Al món actual, fem servir cada cop més una varietat de cotxes i aparells. I no només quan cal aplicar una força literalment inhumana: moure la càrrega, aixecar-la a una alçada, cavar una rasa llarga i profunda, etc. Els cotxes avui en dia són muntats per robots, els aliments són preparats per multicuines i els càlculs aritmètics elementals són. realitzat per calculadores. Cada cop sentim més sovint l'expressió "àlgebra booleana". Potser és hora d'entendre el paper de l'home en la creació de robots i la capacitat de les màquines per resoldre problemes no només matemàtics, sinó també lògics.
Lògica
Traduït del grec, la lògica és un sistema ordenat de pensament que crea relacions entre condicions determinades i permet extreure conclusions a partir de premisses i supòsits. Molt sovint ens preguntem: "És lògic?" La resposta rebuda confirma les nostres suposicions o critica el tren del pensament. Però el procés no s'atura: continuem raonant.
De vegades el nombre de condicions (introductoris) és tan gran, i les relacions entre elles són tan intricades i complexes que el cervell humà no és capaç de "digerir" tot alhora. Pot trigar més d'un mes (setmana, any) a comprendre què està passant. Peròla vida moderna no ens ofereix aquests intervals de temps per prendre decisions. I recorrem a l'ajuda dels ordinadors. I aquí és on apareix l'àlgebra de la lògica, amb les seves pròpies lleis i propietats. En baixar totes les dades inicials, permetem que l'ordinador reconegui totes les relacions, eliminem les contradiccions i trobi una solució satisfactòria.
Matemàtiques i lògica
El famós Gottfried Wilhelm Leibniz va formular el concepte de "lògica matemàtica", els problemes de la qual només eren comprensibles per a un cercle reduït de científics. Aquesta direcció no va despertar un interès especial, i fins a mitjans del segle XIX, poca gent coneixia la lògica matemàtica.
Un gran interès per la comunitat científica va provocar una disputa en què l'anglès George Boole va anunciar la seva intenció de crear una branca de les matemàtiques que no té absolutament cap aplicació pràctica. Com recordem des de la història, la producció industrial es desenvolupava activament en aquella època, s'estaven desenvolupant tot tipus de màquines auxiliars i màquines-eina, és a dir, tots els descobriments científics tenien un enfocament pràctic.
Mirant endavant, diguem que l'àlgebra de Boole és la part més utilitzada de les matemàtiques al món modern. Així que Bull va perdre la seva discussió.
George Buhl
La pròpia personalitat de l'autor mereix una atenció especial. Fins i tot tenint en compte que en el passat la gent va créixer abans que nos altres, encara és impossible no notar que als 16 anys, J. Buhl va ensenyar en una escola del poble i als 20 va obrir la seva pròpia escola a Lincoln. El matemàtic parlava amb fluïdesa cinc llengües estrangeres, i en el seu temps lliure llegia obresNewton i Lagrange. I tot això és sobre el fill d'un senzill treballador!
El 1839, Boole va presentar per primera vegada els seus articles científics al Cambridge Mathematical Journal. El científic té 24 anys. El treball de Boole va interessar tant als membres de la Royal Society que el 1844 va rebre una medalla per la seva contribució al desenvolupament de l'anàlisi matemàtica. Diversos treballs més publicats, que descriuen els elements de la lògica matemàtica, van permetre al jove matemàtic ocupar el càrrec de professor al College of Cork. Recordeu que el mateix Buhl no tenia cap educació.
Idea
En principi, l'àlgebra de Boole és molt simple. Hi ha enunciats (expressions lògiques) que, des del punt de vista de les matemàtiques, només es poden definir amb dues paraules: “cert” o “fals”. Per exemple, a la primavera els arbres floreixen - és cert, a l'estiu neva - una mentida. La bellesa d'aquestes matemàtiques és que no hi ha una necessitat estricta d'utilitzar només números. Qualsevol enunciat amb un significat inequívoc és molt adequat per a l'àlgebra dels judicis.
Així, l'àlgebra de la lògica es pot utilitzar literalment a tot arreu: per programar i escriure instruccions, analitzar informació conflictiva sobre esdeveniments i determinar la seqüència d'accions. El més important és entendre que és completament indiferent com determinem la veritat o la falsedat de l'afirmació. Aquests "coms" i "per què" s'han d'abstraure. Només importa l'enunciat dels fets: vertader-fals.
