La geometria és una branca de les matemàtiques que estudia les estructures a l'espai i la relació entre elles. Al seu torn, també consta de seccions, i una d'elles és l'estereometria. Preveu l'estudi de les propietats de les figures volumètriques situades a l'espai: un cub, una piràmide, una bola, un con, un cilindre, etc.
Un con és un cos de l'espai euclidià que limita una superfície cònica i un pla sobre el qual es troben els extrems dels seus generadors. La seva formació es produeix en el procés de rotació d'un triangle rectangle al voltant de qualsevol dels seus catets, per tant, pertany als cossos de revolució.
Components del con
Es distingeixen els següents tipus de cons: oblics (o oblics) i rectes. L'oblic és aquell l'eix del qual es talla amb el centre de la seva base no en angle recte. Per aquest motiu, l'alçada d'aquest con no coincideix amb l'eix, ja que és un segment que es baixa des de la part superior del cos fins al seu pla.base a 90°.
Aquell con, l'eix del qual és perpendicular a la seva base, s'anomena con recte. L'eix i l' altura d'un cos geomètric d'aquest tipus coincideixen a causa del fet que el vèrtex es troba per sobre del centre del diàmetre de la base.
El con consta dels elements següents:
- El cercle que és la seva base.
- Lateral.
- Un punt que no es troba en el pla de la base, anomenat la part superior del con.
- Segments que connecten els punts del cercle de la base del cos geomètric i la seva part superior.
Tots aquests segments són generatrius del con. Estan inclinats a la base del cos geomètric, i en el cas d'un con dret les seves projeccions són iguals, ja que el vèrtex és equidistant dels punts de la circumferència base. Així, podem concloure que en un con regular (recte), els generadors són iguals, és a dir, tenen la mateixa longitud i formen els mateixos angles amb l'eix (o alçada) i la base.
Com que en un cos de revolució oblic (o inclinat) el vèrtex es desplaça respecte al centre del pla base, els generadors d'aquest cos tenen longituds i projeccions diferents, ja que cadascun d'ells es troba a una distància diferent. des de dos punts qualsevol de la circumferència base. A més, els angles entre ells i l'alçada del con també seran diferents.
La longitud dels generadors en un con dret
Com s'ha escrit abans, l'alçada en un cos geomètric recte de revolució és perpendicular al pla de la base. Així, la generatriu, l'alçada i el radi de la base creen un triangle rectangle en el con.
És a dir, coneixent el radi de la base i l' altura, utilitzant la fórmula del teorema de Pitàgores, pots calcular la longitud de la generatriu, que serà igual a la suma dels quadrats del radi de la base i alçada:
l2 =r2+ h2 o l=√r 2 + h2
on l és una generatriu;
r – radi;
h – alçada.
Generatiu en un con oblic
A partir del fet que en un con oblic o oblic els generadors no tenen la mateixa longitud, no serà possible calcular-los sense construccions i càlculs addicionals.
Primer de tot, cal conèixer l'alçada, la longitud de l'eix i el radi de la base.
Tenint aquestes dades, podeu calcular la part del radi que es troba entre l'eix i l'alçada, utilitzant la fórmula del teorema de Pitàgores:
r1=√k2 - h2
on r1 és la part del radi entre l'eix i l'alçada;
k: longitud de l'eix;
h – alçada.
Com a resultat d'afegir el radi (r) i la seva part situada entre l'eix i l'alçada (r1), podeu trobar el costat sencer de la dreta triangle format per la generatriu del con, la seva part d'alçada i diàmetre:
R=r + r1
on R és el catet del triangle format per l'alçada, la generatriu i part del diàmetre de la base;
r – radi base;
r1: part del radi entre l'eix i l'alçada.
Usant la mateixa fórmula del teorema de Pitàgores, podeu trobar la longitud de la generatriu del con:
l=√h2+ R2
o, sense calcular R per separat, combina les dues fórmules en una sola:
l=√h2 + (r + r1)2.
Malgrat que sigui un con recte o oblic i quin tipus de dades d'entrada, tots els mètodes per trobar la longitud de la generatriu sempre es redueixen a un resultat: l'ús del teorema de Pitàgores.
Secció de con
La secció axial d'un con és un pla que passa pel seu eix o alçada. En un con recte, aquesta secció és un triangle isòsceles, en què l'alçada del triangle és l'alçada del cos, els seus costats són els generadors i la base és el diàmetre de la base. En un cos geomètric equilàter, la secció axial és un triangle equilàter, ja que en aquest con el diàmetre de la base i els generadors són iguals.
