Acceleració tangencial o tangencial

2024 Autora: Angel Austin | [email protected]. Última modificació: 2024-01-02 17:43

Tots els cossos que ens envolten estan en constant moviment. El moviment dels cossos a l'espai s'observa a tots els nivells d'escala, començant pel moviment de partícules elementals en els àtoms de la matèria i acabant amb el moviment accelerat de les galàxies a l'Univers. En qualsevol cas, el procés de moviment es produeix amb acceleració. En aquest article, considerarem detalladament el concepte d'acceleració tangencial i donarem una fórmula per calcular-la.

Quantitats cinemàtiques

Abans de parlar d'acceleració tangencial, considerem quines magnituds s'acostuma a caracteritzar el moviment mecànic arbitrari dels cossos a l'espai.

En primer lloc, aquest és el camí L. Mostra la distància en metres, centímetres, quilòmetres, etc., el cos ha recorregut un determinat període de temps.

La segona característica important de la cinemàtica és la velocitat del cos. A diferència del camí, és una magnitud vectorial i es dirigeix al llarg de la trajectòriamoviments corporals. La velocitat determina la velocitat de canvi de les coordenades espacials en el temps. La fórmula per calcular-lo és:

v¯=dL/dt

La velocitat és la derivada temporal del camí.

Finalment, la tercera característica important del moviment dels cossos és l'acceleració. Segons la definició de la física, l'acceleració és una magnitud que determina el canvi de velocitat amb el temps. La fórmula es pot escriure com:

a¯=dv¯/dt

L'acceleració, com la velocitat, també és una magnitud vectorial, però a diferència d'ella, està dirigida en la direcció del canvi de velocitat. La direcció de l'acceleració també coincideix amb el vector de la força resultant que actua sobre el cos.

Trajectòria i acceleració

Molts problemes de la física es consideren en el marc del moviment rectilini. En aquest cas, per regla general, no parlen de l'acceleració tangencial del punt, sinó que funcionen amb acceleració lineal. Tanmateix, si el moviment del cos no és lineal, la seva acceleració completa es pot descompondre en dos components:

• tangent;
• normal.

En el cas del moviment lineal, la component normal és zero, de manera que no parlem de l'expansió vectorial de l'acceleració.

Així, la trajectòria del moviment determina en gran mesura la naturalesa i els components de l'acceleració total. La trajectòria del moviment s'entén com una línia imaginària a l'espai al llarg de la qual es mou el cos. Capuna trajectòria curvilínia condueix a l'aparició de components d'acceleració diferents de zero esmentats anteriorment.

Determinació de l'acceleració tangencial

L'acceleració tangencial o, com també s'anomena, tangencial és una component de l'acceleració total, que es dirigeix tangencialment a la trajectòria del moviment. Com que la velocitat també es dirigeix al llarg de la trajectòria, el vector acceleració tangencial coincideix amb el vector velocitat.

El concepte d'acceleració com a mesura del canvi de velocitat es va donar més amunt. Com que la velocitat és un vector, es pot canviar mòdul o direccionalment. L'acceleració tangencial determina només el canvi en el mòdul de velocitat.

Tingueu en compte que en el cas del moviment rectilini, el vector velocitat no canvia la seva direcció, per tant, d'acord amb la definició anterior, l'acceleració tangencial i l'acceleració lineal són el mateix valor.

Obtenció de l'equació d'acceleració tangencial

Suposem que el cos es mou al llarg d'alguna trajectòria corba. Aleshores, la seva velocitat v¯ en el punt escollit es pot representar de la següent manera:

v¯=vu_t¯

Aquí v és el mòdul del vector v¯, u_{t¯ és el vector unitat de velocitat dirigit tangencialment a la trajectòria.}

Usant la definició matemàtica d'acceleració, obtenim:

a¯=dv¯/dt=d(vu_t¯)/dt=dv/dtu_t ¯ + vd(u_t¯)/dt

En trobar la derivada, aquí es va utilitzar la propietat del producte de dues funcions. Veiem que l'acceleració total a¯ en el punt considerat correspon a la suma de dos termes. Són l'acceleració tangent i normal del punt, respectivament.

Diguem algunes paraules sobre l'acceleració normal. S'encarrega de canviar el vector velocitat, és a dir, de canviar la direcció del moviment del cos al llarg de la corba. Si calculem explícitament el valor del segon terme, obtenim la fórmula per a l'acceleració normal:

a=vd(u_t¯)/dt=v^{2/ r}

L'acceleració normal es dirigeix al llarg de la normal restaurada al punt donat de la corba. En el cas del moviment circular, l'acceleració normal és centrípeta.

L'equació d'acceleració tangencial a_{t¯ és:}

a_t¯=dv/dtu_t¯

Aquesta expressió diu que l'acceleració tangencial no correspon a un canvi de direcció, sinó a un canvi en el mòdul de velocitat v¯ durant un moment de temps. Com que l'acceleració tangencial es dirigeix tangencialment al punt considerat de la trajectòria, sempre és perpendicular a la component normal.

