La llei de conservació del moment i el moment angular: un exemple de resolució del problema

2024 Autora: Angel Austin | [email protected]. Última modificació: 2024-01-02 17:43

Quan has de resoldre problemes de física sobre el moviment d'objectes, sovint resulta útil aplicar la llei de conservació del moment. Quin és l'impuls del moviment lineal i circular del cos, i quina és l'essència de la llei de conservació d'aquest valor, es discuteix a l'article.

El concepte d'impuls lineal

Les dades històriques mostren que per primera vegada aquest valor va ser considerat en els seus treballs científics de Galileo Galilei a principis del segle XVII. Posteriorment, Isaac Newton va ser capaç d'integrar harmònicament el concepte d'impuls (un nom més correcte per a l'impuls) a la teoria clàssica del moviment dels objectes a l'espai.

Indiqueu l'impuls com p¯, aleshores la fórmula per al seu càlcul s'escriurà com:

p¯=mv¯.

Aquí m és la massa, v¯ és la velocitat (valor vectorial) del moviment. Aquesta igu altat mostra que la quantitat de moviment és la característica de velocitat d'un objecte, on la massa juga el paper d'un factor de multiplicació. Nombre de movimentés una magnitud vectorial que apunta en la mateixa direcció que la velocitat.

Intuïtivament, com més gran és la velocitat de moviment i la massa del cos, més difícil és aturar-lo, és a dir, més gran és l'energia cinètica que té.

La quantitat de moviment i el seu canvi

Podeu endevinar que per canviar el valor p¯ del cos, cal aplicar una mica de força. Si actuem la força F¯ durant l'interval de temps Δt, llavors la llei de Newton ens permet escriure la igu altat:

F¯Δt=ma¯Δt; per tant F¯Δt=mΔv¯=Δp¯.

El valor igual al producte de l'interval de temps Δt per la força F¯ s'anomena impuls d'aquesta força. Com que resulta ser igual al canvi de moment, aquest últim sovint s'anomena simplement impuls, cosa que suggereix que alguna força externa F¯ el va crear.

Així, el motiu del canvi en l'impuls és l'impuls de la força externa. El valor de Δp¯ pot conduir tant a un augment del valor de p¯ si l'angle entre F¯ i p¯ és agut, com a una disminució del mòdul de p¯ si aquest angle és obtús. Els casos més senzills són l'acceleració del cos (l'angle entre F¯ i p¯ és zero) i la seva desacceleració (l'angle entre els vectors F¯ i p¯ és 180o).

Quan es conserva l'impuls: llei

Si el sistema corporal no ho ésles forces externes actuen, i tots els processos en ell només estan limitats per la interacció mecànica dels seus components, aleshores cada component del moment roman sense canvis durant un temps arbitràriament llarg. Aquesta és la llei de conservació de la quantitat de moviment dels cossos, que s'escriu matemàticament de la següent manera:

p¯=∑_ip_{i¯=const o}

∑_ip_ix=const; ∑_ip_iy=const; ∑_ip_iz=const.

El subíndex i és un nombre enter que enumera l'objecte del sistema, i els índexs x, y, z descriuen les components del moment per a cadascun dels eixos de coordenades del sistema rectangular cartesià.

A la pràctica, sovint cal resoldre problemes unidimensionals per a la col·lisió de cossos, quan es coneixen les condicions inicials, i cal determinar l'estat del sistema després de l'impacte. En aquest cas, la quantitat de moviment sempre es conserva, cosa que no es pot dir de l'energia cinètica. Aquest últim abans i després de l'impacte es mantindrà in alterable només en un sol cas: quan hi hagi una interacció absolutament elàstica. Per a aquest cas de col·lisió de dos cossos que es mouen amb velocitats v₁ i v_{2, la fórmula de conservació de la quantitat de moviment tindrà la forma:}

m₁ v₁ + m₂ v ₂=m₁ u₁ + m₂ u 2_.

