Un pla, juntament amb un punt i una recta, és un element geomètric bàsic. Amb el seu ús es construeixen moltes figures en geometria espacial. En aquest article, considerarem amb més detall la qüestió de com trobar un angle entre dos plans.
Concepte
Abans de parlar de l'angle entre dos plans, hauríeu d'entendre bé de quin element de geometria estem parlant. Entenem la terminologia. Un pla és una col·lecció infinita de punts a l'espai, connectant els quals obtenim vectors. Aquest últim serà perpendicular a algun vector. Normalment s'anomena normal al pla.
La figura de d alt mostra un pla i dos vectors normals. Es pot veure que tots dos vectors es troben en la mateixa recta. L'angle entre ells és de 180o.
Equacions
L'angle entre dos plans es pot determinar si es coneix l'equació matemàtica de l'element geomètric considerat. Hi ha diversos tipus d'equacions d'aquest tipus,els noms dels quals es mostren a continuació:
- tipus general;
- vector;
- en segments.
Aquests tres tipus són els més convenients per resoldre diversos tipus de problemes, de manera que s'utilitzen més sovint.
Una equació de tipus general té aquest aspecte:
Ax + By + Cz + D=0.
Aquí x, y, z són les coordenades d'un punt arbitrari pertanyent al pla donat. Els paràmetres A, B, C i D són números. La conveniència d'aquesta notació rau en el fet que els nombres A, B, C són les coordenades d'un vector normal al pla.
La forma vectorial del pla es pot representar de la següent manera:
x, y, z)=(x0, y0, z0) + α(a1, b1, c1) + β(a 2, b2, c2).
Aquí (a2, b2, c2) i (a 1, b1, c1) - paràmetres de dos vectors de coordenades que pertanyen al pla considerat. El punt (x0, y0, z0) també es troba en aquest pla. Els paràmetres α i β poden prendre valors independents i arbitraris.
Finalment, l'equació del pla en segments es representa en la forma matemàtica següent:
x/p + y/q + z/l=1.
Aquí p, q, l són nombres específics (inclosos els negatius). Aquest tipus d'equació és útil quan cal representar un pla en un sistema de coordenades rectangulars, ja que els números p, q, l mostren els punts d'intersecció amb els eixos x, y i z.avió.
Tingueu en compte que cada tipus d'equació es pot convertir en qualsevol altra mitjançant operacions matemàtiques senzilles.
Fórmula per a l'angle entre dos plans
Ara considereu el matís següent. En l'espai tridimensional, dos plans només es poden localitzar de dues maneres. O es creuen o són paral·lels. Entre dos plans, l'angle és el que es troba entre els seus vectors guia (normal). Intersecant-se, 2 vectors formen 2 angles (agut i obtus en el cas general). L'angle entre els plans es considera agut. Considereu l'equació.
La fórmula per a l'angle entre dos plans és:
θ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|)).
És fàcil endevinar que aquesta expressió és una conseqüència directa del producte escalar dels vectors normals n1¯ i n2 ¯ per als plans considerats. El mòdul del producte escalat al numerador indica que l'angle θ només prendrà valors des de 0o fins a 90o. El producte dels mòduls dels vectors normals en el denominador significa el producte de les seves longituds.
Tingueu en compte que si (n1¯n2¯)=0, aleshores els plans es tallen en angle recte.
Exemple de problema
Un cop descobert el que s'anomena angle entre dos plans, resoldrem el següent problema. Com un exemple. Per tant, cal calcular l'angle entre aquests plans:
2x - 3y + 4=0;
(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).
Per resoldre el problema, cal conèixer els vectors de direcció dels avions. Per al primer pla, el vector normal és: n1¯=(2, -3, 0). Per trobar el vector normal del segon pla, s'han de multiplicar els vectors després dels paràmetres α i β. El resultat és un vector: n2¯=(5, -3, 2).
Per determinar l'angle θ, utilitzem la fórmula del paràgraf anterior. Obtenim:
θ=arccos (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=
=arccos (19/√(1338))=0,5455 rad.
L'angle calculat en radians correspon a 31,26o. Així, els plans de la condició del problema es tallen en un angle de 31, 26o.
