La transformada de Fourier és una transformació que compara les funcions d'alguna variable real. Aquesta operació es realitza cada vegada que percebem diferents sons. L'oïda realitza un "càlcul" automàtic que la nostra consciència és capaç de realitzar només després d'estudiar la secció corresponent de matemàtiques superiors. L'òrgan auditiu humà construeix una transformació, com a resultat de la qual el so (moviment oscil·latori de partícules condicionals en un medi elàstic que es propaguen en forma d'ona en un medi sòlid, líquid o gasós) es proporciona en forma d'un espectre de valors successius. del nivell de volum de tons de diferents altures. Després d'això, el cervell converteix aquesta informació en un so familiar per a tothom.
Transformada matemàtica de Fourier
La transformació d'ones sonores o altres processos oscil·latoris (des de la radiació lumínica i la marea oceànica fins a cicles d'activitat estel·lar o solar) també es poden dur a terme mitjançant mètodes matemàtics. Així doncs, utilitzant aquestes tècniques, és possible descompondre funcions representant processos oscil·latoris com un conjunt de components sinusoïdals, és a dir, corbes ondulades queanar de baix a alt, després tornar a baix, com una onada del mar. Transformada de Fourier - una transformació la funció de la qual descriu la fase o l'amplitud de cada sinusoide corresponent a una determinada freqüència. La fase és el punt inicial de la corba i l'amplitud és la seva alçada.
La transformada de Fourier (es mostren exemples a la foto) és una eina molt potent que s'utilitza en diversos camps de la ciència. En alguns casos, s'utilitza com a mitjà per resoldre equacions força complexes que descriuen processos dinàmics que es produeixen sota la influència de l'energia lluminosa, tèrmica o elèctrica. En altres casos, us permet determinar els components regulars en senyals oscil·latoris complexos, gràcies als quals podeu interpretar correctament diverses observacions experimentals en química, medicina i astronomia.
Antecedents històrics
La primera persona que va aplicar aquest mètode va ser el matemàtic francès Jean Baptiste Fourier. La transformació, que després va rebre el seu nom, es va utilitzar originalment per descriure el mecanisme de conducció de calor. Fourier va passar tota la seva vida adulta estudiant les propietats de la calor. Va fer una gran contribució a la teoria matemàtica de la determinació de les arrels d'equacions algebraiques. Fourier va ser professor d'anàlisi a l'Escola Politècnica, secretari de l'Institut d'Egiptologia, va estar al servei imperial, on es va distingir durant la construcció de la carretera a Torí (sota la seva direcció, més de 80 mil quilòmetres quadrats de malària).pantans). Tot i això, tota aquesta vigorosa activitat no va impedir que el científic fes anàlisis matemàtiques. El 1802, va derivar una equació que descriu la propagació de la calor en els sòlids. El 1807, el científic va descobrir un mètode per resoldre aquesta equació, que es deia "Transformada de Fourier".
Anàlisi de conductivitat tèrmica
El científic va aplicar un mètode matemàtic per descriure el mecanisme de conducció de calor. Un exemple convenient, en el qual no hi ha dificultats de càlcul, és la propagació de l'energia tèrmica a través d'un anell de ferro immers en una part en un foc. Per dur a terme experiments, Fourier va escalfar una part d'aquest anell roent i el va enterrar a la sorra fina. Després d'això, va prendre mesures de temperatura al costat oposat. Inicialment, la distribució de la calor és irregular: una part de l'anell és freda i l' altra calenta; es pot observar un fort gradient de temperatura entre aquestes zones. Tanmateix, en el procés de propagació de la calor per tota la superfície del metall, es torna més uniforme. Així, aviat aquest procés pren la forma d'una sinusoide. Al principi, la gràfica augmenta suaument i també disminueix suaument, exactament segons les lleis de canvi de la funció cosinus o sinus. L'ona s'anivella gradualment i, com a resultat, la temperatura es torna igual a tota la superfície de l'anell.
L'autor d'aquest mètode va suggerir que la distribució irregular inicial es pot descompondre en una sèrie de sinusoides elementals. Cadascun d'ells tindrà la seva pròpia fase (posició inicial) i la seva pròpia temperaturamàxim. A més, cadascun d'aquests components canvia d'un mínim a un màxim i torna en una revolució completa al voltant de l'anell un nombre sencer de vegades. Un component amb un període s'anomenava harmònic fonamental, i un valor amb dos o més períodes s'anomenava segon, i així successivament. Així, la funció matemàtica que descriu la temperatura màxima, fase o posició s'anomena transformada de Fourier de la funció de distribució. El científic va reduir un sol component, que és difícil de descriure matemàticament, a una eina fàcil d'utilitzar: la sèrie cosinus i sinus, que es sumen per donar la distribució original.