Per descomptat, per a la programació, són importants les funcions de l'àlgebra de la lògica, que s'escriuen pel corresponentsignes i símbols. I aprendre'ls significa dominar una nova llengua estrangera. Res és impossible.
Conceptes bàsics i definicions
Sense aprofundir, parlem de la terminologia. Així doncs, l'àlgebra de Boole suposa:
- declaracions;
- operacions lògiques;
- funcions i lleis.
Les declaracions són qualsevol expressió afirmativa que no es pot interpretar de manera ambigua. S'escriuen com a números (5 > 3) o es formulen amb paraules familiars (l'elefant és el mamífer més gran). Al mateix temps, la frase "la girafa no té coll" també té dret a existir, només l'àlgebra booleana la definirà com a "falsa".
Totes les afirmacions han de ser inequívoques, però poden ser elementals i compostes. Aquests últims utilitzen connectius lògics. És a dir, en l'àlgebra dels judicis, els enunciats compostos es formen afegint enunciats elementals mitjançant operacions lògiques.
operacions d'àlgebra booleana
Ja recordem que les operacions en l'àlgebra dels judicis són lògiques. De la mateixa manera que l'àlgebra numèrica utilitza l'aritmètica per sumar, restar o comparar nombres, els elements de la lògica matemàtica us permeten fer enunciats complexes, negar o calcular el resultat final.
Les operacions lògiques de formalització i simplicitat s'escriuen mitjançant fórmules que ens coneixen a l'aritmètica. Les propietats de l'àlgebra de Boole permeten escriure equacions i calcular incògnites. Les operacions lògiques s'escriuen normalment mitjançant una taula de veritat. Les seves columnesdefinir els elements del càlcul i l'operació que s'hi realitza, i les línies mostren el resultat del càlcul.
Accions lògiques bàsiques
Les operacions més habituals en àlgebra booleana són la negació (NOT) i l'AND i l'OR lògics. Gairebé totes les accions de l'àlgebra dels judicis es poden descriure d'aquesta manera. Estudiem cadascuna de les tres operacions amb més detall.
La negació (no) s'aplica només a un element (operand). Per tant, l'operació de negació s'anomena unaria. Per escriure el concepte "no A" utilitzeu els símbols següents: ¬A, A¯¯¯ o !A. En forma tabular té aquest aspecte:
La funció de negació es caracteritza per la següent afirmació: si A és certa, aleshores B és falsa. Per exemple, la Lluna gira al voltant de la Terra, és cert; La terra gira al voltant de la lluna - fals.
Multiplicació i suma lògica
L'AND lògic s'anomena operació de conjunció. Què vol dir? En primer lloc, que es pot aplicar a dos operands, és a dir, I és una operació binària. En segon lloc, que només en el cas de la veritat dels dos operands (tant A com B) és certa l'expressió en si. El proverbi "La paciència i el treball ho trituraran tot" suggereix que només ambdós factors ajudaran una persona a afrontar les dificultats.
Símbols utilitzats per escriure: A∧B, A⋅B o A&&B.
La conjunció és similar a la multiplicació en aritmètica. De vegades diuen això: multiplicació lògica. Si multipliquem els elements de la taula fila per fila, obtenim un resultat semblant al raonament lògic.
La disjunció és una operació OR lògica. Pren el valor de la veritatquan almenys una de les afirmacions és certa (A o B). S'escriu així: A∨B, A+B o A||B. Les taules de veritat per a aquestes operacions són:
La disjunció és com la suma aritmètica. L'operació d'addició lògica només té una limitació: 1+1=1. Però recordem que en format digital, la lògica matemàtica es limita a 0 i 1 (on 1 és cert, 0 és fals). Per exemple, l'afirmació "en un museu pots veure una obra mestra o conèixer un interlocutor interessant" significa que pots veure obres d'art o pots conèixer una persona interessant. Al mateix temps, no es descarta la possibilitat que els dos esdeveniments succeeixin simultàniament.
Funcions i lleis
Per tant, ja sabem quines operacions lògiques utilitza l'àlgebra de Boole. Les funcions descriuen totes les propietats dels elements de la lògica matemàtica i permeten simplificar les condicions complexes de problemes. La propietat més comprensible i senzilla sembla ser el rebuig de les operacions derivades. Les derivades són OR exclusiu, implicació i equivalència. Com que només hem estudiat les operacions bàsiques, també considerarem les propietats només d'elles.
Associativitat significa que en enunciats com "i A, i B i C", l'ordre dels operands no importa. La fórmula s'escriu així:
(A∧B)∧V=A∧(B∧V)=A∧B∧V, (A∨B)∨C=A∨(B∨C)=A∨B∨C.
