El cercle és la figura principal de la geometria, les propietats de la qual es consideren a l'escola a 8è grau. Un dels problemes típics associats a un cercle és trobar l'àrea d'alguna part del mateix, que s'anomena sector circular. L'article ofereix fórmules per a l'àrea d'un sector i la longitud del seu arc, així com un exemple del seu ús per resoldre un problema concret.
El concepte de cercle i cercle
Abans de donar la fórmula de l'àrea d'un sector d'un cercle, considerem quina és la figura indicada. Segons la definició matemàtica, un cercle s'entén com una figura en un pla, tots els punts dels quals són equidistants d'algun punt (centre).
Quan es considera un cercle, s'utilitza la terminologia següent:
- Radi: un segment que es dibuixa des del punt central fins a la corba del cercle. Normalment es denota amb la lletra R.
- El diàmetre és un segment que uneix dos punts del cercle, però també passa pel centre de la figura. Normalment es denota amb la lletra D.
- L'arc forma part d'un cercle corbat. Es mesura en unitats de longitud o utilitzant angles.
El cercle és una altra figura de geometria important, és una col·lecció de punts que està delimitada per un cercle corbat.
Àrea i circumferència del cercle
Els valors indicats al títol de l'element es calculen mitjançant dues fórmules senzilles. S'enumeren a continuació:
- Circumferència: L=2piR.
- Àrea d'un cercle: S=piR2.
En aquestes fórmules, pi és una constant anomenada Pi. És irracional, és a dir, no es pot expressar exactament com una simple fracció. Pi és aproximadament 3,1416.
Com podeu veure a les expressions anteriors, per calcular l'àrea i la longitud, n'hi ha prou de conèixer només el radi del cercle.
L'àrea del sector del cercle i la longitud del seu arc
Abans de considerar les fórmules corresponents, recordem que l'angle en geometria sol expressar-se de dues maneres principals:
- en graus sexagesimals i una rotació completa al voltant del seu eix és de 360o;
- en radians, expressats com a fraccions de pi i relacionats amb els graus mitjançant l'equació següent: 2pi=360o.
El sector d'un cercle és una figura limitada per tres línies: un arc de cercle i dos radis situats als extrems d'aquest arc. A la foto següent es mostra un exemple de sector circular.
Fer-se una idea de què és un sector per a un cercle, és fàcilentendre com calcular la seva àrea i la longitud de l'arc corresponent. A la figura anterior es pot veure que l'arc del sector correspon a l'angle θ. Sabem que un cercle complet correspon a 2pi radians, de manera que la fórmula per a l'àrea d'un sector circular tindrà la forma: S1=Sθ/(2 pi)=piR 2θ/(2pi)=θR2/2. Aquí l'angle θ s'expressa en radians. Una fórmula similar per a l'àrea del sector, si l'angle θ es mesura en graus, tindrà aquest aspecte: S1=piθR2 /360.
La longitud de l'arc que forma un sector es calcula amb la fórmula: L1=θ2piR/(2pi)=θR. I si θ es coneix en graus, aleshores: L1=piθR/180.
Exemple de resolució de problemes
Utilitzem l'exemple d'un problema senzill per mostrar com s'utilitzen les fórmules per a l'àrea d'un sector d'un cercle i la longitud del seu arc.
Se sap que la roda té 12 radis. Quan la roda fa una volta completa, cobreix una distància d'1,5 metres. Quina és l'àrea tancada entre dos radis adjacents de la roda i quina és la longitud de l'arc entre ells?
Com podeu veure a les fórmules corresponents, per utilitzar-les cal conèixer dues magnituds: el radi del cercle i l'angle de l'arc. El radi es pot calcular a partir de conèixer la circumferència de la roda, ja que la distància recorreguda per aquesta en una volta li correspon exactament. Tenim: 2Rpi=1,5, d'on: R=1,5/(2pi)=0,2387 metres. L'angle entre els radis més propers es pot determinar coneixent el seu nombre. Suposant que els 12 radis divideixen el cercle de manera uniforme en sectors iguals, obtenim 12 sectors idèntics. En conseqüència, la mesura angular de l'arc entre els dos radis és: θ=2pi/12=pi/6=0,5236 radians.
Hem trobat tots els valors necessaris, ara es poden substituir a les fórmules i calcular els valors requerits per la condició del problema. Obtenim: S1=0,5236(0,2387)2/2=0,0149 m2, o 149 cm2; L1=0,52360,2387=0,125 m o 12,5 cm.
