Per facilitar al lector imaginar què és un hiperboloide, un objecte tridimensional, primer cal tenir en compte la hipèrbola corba del mateix nom, que encaixa en un espai bidimensional.
Una hipèrbola té dos eixos: el real, que en aquesta figura coincideix amb l'eix de les abscisses, i l'imaginari, amb l'eix y. Si mentalment comenceu a girar l'equació d'una hipèrbola al voltant del seu eix imaginari, aleshores la superfície "vista" per la corba serà un hiperboloide d'una sola làmina.
Si, tanmateix, comencem a girar la hipèrbola al voltant del seu eix real d'aquesta manera, aleshores cadascuna de les dues "meitats" de la corba formarà la seva pròpia superfície separada i, juntes, s'anomenarà dos- hiperboloide amb làmines.
S'obtenen fent girar la corba plana corresponent, s'anomenen, respectivament, hiperboloides de rotació. Tenen paràmetres en totes direccions perpendiculars a l'eix de rotació,pertanyent a la corba girada. En general, aquest no és el cas.
Equació hiperboloide
En general, una superfície es pot definir amb les següents equacions en coordenades cartesianes (x, y, z):
En el cas d'un hiperboloide de revolució, la seva simetria respecte de l'eix al voltant del qual girava s'expressa en la igu altat dels coeficients a=b.
Característiques dels hiperboloides
Té un truc. Sabem que les corbes en un pla tenen focus; en el cas d'una hipèrbola, per exemple, el mòdul de la diferència de distàncies des d'un punt arbitrari d'una hipèrbola a un focus i el segon és constant per definició, de fet, de focus. punts.
Quan es mou a l'espai tridimensional, la definició pràcticament no canvia: els focus són de nou dos punts, i la diferència de distàncies entre ells fins a un punt arbitrari pertanyent a la superfície hiperboloide és constant. Com podeu veure, només va aparèixer la tercera coordenada dels canvis per a tots els punts possibles, perquè ara es troben a l'espai. En termes generals, definir un focus equival a identificar el tipus de corba o superfície: parlant de com estan situats els punts de la superfície en relació amb els focus, en realitat responem a la pregunta de què és un hiperboloide i com es veu.
Val la pena recordar que una hipèrbola té asímptotes: línies rectes, a les quals les seves branques tendeixen a l'infinit. Si, en construir un hiperboloide de revolució, es fa girar mentalment les asímptotes juntament amb la hipèrbola, aleshores, a més de l'hiperboloide, també s'obtindrà un con anomenat asimptòtic. El con asimptòtic ésper a hiperboloides d'una i dues fulles.
Una altra característica important que només té un hiperboloide d'una sola làmina són els generadors rectilinis. Com el seu nom indica, aquestes són línies i es troben completament sobre una superfície determinada. Dos generadors rectilinis passen per cada punt d'un hiperboloide d'una sola làmina. Pertanyen respectivament a dues famílies de rectes, que es descriuen mitjançant els següents sistemes d'equacions:
Així, un hiperboloide d'un sol full pot estar compost completament per un nombre infinit de rectes de dues famílies, i cada línia d'una d'elles es tallarà amb totes les línies de l' altra. Les superfícies corresponents a aquestes propietats s'anomenen reglades; es poden construir utilitzant la rotació d'una recta. La definició mitjançant la disposició mútua de línies (generadors rectilinis) a l'espai també pot servir com a designació inequívoca del que és un hiperboloide.
Propietats interessants d'un hiperboloide
Les corbes de segon ordre i les seves corresponents superfícies de revolució tenen cadascuna propietats òptiques interessants associades als focus. En el cas d'un hiperboloide, això es formula de la següent manera: si un raig es dispara des d'un focus, llavors, després d'haver-se reflectit des de la "paret" més propera, prendrà una direcció com si provingués del segon focus.
Hiperboloides a la vida
Molt probablement, la majoria dels lectors van començar a conèixer la geometria analítica i les superfícies de segon ordre a partir d'una novel·la de ciència ficció d'Alexei Tolstoi"Enginyer hiperboloide Garin". No obstant això, el propi escriptor o bé no sabia bé què era un hiperboloide, o va sacrificar la precisió per l'art: l'invent descrit, pel que fa a les característiques físiques, és més aviat un paraboloide que recull tots els raigs en un mateix focus (mentre que el propietats òptiques de l'hiperboloide s'associen amb la dispersió dels raigs).
Les anomenades estructures hiperboloides són molt populars en arquitectura: són estructures que tenen la forma d'un hiperboloide d'una sola làmina o d'un paraboloide hiperbòlic. El cas és que només aquestes superfícies de revolució de segon ordre tenen generadors rectilinis: així, una estructura corba només es pot construir a partir de bigues rectes. Els avantatges d'aquestes estructures són la capacitat de suportar càrregues pesades, per exemple, del vent: la forma hiperboloide s'utilitza en la construcció d'estructures altes, per exemple, torres de televisió.