Com podeu veure, això és característic no només de la conjunció, sinó també de la disjunció.
Commutativity indica que el resultatla conjunció o la disjunció no depèn de quin element es va considerar primer:
A∧B=B∧A; A∨B=B∨A.
La distributivitat permet ampliar els parèntesis en expressions lògiques complexes. Les regles són semblants a l'obertura de claudàtors en la multiplicació i la suma en àlgebra:
A∧(B∨C)=A∧B∨A∧B; A∨B∧B=(A∨B)∧(A∨B).
Les propietats d'un i zero, que poden ser un dels operands, també són similars a la multiplicació algebraica per zero o un i l'addició amb un:
A∧0=0, A∧1=A; A∨0=A, A∨1=1.
Idempotència ens diu que si, respecte a dos operands iguals, el resultat d'una operació resulta ser semblant, llavors podem “llençar” els operands addicionals que compliquen el curs del raonament. Tant la conjunció com la disjunció són operacions idempotents.
B∧B=B; B∨B=B.
L'absorció també ens permet simplificar les equacions. L'absorció estableix que quan s'aplica una altra operació amb el mateix element a una expressió amb un operand, el resultat és l'operand de l'operació d'absorció.
A∧B∨B=B; (A∨B)∧B=B.
Seqüència d'operacions
La seqüència d'operacions no té poca importància. De fet, pel que fa a l'àlgebra, hi ha una prioritat de funcions que utilitza l'àlgebra booleana. Les fórmules només es poden simplificar si s'observa la importància de les operacions. Classificant del més significatiu al menys, obtenim la següent seqüència:
1. Denegació.
2. Conjunció.
3. Disjunció, exclusiuO.
4. Implicació, equivalència.
Com podeu veure, només la negació i la conjunció no tenen la mateixa preferència. I la prioritat de la disjunció i XOR són iguals, així com les prioritats d'implicació i equivalència.
Funcions d'implicació i equivalència
Com ja hem dit, a més de les operacions lògiques bàsiques, la lògica matemàtica i la teoria dels algorismes utilitzen derivades. Els més utilitzats són la implicació i l'equivalència.
La implicació, o conseqüència lògica, és una declaració en què una acció és una condició i l' altra és una conseqüència de la seva implementació. En altres paraules, es tracta d'una frase amb preposicions "si… llavors". "Si t'agrada muntar, m'agrada portar trineus". És a dir, per esquiar, cal estrènyer el trineu pujant el turó. Si no hi ha ganes de moure's per la muntanya, no cal que portis el trineu. S'escriu així: A→B o A⇒B.
L'equivalència suposa que l'acció resultant només es produeix quan els dos operands són certs. Per exemple, la nit es converteix en dia quan (i només quan) el sol surt per l'horitzó. En el llenguatge de la lògica matemàtica, aquesta afirmació s'escriu de la següent manera: A≡B, A⇔B, A==B.
Altres lleis de l'àlgebra de Boole
L'àlgebra dels judicis s'està desenvolupant i molts científics interessats han formulat noves lleis. Els postulats del matemàtic escocès O. de Morgan es consideren els més famosos. Va notar i va definir propietats com la negació propera, el complement i la doble negació.
La negació tancada vol dir que no hi ha cap negació abans del parèntesi:no (A o B)=no A o NO B.
Quan es nega un operand, independentment del seu valor, es parla de complement:
B∧¬B=0; B∨¬B=1.
I, finalment, la doble negació es compensa. Aquells. o bé la negació desapareix abans de l'operand, o només en queda un.
Com resoldre les proves
La lògica matemàtica implica la simplificació d'equacions donades. Igual que a l'àlgebra, primer heu de fer la condició el més fàcil possible (desfer-vos d'entrades i operacions complexes amb elles) i després començar a buscar la resposta correcta.
Què es pot fer per simplificar? Converteix totes les operacions derivades en operacions simples. A continuació, obriu tots els claudàtors (o viceversa, traieu-lo dels claudàtors per escurçar aquest element). El següent pas hauria de ser aplicar les propietats de l'àlgebra de Boole a la pràctica (absorció, propietats de zero i un, etc.).
En última instància, l'equació hauria de consistir en el nombre mínim d'incògnites combinades per operacions senzilles. La manera més fàcil de trobar una solució és aconseguir un gran nombre de negatius propers. Aleshores, la resposta apareixerà com si sola.
