El progrés de la humanitat es deu en gran part als descobriments fets pels genis. Un d'ells és Blaise Pascal. La seva biografia creativa confirma una vegada més la veritat de l'expressió de Lion Feuchtwanger "Una persona amb talent, talent en tot". Tots els èxits científics d'aquest gran científic són difícils de comptar. Entre ells hi ha un dels invents més elegants del món de les matemàtiques: el triangle de Pascal.
Unes paraules sobre el geni
Blaise Pascal va morir aviat segons els estàndards moderns, als 39 anys. Tanmateix, en la seva curta vida es va distingir com a físic, matemàtic, filòsof i escriptor destacat. Els descendents agraïts van anomenar la unitat de pressió i el popular llenguatge de programació Pascal en el seu honor. S'ha utilitzat durant gairebé 60 anys per ensenyar a escriure diversos codis. Per exemple, amb la seva ajuda, cada alumne pot escriure un programa per calcular l'àrea d'un triangle en Pascal, així com explorar les propietats del circuit, sobreque es comentarà a continuació.
L'activitat d'aquest científic amb un pensament extraordinari abasta una gran varietat de camps de la ciència. En particular, Blaise Pascal és un dels fundadors de l'hidrostàtica, l'anàlisi matemàtica, algunes àrees de la geometria i la teoria de la probabilitat. A més, ell:
- va crear una calculadora mecànica coneguda com la roda de Pascal;
- va proporcionar proves experimentals que l'aire té elasticitat i pes;
- va establir que es pot utilitzar un baròmetre per predir el temps;
- va inventar la carretilla;
- va inventar l'omnibus: carruatges tirats per cavalls amb rutes fixes, que després es va convertir en el primer tipus de transport públic regular, etc.
Triangle aritmètic de Pascal
Com ja s'ha dit, aquest gran científic francès va fer una gran contribució a la ciència matemàtica. Una de les seves obres mestres científiques absolutes és el " Tractat sobre el triangle aritmètic ", que consta de coeficients binomials disposats en un ordre determinat. Les propietats d'aquest esquema són sorprenents per la seva diversitat, i ell mateix confirma el proverbi "Tot enginyós és senzill!".
Una mica d'història
Per ser justos, cal dir que de fet el triangle de Pascal era conegut a Europa ja a principis del segle XVI. En particular, la seva imatge es pot veure a la portada d'un llibre de text d'aritmètica del famós astrònom Peter Apian de la Universitat d'Ingolstadt. També es mostra un triangle similar com a il·lustració.en un llibre del matemàtic xinès Yang Hui, publicat el 1303. El notable poeta i filòsof persa Omar Khayyam també era conscient de les seves propietats a principis del segle XII. A més, es creu que el va conèixer a partir dels tractats de científics àrabs i indis escrits anteriorment.
Descripció
Abans d'explorar les propietats més interessants del triangle de Pascal, bonic per la seva perfecció i senzillesa, val la pena saber què és.
Centíficament parlant, aquest esquema numèric és una taula triangular sense fi formada per coeficients binomials disposats en un ordre determinat. A la seva part superior i als costats hi ha els nombres 1. Les posicions restants estan ocupades per nombres iguals a la suma dels dos nombres situats a sobre d'ells al costat de l' altre. A més, totes les línies del triangle de Pascal són simètriques respecte al seu eix vertical.
Funcions bàsiques
El triangle de Pascal colpeja amb la seva perfecció. Per a qualsevol línia numerada n (n=0, 1, 2…) cert:
- primer i darrer nombre són 1;
- segon i penúltim - n;
- el tercer nombre és igual al nombre triangular (el nombre de cercles que es poden disposar en un triangle equilàter, és a dir, 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
- El quart nombre és tetraèdric, és a dir, és una piràmide amb un triangle a la base.
A més, fa relativament poc, l'any 1972, es va establir una altra propietat del triangle de Pascal. Per a ellper esbrinar-ho, heu d'escriure els elements d'aquest esquema en forma de taula amb un desplaçament de fila de 2 posicions. A continuació, anoteu els nombres divisibles pel número de línia. Resulta que el número de la columna en què es destaquen tots els nombres és un nombre primer.
