Els poliedres van atreure l'atenció de matemàtics i científics fins i tot en l'antiguitat. Els egipcis van construir les piràmides. I els grecs van estudiar "políedres regulars". De vegades s'anomenen sòlids platònics. Els "poliedres tradicionals" consisteixen en cares planes, arestes rectes i vèrtexs. Però la pregunta principal sempre ha estat quines regles han de complir aquestes parts separades, així com quines condicions globals addicionals s'han de complir perquè un objecte es qualifica com a poliedre. La resposta a aquesta pregunta es presentarà a l'article.
Problemes en la definició
En què consisteix aquesta xifra? Un poliedre és una forma sòlida tancada que té cares planes i vores rectes. Per tant, el primer problema de la seva definició es pot anomenar precisament els costats de la figura. No totes les cares que es troben en plans són sempre signe d'un poliedre. Prenem com a exemple el "cilindre triangular". En què consisteix? Part de la seva superfície tres per parellesels plans verticals que es tallen no es poden considerar polígons. El motiu és que no té vèrtexs. La superfície d'aquesta figura es forma a partir de tres raigs que es troben en un punt.
Un problema més: els avions. En el cas del "cilindre triangular" es troba en les seves parts il·limitades. Una figura es considera convexa si el segment de línia que connecta dos punts qualsevol del conjunt també hi és. Us presentem una de les seves propietats importants. Per als conjunts convexos, és que el conjunt de punts comuns al conjunt és el mateix. Hi ha un altre tipus de figures. Són poliedres 2D no convexos que tenen osques o forats.
Formes que no són poliedres
Un conjunt pla de punts pot ser diferent (per exemple, no convex) i no satisfer la definició habitual d'un poliedre. Fins i tot a través d'ell, està limitat per seccions de línies. Les línies d'un poliedre convex consisteixen en figures convexes. Tanmateix, aquest enfocament de la definició exclou una figura que va a l'infinit. Un exemple d'això serien tres raigs que no es troben en el mateix punt. Però al mateix temps, estan connectats als vèrtexs d'una altra figura. Tradicionalment, era important per a un poliedre que constava de superfícies planes. Però amb el temps, el concepte es va expandir, la qual cosa va comportar una millora significativa en la comprensió de la classe original de poliedres "més estreta", així com l'aparició d'una definició nova i més àmplia.
Correcte
Introduïm una definició més. Un poliedre regular és aquell en què cada cara és una regular congruentpolígons convexos, i tots els vèrtexs són "iguals". Això vol dir que cada vèrtex té el mateix nombre de polígons regulars. Utilitzeu aquesta definició. Així que podeu trobar cinc poliedres regulars.
Primers passos per al teorema d'Euler per als poliedres
Els grecs coneixien el polígon, que avui s'anomena pentagrama. Aquest polígon es podria dir regular perquè tots els seus costats tenen la mateixa longitud. També hi ha una altra nota important. L'angle entre dos costats consecutius és sempre el mateix. Tanmateix, quan es dibuixa en un pla, no defineix un conjunt convex, i els costats del poliedre es tallen entre si. No obstant això, no sempre va ser així. Els matemàtics han considerat durant molt de temps la idea de poliedres regulars "no convexos". El pentagrama era un d'ells. També es permetien "polígons estrella". S'han descobert diversos exemples nous de "poliedres regulars". Ara s'anomenen poliedres de Kepler-Poinsot. Més tard, G. S. M. Coxeter i Branko Grünbaum van ampliar les regles i van descobrir altres "poliedres regulars".
Fórmula polièdrica
L'estudi sistemàtic d'aquestes figures va començar relativament aviat en la història de les matemàtiques. Leonhard Euler va ser el primer a notar que una fórmula que relaciona el nombre dels seus vèrtexs, cares i arestes és vàlida per als poliedres 3D convexos.
Ella té aquest aspecte:
V + F - E=2, on V és el nombre de vèrtexs polièdrics, F és el nombre d'arestes dels poliedres i E és el nombre de cares.
Leonhard Euler és suísmatemàtic considerat un dels científics més grans i productius de tots els temps. Ha estat cec durant la major part de la seva vida, però la pèrdua de la visió li va donar un motiu per ser encara més productiu. Hi ha diverses fórmules que porten el seu nom, i la que acabem de mirar de vegades s'anomena fórmula dels poliedres d'Euler.
