L'estudi quantitatiu de la dinàmica i la cinemàtica del moviment de rotació requereix conèixer el moment d'inèrcia d'un punt material i d'un cos rígid respecte a l'eix de rotació. Considerarem a l'article de quin paràmetre estem parlant i també donarem una fórmula per determinar-lo.
Informació general sobre la quantitat física
Primer, definim el moment d'inèrcia d'un punt material i un cos rígid, i després mostrem com s'ha d'utilitzar per resoldre problemes pràctics.
Sota la característica física indicada per a un punt amb una massa m, que gira al voltant de l'eix a una distància r, es vol dir el valor següent:
I=mr².
On es dedueix que la unitat de mesura del paràmetre estudiat és quilograms per metre quadrat (kgm²).
Si, en comptes d'un punt al voltant d'un eix, gira un cos de forma complexa, que té una distribució arbitrària de la massa al seu interior, aleshores es determina el seu moment d'inèrciaper tant:
I=∫m(r²dm)=ρ∫V(r²dV).
On ρ és la densitat del cos. Amb la fórmula integral, podeu determinar el valor de I per a qualsevol sistema de rotació.
El moment d'inèrcia té exactament el mateix significat per a la rotació que la massa per al moviment de translació. Per exemple, tothom sap que és més fàcil girar una fregona al voltant d'un eix que passa pel seu mànec que no pas per un de perpendicular. Això es deu al fet que el moment d'inèrcia en el primer cas és molt menor que en el segon.
Valor I per a cossos de diferents formes
Quan es resolen problemes de física per a la rotació, sovint cal conèixer el moment d'inèrcia d'un cos d'una forma geomètrica específica, per exemple, per a un cilindre, una bola o una vareta. Si apliquem la fórmula escrita anteriorment per a I, aleshores és fàcil obtenir l'expressió corresponent per a tots els cossos marcats. A continuació es mostren les fórmules d'alguns d'ells:
vareta: I=1/12ML²;
cilindre: I=1 / 2MR²;
esfera: I=2/5MR².
Aquí em donen l'eix de rotació, que passa pel centre de masses del cos. En el cas d'un cilindre, l'eix és paral·lel al generador de la figura. El moment d'inèrcia d' altres cossos geomètrics i les opcions per a la localització dels eixos de gir es poden trobar a les taules corresponents. Tingueu en compte que per determinar I figures diferents, n'hi ha prou de conèixer només un paràmetre geomètric i la massa del cos.
Teorema i fórmula de Steiner
El moment d'inèrcia es pot determinar si l'eix de rotació es troba a certa distància del cos. Per fer-ho, s'ha de conèixer la longitud d'aquest segment i el valor IOdel cos en relació amb l'eix que passa pel centre de la seva massa, que ha de ser paral·lel al de sota. consideració. L'establiment d'una connexió entre el paràmetre IO i el valor desconegut I està fixat en el teorema de Steiner. El moment d'inèrcia d'un punt material i d'un cos rígid s'escriu matemàticament de la següent manera:
I=IO+ Mh2.
Aquí M és la massa del cos, h és la distància des del centre de masses fins a l'eix de rotació, en relació amb la qual cal calcular I. Aquesta expressió és fàcil d'obtenir pel vostre compte si utilitzeu la fórmula integral per a I i tingueu en compte que tots els punts del cos es troben a distàncies r=r0 + h.
El teorema de Steiner simplifica molt la definició de I per a moltes situacions pràctiques. Per exemple, si necessiteu trobar I per a una vareta de longitud L i massa M respecte a un eix que passa pel seu extrem, aplicar el teorema de Steiner us permet escriure:
I=IO+ M(L / 2)2=1/12ML 2+ ML2 / 4=ML2 / 3.
Podeu consultar la taula corresponent i veure que conté exactament aquesta fórmula per a una vareta prima amb un eix de gir al seu extrem.
Equació del moment
A la física de la rotació hi ha una fórmula anomenada equació dels moments. Sembla així:
M=Iα.
Aquí M és el moment de força, α és l'acceleració angular. Com podeu veure, el moment d'inèrcia d'un punt material i un cos rígid i el moment de força es relacionen linealment entre si. El valor M determina la possibilitat que alguna força F creï un moviment de rotació amb acceleració α en el sistema. Per calcular M, utilitzeu l'expressió senzilla següent:
M=Fd.
On d és l'espatlla del moment, que és igual a la distància del vector de força F a l'eix de rotació. Com més petit sigui el braç d, menys capacitat tindrà la força per crear la rotació del sistema.
L'equació dels moments en el seu significat és totalment coherent amb la segona llei de Newton. En aquest cas, faig el paper de la massa inercial.
Exemple de resolució de problemes
Imaginem un sistema que és un cilindre fixat en un eix vertical amb una vareta horitzontal sense pes. Se sap que l'eix de rotació i l'eix principal del cilindre són paral·lels entre ells, i la distància entre ells és de 30 cm. La massa del cilindre és d'1 kg i el seu radi és de 5 cm. Una força de 10 Sobre la figura actua N tangent a la trajectòria de gir, el vector de la qual passa per l'eix principal del cilindre. Cal determinar l'acceleració angular de la figura, que provocarà aquesta força.
Primer, calculem el moment d'inèrcia del cilindre I. Per fer-ho, aplicant el teorema de Steiner, tenim:
I=IO+ M d²=1 / 2MR² + Md²=1 / 210,05² + 10, 3²=0,09125 kgm².
Abans d'utilitzar l'equació del moment, cal fer-hodetermineu el moment de la força M. En aquest cas, tenim:
M=Fd=100, 3=3 Nm.
Ara podeu determinar l'acceleració:
α=M/I=3/0,09125 ≈ 32,9 rad/s².
L'acceleració angular calculada indica que cada segon la velocitat del cilindre augmentarà en 5,2 revolucions per segon.
