Teorema de Steiner o teorema d'eixos paral·lels per calcular el moment d'inèrcia

2024 Autora: Angel Austin | [email protected]. Última modificació: 2023-12-17 05:19

En la descripció matemàtica del moviment de rotació, és important conèixer el moment d'inèrcia del sistema sobre l'eix. En el cas general, el procediment per trobar aquesta quantitat implica la posada en marxa del procés d'integració. L'anomenat teorema de Steiner facilita el càlcul. Considerem-ho amb més detall a l'article.

Què és el moment d'inèrcia?

Abans de donar la formulació del teorema de Steiner, cal tractar el mateix concepte de moment d'inèrcia. Suposem que hi ha algun cos de certa massa i forma arbitrària. Aquest cos pot ser un punt material o qualsevol objecte bidimensional o tridimensional (varella, cilindre, bola, etc.). Si l'objecte en qüestió fa un moviment circular al voltant d'algun eix amb acceleració angular constant α, llavors es pot escriure l'equació següent:

M=Iα

Aquí, el valor M representa el moment total de les forces, que dóna acceleració α a tot el sistema. El coeficient de proporcionalitat entre ells - I, s'anomenamoment d'inèrcia. Aquesta magnitud física es calcula mitjançant la fórmula general següent:

I=∫_m (r²dm)

Aquí r és la distància entre l'element amb massa dm i l'eix de rotació. Aquesta expressió vol dir que cal trobar la suma dels productes de les distàncies al quadrat r² i la massa elemental dm. És a dir, el moment d'inèrcia no és una característica pura del cos, cosa que el distingeix de la inèrcia lineal. Depèn de la distribució de la massa per tot l'objecte que gira, així com de la distància a l'eix i de l'orientació del cos respecte a aquest. Per exemple, una vareta tindrà una I diferent si es gira al voltant del centre de massa i cap al final.

Moment d'inèrcia i teorema de Steiner

El famós matemàtic suís, Jakob Steiner, va demostrar el teorema dels eixos paral·lels i el moment d'inèrcia, que ara porta el seu nom. Aquest teorema postula que el moment d'inèrcia per a absolutament qualsevol cos rígid de geometria arbitraria en relació amb algun eix de rotació és igual a la suma del moment d'inèrcia sobre l'eix que talla el centre de masses del cos i és paral·lel al primer., i el producte de la massa corporal per el quadrat de la distància entre aquests eixos. Matemàticament, aquesta formulació s'escriu de la següent manera:

I_Z=I_O + ml²

I_Z i I_O - moments d'inèrcia sobre l'eix Z i l'eix O paral·lel a aquest, que passa pel centre de massa del cos, l - distància entre les línies Z i O.

El teorema permet, coneixent el valor de I_O, calcularqualsevol altre moment I_Z sobre un eix paral·lel a O.

Prova del teorema

La fórmula del teorema de Steiner la podeu obtenir fàcilment. Per fer-ho, considereu un cos arbitrari en el pla xy. Deixeu que l'origen de les coordenades passi pel centre de massa d'aquest cos. Calculem el moment d'inèrcia I_O que passa per l'origen perpendicular al pla xy. Com que la distància a qualsevol punt del cos s'expressa mitjançant la fórmula r=√ (x² + y²), llavors obtenim la integral:

I_O=∫_m (r²dm)=∫ m _((x2^+y2^{) dm)}

Ara anem a moure l'eix paral·lel al llarg de l'eix x una distància l, per exemple, en la direcció positiva, llavors el càlcul per al nou eix del moment d'inèrcia serà així:

I_Z=∫_m(((x+l)²+y ²)dm)

Amplieu el quadrat complet entre claudàtors i dividiu els integrands, obtenim:

I_Z=∫_m ((x²+l ²+2xl+y²)dm)=∫_m ((x² +y²)dm) + 2l∫_m (xdm) + l ²∫_mdm

El primer d'aquests termes és el valor I_O, el tercer terme, després de la integració, dóna el terme l²m, i aquí el segon terme és zero. La reducció a zero de la integral especificada es deu al fet que es pren del producte de x i els elements de massa dm, que enmitjana dóna zero, ja que el centre de masses es troba a l'origen. Com a resultat, s'obté la fórmula del teorema de Steiner.

El cas considerat en el pla es pot generalitzar a un cos tridimensional.

Comprovació de la fórmula de Steiner amb l'exemple d'una vareta

Donem un exemple senzill per demostrar com utilitzar el teorema anterior.

Se sap que per a una vareta de longitud L i massa m, el moment d'inèrcia I_O (l'eix passa pel centre de massa) és igual a m L² /12, i el moment I_Z (l'eix passa per l'extrem de la vareta) és igual a mL 2^{/3. Comprovem aquestes dades utilitzant el teorema de Steiner. Com que la distància entre els dos eixos és L/2, obtenim el moment I}Z_:

I_Z=I_O+ m(L/2)²=mL²/12 + mL²/4=4mL² /12=mL²/3

És a dir, vam comprovar la fórmula de Steiner i vam obtenir el mateix valor per a I_Z que a la font.

Es poden fer càlculs similars per a altres cossos (cilindre, bola, disc), tot obtenint els moments d'inèrcia necessaris, i sense realitzar integracions.

Moment d'inèrcia i eixos perpendiculars

El teorema considerat es refereix als eixos paral·lels. Per completar la informació, també és útil donar un teorema per als eixos perpendiculars. Es formula de la següent manera: per a un objecte pla de forma arbitrària, el moment d'inèrcia al voltant d'un eix perpendicular a aquest serà igual a la suma de dos moments d'inèrcia al voltant de dos mútuament perpendiculars i estirats.en el pla de l'objecte dels eixos, amb els tres eixos passant pel mateix punt. Matemàticament, això s'escriu de la següent manera:

I_z=I_x + I_y

Aquí z, x, y són tres eixos de rotació perpendiculars entre si.

La diferència essencial entre aquest teorema i el teorema de Steiner és que només s'aplica a objectes sòlids plans (bidimensionals). No obstant això, a la pràctica s'utilitza àmpliament, tallant mentalment el cos en capes separades i afegint després els moments d'inèrcia obtinguts.