El pla de la secció axial d'un con recte és el pla de la seva simetria. La raó d'això és que la seva part superior està per sobre del centre de la seva base, és a dir, el pla de la secció axial divideix el con en dues parts idèntiques.
Com que l'alçada i l'eix no coincideixen en un sòlid inclinat, el pla de la secció axial pot no incloure l'alçada. Si és possible construir un conjunt de seccions axials en aquest con, ja que només s'ha d'observar una condició: només ha de passar per l'eix, només una secció axial del pla, que pertanyi a l'alçada de aquest con, es pot dibuixar, perquè el nombre de condicions augmenta i, com és sabut, dues línies (juntes) poden pertànyer anomés un avió.
Àrea de la secció
La secció axial del con esmentat anteriorment és un triangle. A partir d'això, la seva àrea es pot calcular mitjançant la fórmula per a l'àrea d'un triangle:
S=1/2dh o S=1/22rh
on S és l'àrea de la secció transversal;
d: diàmetre de la base;
r – radi;
h – alçada.
En un con oblic o oblic, la secció al llarg de l'eix també és un triangle, de manera que l'àrea de la secció transversal es calcula de la mateixa manera.
Volum
Com que un con és una figura tridimensional en un espai tridimensional, podem calcular-ne el volum. El volum d'un con és un nombre que caracteritza aquest cos en una unitat de volum, és a dir, en m3. El càlcul no depèn de si és recte o oblic (oblic), ja que les fórmules d'aquests dos tipus de cossos no difereixen.
Com s'ha dit anteriorment, la formació d'un con recte es produeix a causa de la rotació d'un triangle rectangle al llarg d'un dels seus catets. Un con inclinat o oblic es forma de manera diferent, ja que la seva alçada s'allunya del centre del pla base del cos. Tanmateix, aquestes diferències en l'estructura no afecten el mètode de càlcul del seu volum.
Càlcul de volum
La fórmula per al volum de qualsevol con té aquest aspecte:
V=1/3πhr2
on V és el volum del con;
h – alçada;
r – radi;
π - constant igual a 3, 14.
Per calcular el volum d'un con, cal tenir dades sobre l'alçada i el radi de la base del cos.
Per calcular l'alçada d'un cos, cal conèixer el radi de la base i la longitud de la seva generatriu. Com que el radi, l'alçada i la generatriu es combinen en un triangle rectangle, l'alçada es pot calcular mitjançant la fórmula del teorema de Pitàgores (a2+ b2=c 2 o en el nostre cas h2+ r2=l2 , on l - generatriu). En aquest cas, l'alçada es calcularà extraient l'arrel quadrada de la diferència entre els quadrats de la hipotenusa i l' altre catet:
a=√c2- b2
És a dir, l'alçada del con serà igual al valor obtingut després d'extreure l'arrel quadrada de la diferència entre el quadrat de la longitud de la generatriu i el quadrat del radi de la base:
h=√l2 - r2
Calculant l'alçada mitjançant aquest mètode i coneixent el radi de la seva base, podeu calcular el volum del con. En aquest cas, la generatriu juga un paper important, ja que serveix com a element auxiliar en els càlculs.
De la mateixa manera, si coneixeu l'alçada del cos i la longitud de la seva generatriu, podeu trobar el radi de la seva base extraient l'arrel quadrada de la diferència entre el quadrat de la generatriu i el quadrat de l'alçada.:
r=√l2 - h2
A continuació, utilitzant la mateixa fórmula anterior, calculeu el volum del con.
Volum del con inclinat
Com que la fórmula del volum d'un con és la mateixa per a tots els tipus de cos de revolució, la diferència en el seu càlcul és la recerca de l'alçada.
Per esbrinar l'alçada d'un con inclinat, les dades d'entrada han d'incloure la longitud de la generatriu, el radi de la base i la distància entre el centrebase i la intersecció de l'alçada del cos amb el pla de la seva base. Sabent això, podeu calcular fàcilment aquella part del diàmetre de la base, que serà la base d'un triangle rectangle (format per l'alçada, la generatriu i el pla de la base). A continuació, de nou utilitzant el teorema de Pitàgores, calculeu l'alçada del con i, posteriorment, el seu volum.
