A jutjar per la popularitat de la sol·licitud "Teorema de Fermat - una demostració breu", aquest problema matemàtic és realment d'interès per a molts. Aquest teorema va ser enunciat per primera vegada per Pierre de Fermat l'any 1637 a la vora d'una còpia d'Aritmètica, on va afirmar que tenia una solució que era massa gran per cabre a la vora.
La primera prova reeixida es va publicar l'any 1995: va ser la demostració completa del teorema de Fermat d'Andrew Wiles. S'ha descrit com un "progrés sorprenent" i va portar a Wiles a rebre el premi Abel el 2016. Tot i que s'ha descrit relativament breument, la demostració del teorema de Fermat també va demostrar gran part del teorema de la modularitat i va obrir nous enfocaments a molts altres problemes i mètodes efectius per augmentar la modularitat. Aquests èxits han avançat les matemàtiques 100 anys en el futur. La demostració del petit teorema de Fermat avui no ho ésés una cosa fora del normal.
El problema no resolt va estimular el desenvolupament de la teoria algebraica de nombres al segle XIX i la recerca d'una demostració del teorema de la modularitat al segle XX. Aquest és un dels teoremes més notables de la història de les matemàtiques, i fins a la prova de divisió completa de l'últim teorema de Fermat, figurava al Llibre Guinness dels Rècords com "el problema matemàtic més difícil", una de les característiques del qual és que té el major nombre de proves no reeixides.
Antecedents històrics
Equació pitagòrica x2 + y2=z2 té un nombre infinit de positius solucions enteres per a x, y i z. Aquestes solucions es coneixen com a trinitats pitagòriques. Cap al 1637, Fermat va escriure a la vora del llibre que l'equació més general a + b =cno té solucions en nombres naturals si n és un nombre enter més gran que 2. Encara que el mateix Fermat va afirmar tenir una solució al seu problema, no va deixar cap detall sobre la seva demostració. La prova elemental del teorema de Fermat, afirmada pel seu creador, va ser més aviat la seva invenció fanfarona. El llibre del gran matemàtic francès va ser descobert 30 anys després de la seva mort. Aquesta equació, anomenada l'últim teorema de Fermat, va romandre sense resoldre en matemàtiques durant tres segles i mig.
El teorema finalment es va convertir en un dels problemes no resolts més notables de les matemàtiques. Els intents de demostrar això van provocar un desenvolupament significatiu de la teoria dels nombres, i amb el passatgetemps, l'últim teorema de Fermat es va conèixer com un problema no resolt en matemàtiques.
Una breu història de l'evidència
Si n=4, com ha demostrat el mateix Fermat, n'hi ha prou amb demostrar el teorema dels índexs n que són nombres primers. Durant els dos segles següents (1637-1839) la conjectura només es va demostrar per als nombres primers 3, 5 i 7, tot i que Sophie Germain va actualitzar i demostrar un enfocament que s'aplicava a tota la classe de nombres primers. A mitjans del segle XIX, Ernst Kummer va estendre això i va demostrar el teorema per a tots els primers regulars, mitjançant el qual els primers irregulars s'analitzaven individualment. Basant-se en el treball de Kummer i fent servir una investigació informàtica sofisticada, altres matemàtics van poder ampliar la solució del teorema, amb l'objectiu de cobrir tots els exponents principals fins a quatre milions, però la demostració per a tots els exponents encara no estava disponible (és a dir, que els matemàtics generalment es considera que la solució del teorema és impossible, extremadament difícil o inassolible amb els coneixements actuals).
El treball de Shimura i Taniyama
El 1955, els matemàtics japonesos Goro Shimura i Yutaka Taniyama van sospitar que hi havia una connexió entre les corbes el·líptiques i les formes modulars, dues branques molt diferents de les matemàtiques. Coneguda en aquell moment com la conjectura Taniyama-Shimura-Weyl i (en última instància) com el teorema de la modularitat, existia per si sola, sense cap connexió aparent amb l'últim teorema de Fermat. Es considerava àmpliament com un teorema matemàtic important, però es considerava (com el teorema de Fermat) impossible de demostrar. En aixòAl mateix temps, la demostració de l'últim teorema de Fermat (dividint i aplicant fórmules matemàtiques complexes) només es va dur a terme mig segle després.