Aquí, les velocitats u₁ i u_{2 caracteritzen el moviment dels cossos després de l'impacte. Tingueu en compte que en aquesta forma de la llei de conservació, cal tenir en compte el signe de les velocitats: si es dirigeixen l'una cap a l' altra, s'hauria de prendre una.positiu i l' altre negatiu.}

Per a una col·lisió perfectament inelàstica (dos cossos s'enganxen després de l'impacte), la llei de conservació de la quantitat de moviment té la forma:

m₁ v₁ + m₂ v ₂=(m₁+ m_2)u.

Resolució del problema sobre la llei de conservació de p¯

Resolvem el següent problema: dues boles roden l'una cap a l' altra. Les masses de les boles són les mateixes, i les seves velocitats són 5 m/s i 3 m/s. Suposant que hi ha una col·lisió absolutament elàstica, cal trobar les velocitats de les boles posteriors.

Usant la llei de conservació del moment per al cas unidimensional i tenint en compte que l'energia cinètica es conserva després de l'impacte, escrivim:

v_{1 -} v₂=u₁ + u _2;

v₁² + v₂^2=u12 ^{+ u}22^.

Aquí hem reduït immediatament les masses de les boles per la seva igu altat, i també hem tingut en compte el fet que els cossos es mouen entre si.

És més fàcil continuar resolent el sistema si substituïu les dades conegudes. Obtenim:

5 - 3 - u₂=u_1;

5²+ 3²=u₁²+ u₂^2.

Substituint u_{1 a la segona equació, obtenim:}

2 - u₂=u_1;

34=(2 - u₂)²+u₂ 2^{=4 - 4u}2 _{+ 2u}22^{; per tant,u}22^{- 2u}2 _{- 15=0.}

Tenim la clàssica equació quadràtica. Ho resolem mitjançant el discriminant, obtenim:

D=4 - 4(-15)=64.

u_{2=(2 ± 8) / 2=(5; -3) m/c.}

Tenim dues solucions. Si els substituïm a la primera expressió i definim u₁, obtenim el valor següent: u₁=-3 m/s, u ₂=5 m/s; u₁=5 m/s, u_{2=-3 m/s. El segon parell de nombres es dóna en la condició del problema, de manera que no es correspon amb la distribució real de velocitats després de l'impacte.}

Així, només queda una solució: u₁=-3 m/s, u_{2=5 m/s. Aquest curiós resultat significa que en una col·lisió elàstica central, dues boles de massa igual simplement intercanvien les seves velocitats.}

Moment d'impuls

Tot el que s'ha dit anteriorment fa referència al tipus de moviment lineal. Tanmateix, resulta que també es poden introduir quantitats similars en el cas del desplaçament circular de cossos al voltant d'un eix determinat. El moment angular, que també s'anomena moment angular, es calcula com el producte del vector que connecta el punt material amb l'eix de rotació i el moment d'aquest punt. És a dir, la fórmula té lloc:

L¯=r¯p¯, on p¯=mv¯.

El moment, com p¯, és un vector que es dirigeix perpendicularment al pla construït sobre els vectors r¯ i p¯.

El valor de L¯ és una característica important d'un sistema rotatiu, ja que determina l'energia que s'hi emmagatzema.

Moment d'impuls i llei de conservació

El moment angular es conserva si no actuen forces externes sobre el sistema (normalment diuen que no hi ha moment de forces). L'expressió del paràgraf anterior, mitjançant transformacions senzilles, es pot escriure d'una forma més convenient per a la pràctica:

L¯=Iω¯, on I=mr2 és el moment d'inèrcia del punt material, ω¯ és la velocitat angular.

El moment d'inèrcia I, que apareixia a l'expressió, té exactament el mateix significat per a la rotació que la massa habitual per al moviment lineal.

Si hi ha alguna reordenació interna del sistema, en la qual canvia I, llavors ω¯ tampoc es manté constant. A més, el canvi en ambdues magnituds físiques es produeix de tal manera que la igu altat següent segueix sent vàlida:

I₁ ω₁¯=I₂ ω _2¯.

Aquesta és la llei de conservació del moment angular L¯. La seva manifestació va ser observada per totes les persones que almenys una vegada van assistir a ballet o patinatge artístic, on els atletes fan piruetes amb rotació.