Hi ha un aclariment. La fórmula d'Euler, però, només funciona per a poliedres que segueixen determinades regles. Es troben en el fet que la forma no hauria de tenir forats. I és inacceptable que es creui. Un poliedre tampoc no pot estar format per dues parts unides, com ara dos cubs amb el mateix vèrtex. Euler va esmentar el resultat de la seva investigació en una carta a Christian Goldbach el 1750. Més tard, va publicar dos articles en què va descriure com va intentar trobar proves del seu nou descobriment. De fet, hi ha formes que donen una resposta diferent a V + F - E. La resposta a la suma F + V - E=X s'anomena característica d'Euler. Ella té un altre aspecte. Algunes formes fins i tot poden tenir una característica d'Euler negativa
Teoria de gràfics
De vegades s'afirma que Descartes va derivar el teorema d'Euler abans. Tot i que aquest científic va descobrir fets sobre poliedres tridimensionals que li permetrien derivar la fórmula desitjada, no va fer aquest pas addicional. Avui, a Euler se li atribueix el "pare" de la teoria de grafs. Va resoldre el problema del pont de Konigsberg utilitzant les seves idees. Però el científic no va mirar el poliedre en contextteoria de grafs. Euler va intentar donar una demostració d'una fórmula basada en la descomposició d'un poliedre en parts més simples. Aquest intent no compleix els estàndards moderns de prova. Encara que Euler no va donar la primera justificació correcta a la seva fórmula, no es poden provar conjectures que no s'han fet. Tanmateix, els resultats, que es van corroborar més tard, permeten utilitzar també el teorema d'Euler en l'actualitat. La primera demostració la va obtenir el matemàtic Adrian Marie Legendre.
Prova de la fórmula d'Euler
Euler va formular primer la fórmula polièdrica com un teorema sobre els poliedres. Avui en dia sovint es tracta en el context més general dels gràfics connectats. Per exemple, com a estructures formades per punts i segments de línia que els uneixen, que es troben a la mateixa part. Augustin Louis Cauchy va ser la primera persona a trobar aquesta important connexió. Va servir com a demostració del teorema d'Euler. Ell, en essència, va notar que la gràfica d'un políedre convex (o el que avui s'anomena tal) és topològicament homeomòrfica a una esfera, té un graf connectat pla. Què és això? Un graf pla és aquell que s'ha dibuixat en el pla de tal manera que les seves arestes es troben o es tallen només en un vèrtex. Aquí és on es va trobar la connexió entre el teorema d'Euler i els gràfics.
Una indicació de la importància del resultat és que David Epstein va poder recollir disset proves diferents. Hi ha moltes maneres de justificar la fórmula polièdrica d'Euler. En cert sentit, les demostracions més òbvies són mètodes que utilitzen inducció matemàtica. El resultat es pot demostrardibuixant-lo al llarg del nombre d'arestes, cares o vèrtexs del gràfic.
Prova de Rademacher i Toeplitz
Particularment atractiva és la següent prova de Rademacher i Toeplitz, basada en l'enfocament de Von Staudt. Per justificar el teorema d'Euler, suposem que G és un graf connectat incrustat en un pla. Si té esquemes, és possible excloure una vora de cadascun d'ells de manera que es preservi la propietat que roman connectada. Hi ha una correspondència un a un entre les parts eliminades per anar al gràfic connectat sense tancament i les que no són una vora infinita. Aquesta investigació va conduir a la classificació de les "superfícies orientables" en termes de l'anomenada característica d'Euler.
Corba de Jordan. Teorema
La tesi principal, que s'utilitza directament o indirectament en la demostració de la fórmula de poliedres del teorema d'Euler per a gràfics, depèn de la corba de Jordan. Aquesta idea està relacionada amb la generalització. Diu que qualsevol corba tancada simple divideix el pla en tres conjunts: punts sobre ell, dins i fora d'ell. Com que l'interès per la fórmula polièdrica d'Euler es va desenvolupar al segle XIX, es van fer molts intents de generalitzar-la. Aquesta investigació va establir les bases per al desenvolupament de la topologia algebraica i la va connectar amb l'àlgebra i la teoria dels nombres.