L'essència de l'anàlisi
Aplicant aquesta anàlisi a la transformació de la propagació de la calor a través d'un objecte sòlid que té forma anular, el matemàtic va raonar que augmentar els períodes de la component sinusoïdal portaria a la seva ràpida decadència. Això es veu clarament en els harmònics fonamentals i segons. En aquest últim, la temperatura arriba als valors màxim i mínim dues vegades en una passada, i en el primer, només una vegada. Resulta que la distància recorreguda per la calor en el segon harmònic serà la meitat que en el fonamental. A més, el desnivell de la segona també serà el doble que de la primera. Per tant, com que el flux de calor més intens recorre una distància el doble de curta, aquest harmònic decairà quatre vegades més ràpid que el fonamental en funció del temps. En el futur, aquest procés serà encara més ràpid. El matemàtic creia que aquest mètode permet calcular el procés de la distribució inicial de la temperatura al llarg del temps.
Repte als contemporanis
L'algorisme de la transformada de Fourier va desafiar els fonaments teòrics de les matemàtiques en aquell moment. A principis del segle XIX, els científics més destacats, entre ells Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre i Biot, no van acceptar la seva afirmació que la distribució inicial de la temperatura es descomposa en components en forma d'harmònic fonamental i freqüències més altes. No obstant això, l'Acadèmia de Ciències no va poder ignorar els resultats obtinguts pel matemàtic, i li va concedir un premi per la teoria de les lleis de la conducció de la calor, a més de comparar-la amb experiments físics. En l'enfocament de Fourier, l'objecció principal era el fet que la funció discontínua està representada per la suma de diverses funcions sinusoïdals que són contínues. Després de tot, descriuen línies rectes i corbes trencades. Els contemporanis del científic mai es van trobar amb una situació semblant, quan les funcions discontínues eren descrites mitjançant una combinació de contínues, com ara quadràtiques, lineals, sinusoides o exponencials. En el cas que el matemàtic tingués raó en les seves afirmacions, llavors la suma d'una sèrie infinita d'una funció trigonomètrica s'hauria de reduir a una pas a pas exacta. Aleshores, aquesta afirmació semblava absurda. Tanmateix, malgrat els dubtes, alguns investigadors (per exemple Claude Navier, Sophie Germain) han ampliat l'àmbit de la recerca i els han portat més enllà de l'anàlisi de la distribució de l'energia tèrmica. Mentrestant, els matemàtics van continuar lluitant amb la qüestió de si la suma de diverses funcions sinusoïdals es pot reduir a una representació exacta d'una de discontinua.
200 anyshistòria
Aquesta teoria ha evolucionat al llarg de dos segles, avui per fi s'ha format. Amb la seva ajuda, les funcions espacials o temporals es divideixen en components sinusoïdals, que tenen la seva pròpia freqüència, fase i amplitud. Aquesta transformació s'obté per dos mètodes matemàtics diferents. El primer d'ells s'utilitza quan la funció original és contínua, i el segon, quan està representat per un conjunt de canvis individuals discrets. Si l'expressió s'obté a partir de valors definits per intervals discrets, es pot dividir en diverses expressions sinusoïdals amb freqüències discretes: des de la més baixa i després dues, tres vegades i així successivament més alta que la principal. Aquesta suma s'anomena sèrie de Fourier. Si a l'expressió inicial se li dóna un valor per a cada nombre real, llavors es pot descompondre en diverses sinusoïdals de totes les freqüències possibles. S'anomena comunament integral de Fourier, i la solució implica transformacions integrals de la funció. Independentment de com s'obtingui la conversió, s'han d'especificar dos números per a cada freqüència: amplitud i freqüència. Aquests valors s'expressen com un sol nombre complex. La teoria d'expressions de variables complexes, juntament amb la transformada de Fourier, va permetre realitzar càlculs en el disseny de diversos circuits elèctrics, l'anàlisi de vibracions mecàniques, l'estudi del mecanisme de propagació de les ones, etc..
Fourier Transform avui
Avui, l'estudi d'aquest procés es redueix principalment a trobar eficaçmètodes de transició d'una funció a la seva forma transformada i viceversa. Aquesta solució s'anomena transformada de Fourier directa i inversa. Què vol dir? Per determinar la integral i produir una transformada directa de Fourier, es poden utilitzar mètodes matemàtics o analítics. Malgrat que sorgeixen certes dificultats en utilitzar-les a la pràctica, la majoria de les integrals ja s'han trobat i s'han inclòs en llibres de consulta matemàtica. Es poden utilitzar mètodes numèrics per calcular expressions la forma de les quals es basa en dades experimentals, o funcions les integrals de les quals no estan disponibles a les taules i són difícils de presentar en forma analítica.
