic de la dreta: amb probabilitats fixes dels dos estats alternatius 1 i 2, les corbes d'indiferència averses al risc sobre parells de resultats dependents de l'estat són convexes.
Sistema electoral nominal
Al principi, Arrow va rebutjar la utilitat cardinal com una eina important per expressar el benestar social, de manera que va concentrar les seves afirmacions en les preferències de classificació, però més tardva concloure que un sistema de qualificació cardinal amb tres o quatre classes és probablement el millor. Segons el teorema de la impossibilitat, l'elecció pública suposa que les preferències individuals i socials estan ordenades, és a dir, la satisfacció amb la completitud i la transitivitat en diverses alternatives. Això vol dir que si les preferències estan representades per una funció d'utilitat, el seu valor és útil en el sentit que té sentit, ja que un valor més alt significa una millor alternativa.
Les aplicacions pràctiques del teorema s'utilitzen per avaluar categories àmplies de sistemes de votació. L'argument principal d'Arrow argumenta que els sistemes de votació per ordre sempre han de violar almenys un dels criteris d'equitat que va descriure. La implicació pràctica d'això és que cal estudiar els sistemes de votació que no estan en regla. Per exemple, els sistemes de votació de classificació on els votants donen punts a cada candidat poden complir tots els criteris d'Arrow.
De fet, el mecanisme de votació, l'elecció col·lectiva racional del Teorema d'Arrow i el diàleg posterior, era increïblement enganyós en el camp de la votació. Sovint, els estudiants i els no especialistes creuen que cap sistema de votació pot complir els criteris d'equitat d'Arrow, quan, de fet, els sistemes de classificació poden complir i compleixen tots els criteris d'Arrow.
