Les matrius i els determinants es van descobrir als segles XVIII i XIX. Inicialment, el seu desenvolupament va concernir la transformació d'objectes geomètrics i la solució de sistemes d'equacions lineals. Històricament, l'èmfasi inicial es va posar en el determinant. En els mètodes moderns de processament d'àlgebra lineal, les matrius es consideren primer. Val la pena reflexionar sobre aquesta pregunta una estona.
Respostes d'aquesta àrea de coneixement
Les matrius proporcionen una manera teòrica i pràctica útil de resoldre molts problemes, com ara:
- sistemes d'equacions lineals;
- equilibri de sòlids (en física);
- teoria de grafs;
- El model econòmic de Leontief;
- forestal;
- infografia i tomografia;
- genètica;
- criptografia;
- xarxes elèctriques;
- fractal.
De fet, l'àlgebra matricial per a "maniquís" té una definició simplificada. S'expressa de la següent manera: es tracta d'un camp de coneixement científic en el qualels valors en qüestió s'estudien, s'analitzen i s'exploren a fons. En aquesta secció d'àlgebra s'estudien diverses operacions sobre les matrius en estudi.
Com treballar amb matrius
Aquests valors es consideren iguals si tenen les mateixes dimensions i cada element d'un és igual a l'element corresponent de l' altre. És possible multiplicar una matriu per qualsevol constant. Aquest donat s'anomena multiplicació escalar. Exemple: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
Les matrius de la mateixa mida es poden sumar i restar mitjançant entrades, i es poden multiplicar els valors de mides compatibles. Exemple: afegeix dos A i B: A=[21−10]B=[1423]. Això és possible perquè A i B són matrius amb dues files i el mateix nombre de columnes. Cal afegir cada element d'A a l'element corresponent de B: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. Les matrius es resten de la mateixa manera en àlgebra.
La multiplicació de matrius funciona una mica diferent. A més, hi pot haver molts casos i opcions, així com solucions. Si multipliquem la matriu Apq i Bmn, llavors el producte Ap×q+Bm×n=[AB]p×n. L'entrada de la fila g i la columna h d'AB és la suma del producte de les entrades corresponents de g A i h B. Només és possible multiplicar dues matrius si el nombre de columnes de la primera i de files de la segona. són iguals. Exemple: complir la condició dels considerats A i B: A=[1−130]B=[2−11214]. Això és possible perquè la primera matriu conté 2 columnes i la segona conté 2 files. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
Informació bàsica sobre les matrius
Els valors en qüestió organitzen informació com variables i constants i les emmagatzemen en files i columnes, normalment anomenades C. Cada posició de la matriu s'anomena element. Exemple: C=[1234]. Consta de dues files i dues columnes. L'element 4 es troba a la fila 2 i a la columna 2. Normalment podeu anomenar una matriu segons les seves dimensions, la anomenada Cmk té m files i k columnes.
Matrius expandides
Les consideracions són coses increïblement útils que apareixen en moltes àrees d'aplicació diferents. Les matrius es basaven originàriament en sistemes d'equacions lineals. Donada la següent estructura de desigu altats, cal tenir en compte la següent matriu complementada:
2x + 3a – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
Anoteu els coeficients i els valors de resposta, inclosos tots els signes menys. Si l'element té un nombre negatiu, serà igual a "1". És a dir, donat un sistema d'equacions (lineals), és possible associar-hi una matriu (quadrícula de nombres entre claudàtors). És el que conté només els coeficients del sistema lineal. Això s'anomena "matriu expandida". La quadrícula que conté els coeficients del costat esquerre de cada equació s'ha "empatit" amb les respostes del costat dret de cada equació.
Discs, és a direls valors B de la matriu corresponen als valors x-, y- i z del sistema original. Si està ben organitzat, primer de tot comproveu-lo. De vegades cal reordenar els termes o inserir zeros com a marcadors de posició a la matriu que s'està estudiant o que s'està estudiant.
Donat el següent sistema d'equacions, podem escriure immediatament la matriu augmentada associada:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
Primer, assegureu-vos de reorganitzar el sistema com:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
Llavors és possible escriure la matriu associada com: [11000113-1012]. Quan es forma un estès, val la pena utilitzar zero per a qualsevol registre on el lloc corresponent del sistema d'equacions lineals estigui buit.
Àlgebra matricial: propietats de les operacions
Si és necessari formar elements només a partir de valors de coeficients, el valor considerat serà així: [110011-101]. Això s'anomena "matriu de coeficients".