Abans de l'arribada dels ordinadors, els càlculs d'aquestes transformacions eren molt tediosos, requerien l'execució manual d'un gran nombre d'operacions aritmètiques, que depenien del nombre de punts que descriuen la funció d'ona. Per facilitar els càlculs, avui hi ha programes especials que han permès implantar nous mètodes analítics. Així, l'any 1965, James Cooley i John Tukey van crear un programari que es va conèixer com la "Transformada ràpida de Fourier". Permet estalviar temps per als càlculs reduint el nombre de multiplicacions en l'anàlisi de la corba. El mètode de transformada ràpida de Fourier es basa en dividir la corba en un gran nombre de valors de mostra uniformes. En conseqüència, el nombre de multiplicacions es redueix a la meitat amb la mateixa disminució del nombre de punts.
Aplicació de la transformada de Fourier
Aixòel procés s'utilitza en diversos camps de la ciència: en teoria dels nombres, física, processament del senyal, combinatòria, teoria de probabilitats, criptografia, estadística, oceanologia, òptica, acústica, geometria i altres. Les riques possibilitats de la seva aplicació es basen en una sèrie de funcions útils, que s'anomenen "propietats de transformació de Fourier". Considereu-los.
1. La transformació de funció és un operador lineal i, amb la normalització adequada, és unitària. Aquesta propietat es coneix com el teorema de Parseval, o en general el teorema de Plancherel, o el dualisme de Pontryagin.
2. La transformació és reversible. A més, el resultat invers té gairebé la mateixa forma que en la solució directa.
3. Les expressions de base sinusoïdal són funcions diferenciades pròpies. Això vol dir que aquesta representació canvia equacions lineals amb un coeficient constant en equacions algebraiques ordinàries.
4. Segons el teorema de la "convolució", aquest procés converteix una operació complexa en una multiplicació elemental.
5. La transformada de Fourier discreta es pot calcular ràpidament en un ordinador mitjançant el mètode "ràpid".
Varietats de la transformada de Fourier
1. Molt sovint, aquest terme s'utilitza per designar una transformació contínua que proporciona qualsevol expressió integrable en quadrats com una suma d'expressions exponencials complexes amb freqüències i amplituds angulars específiques. Aquesta espècie té diverses formes diferents, que podendifereixen per coeficients constants. El mètode continu inclou una taula de conversió, que es pot trobar als llibres de referència de matemàtiques. Un cas generalitzat és una transformació fraccionada, mitjançant la qual el procés donat es pot elevar a la potència real requerida.
2. El mode continu és una generalització de la tècnica inicial de les sèries de Fourier definida per a diverses funcions o expressions periòdiques que existeixen en una àrea limitada i les representen com a sèries de sinusoides.
3. Transformada de Fourier discreta. Aquest mètode s'utilitza en tecnologia informàtica per a càlculs científics i per al processament de senyals digitals. Per dur a terme aquest tipus de càlcul, cal disposar de funcions que defineixin punts individuals, àrees periòdiques o limitades en un conjunt discret en comptes d'integrals de Fourier contínues. La transformació del senyal en aquest cas es representa com la suma de sinusoides. Al mateix temps, l'ús del mètode "ràpid" permet aplicar solucions discretes a qualsevol problema pràctic.
4. La transformada de Fourier amb finestra és una forma generalitzada del mètode clàssic. A diferència de la solució estàndard, quan s'utilitza l'espectre del senyal, que es pren en tot el rang de l'existència d'una determinada variable, aquí només té un interès particular la distribució local de freqüències, sempre que es preservi la variable original (temps)..
5. Transformada de Fourier bidimensional. Aquest mètode s'utilitza per treballar amb matrius de dades bidimensionals. En aquest cas, primer es realitza la transformació en una direcció i després en altres.
Conclusió
Avui, el mètode de Fourier està fermament arrelat en diversos camps de la ciència. Per exemple, el 1962 es va descobrir la forma de la doble hèlix de l'ADN mitjançant l'anàlisi de Fourier combinada amb la difracció de raigs X. Aquests últims es van centrar en cristalls de fibres d'ADN, com a resultat, la imatge que s'obtenia per difracció de la radiació es va gravar en pel·lícula. Aquesta imatge va donar informació sobre el valor de l'amplitud quan s'utilitza la transformada de Fourier a una estructura cristal·lina determinada. Les dades de fase es van obtenir comparant el mapa de difracció de l'ADN amb els mapes obtinguts a partir de l'anàlisi d'estructures químiques similars. Com a resultat, els biòlegs han restaurat l'estructura cristal·lina, la funció original.
Les transformades de Fourier tenen un paper important en l'estudi de la física de l'espai, els semiconductors i el plasma, l'acústica de microones, l'oceanografia, el radar, la sismologia i els estudis mèdics.