Grup de Moebius
Aviat es va descobrir que algunes superfícies només es podien "orientar" de manera coherent localment, no globalment. El conegut grup Möbius ens serveix d'il·lustraciósuperfícies. Va ser descobert una mica abans per Johann Listing. Aquest concepte inclou la noció de gènere d'un gràfic: el menor nombre de descriptors g. S'ha d'afegir a la superfície de l'esfera i es pot incrustar a la superfície estesa de tal manera que les vores només es troben en els vèrtexs. Resulta que qualsevol superfície orientable de l'espai euclidià es pot considerar com una esfera amb un nombre determinat de nanses.
Diagrama d'Euler
El científic va fer un altre descobriment, que encara s'utilitza avui dia. Aquest anomenat diagrama d'Euler és una representació gràfica de cercles, que normalment s'utilitza per il·lustrar les relacions entre conjunts o grups. Els gràfics solen incloure colors que es barregen a les zones on els cercles se superposen. Els conjunts es representen precisament amb cercles o ovals, encara que també es poden utilitzar altres figures per a ells. Una inclusió es representa per una superposició d'el·lipses anomenades cercles d'Euler.
Representen conjunts i subconjunts. L'excepció són els cercles que no es superposen. Els diagrames d'Euler estan estretament relacionats amb altres representacions gràfiques. Sovint es confonen. Aquesta representació gràfica s'anomena diagrames de Venn. Depenent dels conjunts en qüestió, ambdues versions poden semblar iguals. Tanmateix, en els diagrames de Venn, els cercles que se superposen no indiquen necessàriament la comuna entre conjunts, sinó només una possible relació lògica si les seves etiquetes no estan encercle que s'interseca. Ambdues opcions es van adoptar per ensenyar la teoria de conjunts com a part del nou moviment matemàtic dels anys 60.
Teoremes de Fermat i d'Euler
Euler va deixar una empremta notable en la ciència matemàtica. La teoria algebraica de nombres es va enriquir amb un teorema que portava el seu nom. També és conseqüència d'un altre descobriment important. Aquest és l'anomenat teorema de Lagrange algebraic general. El nom d'Euler també s'associa amb el petit teorema de Fermat. Diu que si p és un nombre primer i a és un nombre enter no divisible per p, aleshores:
ap-1 - 1 és divisible per p.
De vegades, el mateix descobriment té un nom diferent, que sovint es troba a la literatura estrangera. Sembla el teorema de Nadal de Fermat. El cas és que el descobriment es va conèixer gràcies a una carta d'un científic enviada la vigília del 25 de desembre de 1640. Però la declaració en si s'ha trobat abans. Va ser utilitzat per un altre científic anomenat Albert Girard. Fermat només va intentar demostrar la seva teoria. L'autor insinua en una altra carta que es va inspirar en el mètode del descens infinit. Però no va aportar cap prova. Més tard, Eider també va recórrer al mateix mètode. I després d'ell, molts altres científics famosos, inclosos Lagrange, Gauss i Minkosky.
Característiques de les identitats
El petit teorema de Fermat també s'anomena un cas especial de teorema de la teoria de nombres a causa d'Euler. En aquesta teoria, la funció d'identitat d'Euler compta els nombres enters positius fins a un nombre enter donat n. Són coprimeres respecte an. El teorema d'Euler en teoria de nombres s'escriu utilitzant la lletra grega φ i sembla φ(n). Es pot definir més formalment com el nombre d'enters k en el rang 1 ≦ k ≦ n per als quals el màxim comú divisor mcd(n, k) és 1. La notació φ(n) també es pot anomenar funció phi d'Euler. Els nombres enters k d'aquesta forma s'anomenen de vegades totatius. Al cor de la teoria dels nombres, la funció d'identitat d'Euler és multiplicativa, és a dir, si dos nombres m i n són copprimes, aleshores φ(mn)=φ(m)φ(n). També té un paper clau a l'hora de definir el sistema d'encriptació RSA.
La funció d'Euler es va introduir l'any 1763. Tanmateix, en aquell moment el matemàtic no va triar cap símbol específic per a aquesta. En una publicació de 1784, Euler va estudiar aquesta funció amb més detall i va triar la lletra grega π per representar-la. James Sylvester va encunyar el terme "total" per a aquesta característica. Per tant, també es coneix com a total d'Euler. La φ(n) total d'un nombre enter positiu n major que 1 és el nombre d'enters positius menors que n que són relativament primers fins a n.φ(1) es defineix com 1. La funció d'Euler o funció phi(φ) és una funció teòrica de nombres molt important una funció profundament relacionada amb els nombres primers i l'anomenat ordre dels nombres enters.