El mateix truc es pot fer d'una altra manera. Per fer-ho, en el triangle de Pascal, els nombres se substitueixen per les restes de la seva divisió pel número de fila de la taula. A continuació, les línies es disposen en el triangle resultant de manera que el següent comenci 2 columnes a la dreta del primer element de l'anterior. Aleshores, les columnes amb nombres primers constaran només de zeros, i les que tinguin nombres compostos tindran almenys un zero.
Connexió amb el binomi de Newton
Com ja sabeu, aquest és el nom de la fórmula per a l'expansió en termes d'una potència entera no negativa de la suma de dues variables, que sembla:
Els coeficients presents en ells són iguals a C m =n! / (m! (n - m)!), on m és el nombre ordinal de la fila n del triangle de Pascal. En altres paraules, tenint aquesta taula a mà, podeu elevar fàcilment qualsevol nombre a una potència, després d'haver-los descompost prèviament en dos termes.
Per tant, el triangle de Pascal i el binomi de Newton estan estretament relacionats.
Math Wonders
Un examen atent del triangle de Pascal revela que:
- la suma de tots els nombres de la línia ambEl número de sèrie n (comptant des de 0) és 2;
- si les línies estan alineades a l'esquerra, aleshores les sumes de nombres que es troben al llarg de les diagonals del triangle de Pascal, que van de baix a d alt i d'esquerra a dreta, són iguals als nombres de Fibonacci;
- la primera "diagonal" consta de nombres naturals en ordre;
- qualsevol element del triangle de Pascal, reduït en un, és igual a la suma de tots els nombres situats dins del paral·lelogram, que està limitat per les diagonals esquerra i dreta que es tallen en aquest nombre;
- a cada línia del diagrama, la suma de nombres en llocs parells és igual a la suma d'elements en llocs senars.
Triangle de Sierpinski
Un esquema matemàtic tan interessant, força prometedor pel que fa a la resolució de problemes complexos, s'obté pintant els nombres parells de la imatge de Pascal amb un color i els senars en un altre.
El triangle de Sierpinski es pot construir d'una altra manera:
- a l'esquema Pascal ombrejat, el triangle central es torna a pintar amb un color diferent, que es forma connectant els punts mitjans dels costats de l'original;
- feu exactament el mateix amb tres sense pintar situats a les cantonades;
- si el procediment es continua indefinidament, el resultat hauria de ser una figura de dos colors.
La propietat més interessant del triangle de Sierpinski és la seva autosemblança, ja que consta de 3 de les seves còpies, que es redueixen 2 vegades. Ens permet atribuir aquest esquema a les corbes fractals, i aquestes, com mostra l'últimLa investigació és més adequada per a la modelització matemàtica de núvols, plantes, deltes fluvials i el propi univers.
Diverses tasques interessants
On s'utilitza el triangle de Pascal? Els exemples de tasques que es poden resoldre amb la seva ajuda són força diversos i pertanyen a diversos camps de la ciència. Fem una ullada a algunes de les més interessants.
Problema 1. Alguna ciutat gran envoltada per una muralla de fortalesa només té una porta d'entrada. A la primera cruïlla, la carretera principal es divideix en dos. El mateix passa amb qualsevol altre. 210 persones entren a la ciutat. En cadascuna de les interseccions que es troben, es divideixen per la meitat. Quantes persones es trobaran a cada cruïlla quan ja no es pugui compartir. La seva resposta és la línia 10 del triangle de Pascal (la fórmula del coeficient es presenta més amunt), on els nombres 210 es troben a ambdós costats de l'eix vertical.
Tasca 2. Hi ha 7 noms de colors. Heu de fer un ram de 3 flors. Cal esbrinar de quantes maneres diferents es pot fer això. Aquest problema és del camp de la combinatòria. Per resoldre'l, tornem a utilitzar el triangle de Pascal i a la 7a línia en la tercera posició (numeració en tots dos casos a partir de 0) el número 35.
Ara ja saps què va inventar el gran filòsof i científic francès Blaise Pascal. El seu famós triangle, quan s'utilitza correctament, pot convertir-se en un autèntic salvavides per resoldre molts problemes, especialment des del camp.combinatòria. A més, es pot utilitzar per resoldre nombrosos misteris relacionats amb els fractals.