Mòdul d'acceleració tangencial i acceleració total

Es va presentar tota la informació anterior que permet calcular l'acceleració total a través de la tangent i la normal. De fet, com que ambdós components són mútuament perpendiculars, els seus vectors formen els catets d'un triangle rectangle,la hipotenusa de la qual és el vector acceleració total. Aquest fet ens permet escriure la fórmula del mòdul d'acceleració total de la forma següent:

a=√(a² + a_t²⁾

L'angle θ entre l'acceleració total i l'acceleració tangencial es pot definir de la següent manera:

θ=arccos(a_t/a)

Com més gran sigui l'acceleració tangencial, més properes estan les direccions de l'acceleració tangencial i de l'acceleració total.

Relació entre acceleració tangencial i angular

Una típica trajectòria curvilínia al llarg de la qual els cossos es mouen en tecnologia i natura és un cercle. De fet, el moviment d'engranatges, aspes i planetes al voltant del seu propi eix o al voltant de les seves lluminàries es produeix precisament en un cercle. El moviment corresponent a aquesta trajectòria s'anomena rotació.

La cinemàtica de rotació es caracteritza pels mateixos valors que la cinemàtica del moviment al llarg d'una línia recta, però tenen un caràcter angular. Així, per descriure la rotació, s'utilitzen l'angle central de rotació θ, la velocitat angular ω i l'acceleració α. Les fórmules següents són vàlides per a aquestes quantitats:

ω=dθ/dt;

α=dω/dt

Suposem que el cos ha fet una revolució al voltant de l'eix de rotació en el temps t, llavors per a la velocitat angular podem escriure:

ω=2pi/t

La velocitat lineal en aquest cas serà igual a:

v=2pir/t

On r és el radi de la trajectòria. Les dues últimes expressions ens permeten escriurela fórmula per a la connexió de dues velocitats:

v=ωr

Ara calculem la derivada temporal dels costats esquerre i dret de l'equació, obtenim:

dv/dt=rdω/dt

El costat dret de la igu altat és el producte de l'acceleració angular i el radi del cercle. El costat esquerre de l'equació és el canvi en el mòdul de velocitat, és a dir, l'acceleració tangencial.

Així, l'acceleració tangencial i un valor angular similar estan relacionats per igu altat:

a_t=αr

Si suposem que el disc està girant, aleshores l'acceleració tangencial d'un punt amb un valor constant de α augmentarà linealment a mesura que augmenta la distància des d'aquest punt a l'eix de rotació r.

A continuació, resoldrem dos problemes amb les fórmules anteriors.

Determinació de l'acceleració tangencial a partir d'una funció de velocitat coneguda

Se sap que la velocitat d'un cos que es mou al llarg d'una determinada trajectòria corba es descriu per la següent funció del temps:

v=2t2+ 3t + 5

Cal determinar la fórmula de l'acceleració tangencial i trobar el seu valor en el temps t=5 segons.

Primer, escrivim la fórmula per al mòdul d'acceleració tangencial:

a_t=dv/dt

É a dir, per calcular la funció a_{t(t), hauríeu de determinar la derivada de la velocitat respecte al temps. Tenim:}

a_t=d(2t^{2+ 3t + 5)/dt=4t + 3}

Substituint el temps t=5 segons a l'expressió resultant, arribem a la resposta: a_t=23 m/s^2.

Tingueu en compte que la gràfica de la velocitat en funció del temps en aquest problema és una paràbola, mentre que la gràfica de l'acceleració tangencial és una recta.

Tasca d'acceleració tangencial

Se sap que el punt material va començar una rotació accelerada uniformement des del moment zero del temps. 10 segons després de l'inici de la rotació, la seva acceleració centrípeta es va convertir en 20 m/s2. Cal determinar l'acceleració tangencial d'un punt després de 10 segons, si se sap que el radi de gir és d'1 metre.

Primer, escriu la fórmula per a l'acceleració centrípeta o normal a_c:

a_c=v^2/r

Utilitzant la fórmula per a la relació entre la velocitat lineal i la velocitat angular, obtenim:

a_c=ω^2r

En el moviment uniformement accelerat, la velocitat i l'acceleració angular estan relacionades per la fórmula:

ω=αt

Substituint ω a l'equació per a_{c, obtenim:}

a_c=α²t^2r

L'acceleració lineal mitjançant l'acceleració tangencial s'expressa de la següent manera:

α=a_t/r

Substituïm l'última igu altat per la penúltima, obtenim:

a_c=a_t²/r² t²r=a_t²/rt^2=>

a_t=√(a_cr)/t

L'última fórmula, tenint en compte les dades de l'estat del problema, porta a la resposta: a_t=0, 447m/s^2.