El 1984, Gerhard Frey va notar una connexió òbvia entre aquests dos problemes no relacionats anteriorment i sense resoldre. Una confirmació completa que els dos teoremes estaven estretament relacionats va ser publicada l'any 1986 per Ken Ribet, que es va basar en una demostració parcial de Jean-Pierre Serra, que va demostrar totes les parts menys una, coneguda com la "hipòtesi èpsilon". En poques paraules, aquests treballs de Frey, Serra i Ribe van demostrar que si es pogués demostrar el teorema de la modularitat, almenys per a una classe semiestable de corbes el·líptiques, tard o d'hora també es descobriria la demostració de l'últim teorema de Fermat. Qualsevol solució que pugui contradir l'últim teorema de Fermat també es pot utilitzar per contradir el teorema de la modularitat. Per tant, si el teorema de la modularitat resulta ser cert, aleshores, per definició, no hi pot haver una solució que contradigui l'últim teorema de Fermat, la qual cosa significa que s'hauria d'haver demostrat aviat.
Tot i que tots dos teoremes eren problemes difícils de matemàtiques, considerats irresolubles, el treball dels dos japonesos va ser el primer suggeriment de com es podia estendre i demostrar l'últim teorema de Fermat per a tots els nombres, no només per a alguns. Important per als investigadors que van triar el tema d'estudi va ser el fet que, a diferència de l'últim teorema de Fermat, el teorema de la modularitat va ser la principal àrea activa de recerca, per a la quals'han desenvolupat proves, i no només rareses històriques, de manera que el temps dedicat a la seva feina es podria justificar des d'un punt de vista professional. Tanmateix, el consens general va ser que resoldre la conjectura Taniyama-Shimura va resultar inadequat.
L'últim teorema de la granja: demostració de Wiles
Després que Ribet havia demostrat que la teoria de Frey era correcta, el matemàtic anglès Andrew Wiles, que s'ha interessat en l'últim teorema de Fermat des de la infància i té experiència treballant amb corbes el·líptiques i dominis adjacents, va decidir provar de provar el Taniyama-Shimura. Conjectura com a forma de demostrar l'últim teorema de Fermat. El 1993, sis anys després d'anunciar el seu objectiu, mentre treballava en secret en el problema de resoldre el teorema, Wiles va aconseguir demostrar una conjectura relacionada, que al seu torn l'ajudaria a demostrar l'últim teorema de Fermat. El document de Wiles era enorme en mida i abast.
Es va descobrir un defecte en una part del seu article original durant la revisió per parells i va requerir un altre any de col·laboració amb Richard Taylor per resoldre conjuntament el teorema. Com a resultat, la prova final de Wiles de l'últim teorema de Fermat no es va fer esperar. El 1995, es va publicar a una escala molt més petita que el treball matemàtic anterior de Wiles, il·lustrant que no s'equivocava en les seves conclusions anteriors sobre la possibilitat de demostrar el teorema. L'èxit de Wiles va ser àmpliament divulgat a la premsa popular i popularitzat en llibres i programes de televisió. Les parts restants de la conjectura Taniyama-Shimura-Weil, que ara s'han demostrat iconegut com el teorema de la modularitat, van ser posteriorment provats per altres matemàtics que es van basar en el treball de Wiles entre 1996 i 2001. Pel seu èxit, Wiles ha estat distingit i ha rebut nombrosos premis, inclòs el Premi Abel 2016.
La prova de Wiles de l'últim teorema de Fermat és un cas especial de resolució del teorema de modularitat per a corbes el·líptiques. No obstant això, aquest és el cas més famós d'una operació matemàtica a gran escala. Juntament amb la resolució del teorema de Ribe, el matemàtic britànic també va obtenir una demostració de l'últim teorema de Fermat. L'últim teorema de Fermat i el teorema de la modularitat eren gairebé universalment considerats indemostrables pels matemàtics moderns, però Andrew Wiles va ser capaç de demostrar al món científic que fins i tot els experts poden estar equivocats.
Wyles va anunciar per primera vegada el seu descobriment el dimecres 23 de juny de 1993 en una conferència de Cambridge titulada "Formes modulars, corbes el·líptiques i representacions de Galois". Tanmateix, el setembre de 1993, es va comprovar que els seus càlculs contenien un error. Un any més tard, el 19 de setembre de 1994, en el que ell anomenaria "el moment més important de la seva vida laboral", Wiles va ensopegar amb una revelació que li va permetre arreglar la solució del problema fins al punt en què podia satisfer les necessitats matemàtiques. comunitat.