Tenint en compte la següent àlgebra matricial ampliada, cal millorar-la i afegir el sistema lineal associat. Dit això, és important recordar que requereixen que les variables estiguin ben ordenades i ordenades. I normalment quan hi ha tres variables, utilitzeu x, y i z en aquest ordre. Per tant, el sistema lineal associat hauria de ser:
x + 3y=4
2y - z=5
3x + z=-2.
Mida de la matriu
Sovint es fa referència als elements en qüestió pel seu rendiment. La mida d'una matriu en àlgebra es dóna commesures, ja que l'habitació es pot anomenar de manera diferent. Les mesures de valors mesurades són files i columnes, no l'amplada i la longitud. Per exemple, matriu A:
[1234]
[2345]
[3456].
Com que A té tres files i quatre columnes, la mida d'A és 3 × 4.
→
↓
Les línies van de costat. Les columnes pugen i baixen. "Fila" i "columna" són especificacions i no són intercanviables. Les mides de la matriu sempre s'especifiquen amb el nombre de files i després el nombre de columnes. Seguint aquesta convenció, el següent B:
[123]
[234] és 2 × 3. Si una matriu té el mateix nombre de files que de columnes, s'anomena "quadrat". Per exemple, els valors dels coeficients de d alt:
[110]
[011]
[-101] és una matriu quadrada de 3×3.
Notació i format de matrius
Nota de format: per exemple, quan necessiteu escriure una matriu, és important utilitzar claudàtors . Les barres de valor absolut || no s'utilitzen perquè tenen una direcció diferent en aquest context. Els parèntesis o les claus {} no s'utilitzen mai. O algun altre símbol d'agrupació, o cap, ja que aquestes presentacions no tenen cap significat. En àlgebra, una matriu sempre està entre claudàtors. Només s'ha d'utilitzar la notació correcta, o les respostes es poden considerar confuses.
Com s'ha esmentat anteriorment, els valors continguts en una matriu s'anomenen registres. Per qualsevol motiu, els elements en qüestió solen estar escritsles lletres majúscules, com A o B, i les entrades s'especifiquen amb les minúscules corresponents, però amb subíndexs. A la matriu A, els valors solen anomenar-se "ai, j", on i és la fila de A i j és la columna de A. Per exemple, a3, 2=8. L'entrada per a a1, 3 és 3.
Per a les matrius més petites, aquelles amb menys de deu files i columnes, de vegades s'omet la coma del subíndex. Per exemple, "a1, 3=3" es podria escriure com "a13=3". Òbviament, això no funcionarà per a matrius grans, ja que a213 serà fosc.
Tipus de matriu
De vegades classificats segons la seva configuració de registre. Per exemple, una matriu d'aquest tipus que té totes les entrades zero per sota de la "diagonal" diagonal superior-esquerra-inferior dreta s'anomena triangular superior. Entre altres coses, hi pot haver altres tipus i tipus, però no són molt útils. En general, es percep com a triangular superior. Els valors amb exponents diferents de zero només horitzontalment s'anomenen valors diagonals. Els tipus similars tenen entrades diferents de zero en les quals totes són 1, aquestes respostes s'anomenen idèntiques (per raons que quedaran clares quan s'aprèn i s'entengui com multiplicar els valors en qüestió). Hi ha molts indicadors de recerca similars. La identitat 3 × 3 es denota amb I3. De la mateixa manera, la identitat 4 × 4 és I4.
Àlgebra matricial i espais lineals
Tingueu en compte que les matrius triangulars són quadrades. Però les diagonals són triangulars. En vista d'això, ho sónquadrat. I les identitats es consideren diagonals i, per tant, triangulars i quadrades. Quan cal descriure una matriu, normalment només s'especifica la pròpia classificació més específica, ja que això implica totes les altres. Classifica les opcions de recerca següents:com 3 × 4. En aquest cas, no són quadrades. Per tant, els valors no poden ser una altra cosa. La següent classificació:és possible com a 3 × 3. Però es considera un quadrat, i no hi ha res especial. Classificació de les dades següents:com a triangular superior de 3 × 3, però no és diagonal. És cert que en els valors considerats hi pot haver zeros addicionals a l'espai localitzat i indicat o per sobre. La classificació que s'estudia és més: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], on es representa com una diagonal i, a més, les entrades són totes 1. Aleshores es tracta d'una identitat 3 × 3, I3.