Descripció del treball
La prova del teorema de Fermat d'Andrew Wiles utilitza molts mètodes de geometria algebraica i teoria de nombres i té moltes ramificacions en aquestsàrees de les matemàtiques. També utilitza les construccions estàndard de la geometria algebraica moderna, com la categoria d'esquemes i la teoria d'Iwasawa, així com altres mètodes del segle XX que no estaven disponibles per Pierre de Fermat.
Els dos articles que contenen les proves tenen 129 pàgines i es van escriure al llarg de set anys. John Coates va descriure aquest descobriment com un dels majors assoliments de la teoria dels nombres, i John Conway el va anomenar el gran assoliment matemàtic del segle XX. Wiles, per tal de demostrar l'últim teorema de Fermat demostrant el teorema de la modularitat per al cas especial de corbes el·líptiques semiestables, va desenvolupar mètodes potents per augmentar la modularitat i va obrir nous enfocaments a molts altres problemes. Per resoldre l'últim teorema de Fermat, va ser nomenat cavaller i va rebre altres premis. Quan es va saber que Wiles havia guanyat el premi Abel, l'Acadèmia Noruega de Ciències va descriure el seu èxit com "una prova elemental i deliciosa de l'últim teorema de Fermat".
Com era
Una de les persones que va revisar el manuscrit original de Wiles amb la solució del teorema va ser Nick Katz. En el transcurs de la seva revisió, va fer al britànic una sèrie de preguntes clarificadores que van portar a Wiles a admetre que el seu treball conté clarament un buit. En una part crítica de la prova, es va cometre un error que donava una estimació de l'ordre d'un grup en particular: el sistema d'Euler utilitzat per estendre el mètode Kolyvagin i Flach era incomplet. L'error, però, no va fer que la seva obra sigui inútil: cada peça de l'obra de Wiles era molt significativa i innovadora en si mateixa, com ho van ser moltes.desenvolupaments i mètodes que va crear al llarg del seu treball i que només van afectar una part del manuscrit. Tanmateix, aquest treball original, publicat el 1993, no tenia realment una prova de l'últim teorema de Fermat.
Wyles va passar gairebé un any intentant redescobrir una solució al teorema, primer en solitari i després en col·laboració amb el seu antic alumne Richard Taylor, però tot semblava ser en va. A finals de 1993, havien circulat rumors que la prova de Wiles havia fracassat en les proves, però no se sabia quina gravetat era aquesta fallada. Els matemàtics van començar a pressionar en Wiles perquè revelés els detalls del seu treball, tant si es va fer com si no, de manera que la comunitat més àmplia de matemàtics pogués explorar i utilitzar qualsevol cosa que pogués aconseguir. En lloc de corregir ràpidament el seu error, Wiles només va descobrir aspectes difícils addicionals a la demostració de l'últim teorema de Fermat, i finalment es va adonar del difícil que era.
Wyles afirma que el matí del 19 de setembre de 1994 va estar a punt de rendir-se i rendir-se, i gairebé es va resignar a fracassar. Estava disposat a publicar la seva obra inacabada perquè altres poguessin construir-la i trobar on s'equivocava. El matemàtic anglès va decidir donar-se una última oportunitat i va analitzar el teorema per darrera vegada per intentar entendre les principals raons per les quals el seu enfocament no funcionava, quan de sobte es va adonar que l'enfocament Kolyvagin-Flac no funcionaria fins que notambé inclourà la teoria d'Iwasawa en el procés de demostració, perquè funcioni.
El 6 d'octubre, Wiles va demanar a tres col·legues (inclòs F altins) que revisessin el seu nou treball, i el 24 d'octubre de 1994, va presentar dos manuscrits: "Corbes el·líptiques modulars i l'últim teorema de Fermat" i "Propietats teòriques de la anell d'algunes àlgebres de Hecke", la segona de les quals Wiles va escriure conjuntament amb Taylor i va demostrar que es complien determinades condicions per justificar el pas corregit a l'article principal.
Aquests dos articles es van revisar i finalment es van publicar com a edició de text complet als Annals of Mathematics de maig de 1995. Els nous càlculs d'Andrew van ser àmpliament analitzats i finalment acceptats per la comunitat científica. En aquests articles, es va establir el teorema de modularitat per a corbes el·líptiques semiestables, l'últim pas per demostrar l'últim teorema de Fermat, 358 anys després de la seva creació.
Història del gran problema
La resolució d'aquest teorema s'ha considerat com el problema més gran de les matemàtiques durant molts segles. El 1816 i el 1850 l'Acadèmia Francesa de Ciències va oferir un premi per a una demostració general de l'últim teorema de Fermat. El 1857, l'Acadèmia va atorgar 3.000 francs i una medalla d'or a Kummer per la seva investigació sobre els nombres ideals, tot i que no va sol·licitar el premi. L'Acadèmia de Brussel·les li va oferir un altre premi el 1883.
Premi Wolfskell
El 1908, l'industrial i matemàtic aficionat alemany Paul Wolfskel va llegar 100.000 marcs d'or (una gran quantitat per a aquella època)Acadèmia de Ciències de Göttingen, perquè aquests diners es converteixin en un premi per a la demostració completa de l'últim teorema de Fermat. El 27 de juny de 1908, l'Acadèmia va publicar nou regles de premis. Entre altres coses, aquestes normes exigien que la prova es publiqui en una revista revisada per parells. El premi s'havia de lliurar només dos anys després de la publicació. El concurs havia de caducar el 13 de setembre de 2007, aproximadament un segle després de començar. El 27 de juny de 1997, Wiles va rebre el premi en diners de Wolfschel i després uns altres 50.000 dòlars. El març de 2016, va rebre 600.000 euros del govern noruec com a part del premi Abel per "una prova sorprenent de l'últim teorema de Fermat amb l'ajuda de la conjectura de modularitat per a corbes el·líptiques semiestables, obrint una nova era en la teoria dels nombres". Va ser el triomf mundial de l'humil anglès.
Abans de la demostració de Wiles, el teorema de Fermat, com s'ha esmentat anteriorment, es va considerar absolutament irresoluble durant segles. Es van presentar milers d'evidències incorrectes en diversos moments al comitè de Wolfskell, que sumen aproximadament 10 peus (3 metres) de correspondència. Només el primer any d'existència del premi (1907-1908) es van presentar 621 sol·licituds que reclamaven resoldre el teorema, tot i que als anys setanta el seu nombre havia disminuït a unes 3-4 sol·licituds al mes. Segons F. Schlichting, revisor de Wolfschel, la major part de l'evidència es basava en mètodes elementals ensenyats a les escoles i sovint es presentava com "persones amb formació tècnica però carreres sense èxit". Segons l'historiador de les matemàtiques Howard Aves, l'últimEl teorema de Fermat ha establert una mena de rècord: aquest és el teorema amb el major nombre de demostracions incorrectes.
Els llorers de la granja van ser als japonesos
Com s'ha esmentat anteriorment, cap a l'any 1955, els matemàtics japonesos Goro Shimura i Yutaka Taniyama van descobrir una possible connexió entre dues branques aparentment completament diferents de les matemàtiques: les corbes el·líptiques i les formes modulars. El teorema de modularitat resultant (llavors conegut com la conjectura Taniyama-Shimura) afirma que cada corba el·líptica és modular, el que significa que es pot associar amb una forma modular única.
La teoria es va descartar inicialment com a poc probable o molt especulativa, però es va prendre més seriosament quan el teòric dels nombres André Weil va trobar proves que recolzaven les conclusions japoneses. Com a resultat, la hipòtesi s'ha conegut sovint com la hipòtesi Taniyama-Shimura-Weil. Va passar a formar part del programa Langlands, que és una llista d'hipòtesis importants que s'han de demostrar en el futur.
Fins i tot després d'un escrutini seriós, els matemàtics moderns han reconegut que la conjectura és extremadament difícil, o potser inaccessible per a la demostració. Ara aquest teorema en concret està esperant el seu Andrew Wiles, que podria sorprendre el món sencer amb la seva solució.
Teorema de Fermat: demostració de Perelman
Malgrat el mite popular, el matemàtic rus Grigory Perelman, malgrat tot el seu geni, no té res a veure amb el teorema de Fermat. La qual cosa, però, no li resta res a veure.nombroses contribucions a la comunitat científica.