Com que les matrius anàlogues són per definició quadrades, només cal que utilitzeu un sol índex per trobar-ne les dimensions. Perquè dues matrius siguin iguals, han de tenir el mateix paràmetre i tenir les mateixes entrades als mateixos llocs. Per exemple, suposem que hi ha dos elements en consideració: A=[1 3 0] [-2 0 0] i B=[1 3] [-2 0]. Aquests valors no poden ser els mateixos, ja que tenen una mida diferent.
Encara que A i B siguin: A=[3 6] [2 5] [1 4] i B=[1 2 3] [4 5 6] - encara no són el mateix el mateix. A i B tenen cadascunsis entrades i també tenen els mateixos números, però això no és suficient per a les matrius. A és 3 × 2. I B és una matriu de 2 × 3. A per a 3 × 2 no és 2 × 3. No importa si A i B tenen la mateixa quantitat de dades o fins i tot els mateixos números que els registres. Si A i B no tenen la mateixa mida i forma, però tenen valors idèntics en llocs semblants, no són iguals.
Operacions similars a la zona en estudi
Aquesta propietat de la igu altat de matrius es pot convertir en tasques per a la investigació independent. Per exemple, es donen dues matrius i s'indica que són iguals. En aquest cas, haureu d'utilitzar aquesta igu altat per explorar i obtenir respostes per als valors de les variables.
Exemples i solucions de matrius en àlgebra es poden variar, especialment quan es tracta d'igu altats. Atès que es consideren les matrius següents, cal trobar els valors x i y. Perquè A i B siguin iguals, han de tenir la mateixa mida i forma. De fet, són tals, perquè cadascuna d'elles és matriu 2 × 2. I haurien de tenir els mateixos valors als mateixos llocs. Aleshores a1, 1 ha de ser igual a b1, 1, a1, 2 ha de ser igual a b1, 2, etc. Però, òbviament, a1, 1=1 no és igual a b1, 1=x. Perquè A sigui idèntic a B, l'entrada ha de tenir a1, 1=b1, 1, de manera que pot ser 1=x. De la mateixa manera, els índexs a2, 2=b2, 2, per tant 4=y. Aleshores la solució és: x=1, y=4. Atès que el següentles matrius són iguals, cal trobar els valors de x, y i z. Per tenir A=B, els coeficients han de tenir totes les entrades iguals. És a dir, a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 i així successivament. En particular, ha de:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
Com podeu veure a les matrius seleccionades: amb 1, 1-, 2, 2- i 3, 1-elements. Resolvant aquestes tres equacions, obtenim la resposta: x=4, y=-6 i z=9. L'àlgebra matricial i les operacions amb matrius són diferents de les que tothom acostuma a fer, però no són reproduïbles.
Informació addicional en aquesta àrea
L'àlgebra de matrius lineals és l'estudi de conjunts similars d'equacions i les seves propietats de transformació. Aquest camp de coneixement permet analitzar rotacions en l'espai, aproximar mínims quadrats, resoldre equacions diferencials associades, determinar un cercle que passa per tres punts donats i resoldre molts altres problemes de matemàtiques, física i tecnologia. L'àlgebra lineal d'una matriu no és realment el sentit tècnic de la paraula utilitzada, és a dir, un espai vectorial v sobre un camp f, etc.
La matriu i el determinant són eines d'àlgebra lineal molt útils. Una de les tasques centrals és la solució de l'equació matricial Ax=b, per a x. Tot i que això es podria resoldre teòricament utilitzant la inversa x=A-1 b. Altres mètodes, com l'eliminació gaussiana, són numèricament més fiables.
A més d'utilitzar-se per descriure l'estudi de conjunts lineals d'equacions, l'especificatel terme anterior també s'utilitza per descriure un determinat tipus d'àlgebra. En particular, L sobre un camp F té l'estructura d'un anell amb tots els axiomes habituals per a la suma interna i la multiplicació, juntament amb les lleis distributives. Per tant, li dóna més estructura que un anell. L'àlgebra de matrius lineals també admet una operació externa de multiplicació per escalars que són elements del camp subjacent F. Per exemple, el conjunt de totes les transformacions considerades d'un espai vectorial V a si mateix sobre un camp F es forma sobre F. Un altre exemple de lineal àlgebra és el conjunt de totes les matrius quadrades reals sobre un camp R nombres reals.
