Ja a l'escola primària, els alumnes s'enfronten a fraccions. I després apareixen en tots els temes. És impossible oblidar accions amb aquests números. Per tant, cal conèixer tota la informació sobre les fraccions ordinàries i decimals. Aquests conceptes són senzills, el més important és entendre-ho tot en ordre.
Per què necessitem fraccions?
El món que ens envolta està format per objectes sencers. Per tant, no calen accions. Però la vida quotidiana empeny constantment la gent a treballar amb parts d'objectes i coses.
Per exemple, la xocolata consta de diverses rodanxes. Considereu la situació en què la seva rajola està formada per dotze rectangles. Si el divideixes en dos, obtens 6 parts. Estarà ben dividit en tres. Però a cinc no se'ls pot donar un nombre sencer de trossos de xocolata.
Per cert, aquestes rodanxes ja són fraccions. I la seva divisió posterior condueix a nombres més complexos.
Què és una "fracció"?
Aquest és un número format per parts d'un. Exteriorment, sembla dos nombres separats perhoritzontal o barra. Aquesta característica s'anomena fraccional. El nombre escrit a la part superior (esquerra) s'anomena numerador. El de sota (a la dreta) és el denominador.
De fet, la barra fraccionària resulta ser un signe de divisió. És a dir, el numerador es pot anomenar dividend i el denominador es pot anomenar divisor.
Quines fraccions existeixen?
En matemàtiques només n'hi ha dos tipus: fraccions ordinàries i decimals. Els escolars es familiaritzen amb els primers de primària, anomenant-los simplement "fraccions". El segon aprenen a 5è de primària. És llavors quan apareixen aquests noms.
Fraccions ordinàries: totes aquelles que s'escriuen com dos nombres separats per una barra. Per exemple, 4/7. El decimal és un nombre en el qual la part fraccionària té una notació posicional i es separa de l'enter amb una coma. Per exemple, 4, 7. Els estudiants han de tenir clar que els dos exemples que es donen són números completament diferents.
Cada fracció simple es pot escriure com a decimal. Aquesta afirmació és gairebé sempre certa també al revés. Hi ha regles que us permeten escriure una fracció decimal com a fracció ordinària.
Quins subtipus tenen aquests tipus de fraccions?
Millor començar per ordre cronològic mentre s'estan estudiant. Les fraccions comunes són primeres. Entre elles, es poden distingir 5 subespècies.
- Correcte. El seu numerador és sempre menor que el denominador.
- Error. El seu numerador és més gran o igual que el denominador.
- Reduïble/irreducible. Ella pot ser comcorrecte i incorrecte. Una altra cosa és important, si el numerador i el denominador tenen factors comuns. Si n'hi ha, se suposa que han de dividir les dues parts de la fracció, és a dir, per reduir-la.
- Mixt. S'assigna un nombre enter a la seva part fraccional correcta (incorrecta) habitual. I sempre es troba a l'esquerra.
-
Compost. Està format per dues fraccions dividides entre si. És a dir, conté tres característiques fraccionades alhora.
Les fraccions decimals només tenen dos subtipus:
- final, és a dir, aquell que té una part fraccional limitada (té un final);
- infinit: un nombre els dígits del qual després del punt decimal no acaben (es poden escriure sense fi).
Com convertir un decimal en una fracció comuna?
Si aquest és un nombre finit, s'aplica l'associació basada en la regla; tal com he sentit, escric. És a dir, cal llegir-lo correctament i escriure-lo, però sense coma, però amb una línia fraccionària.
Com a indicació sobre el denominador requerit, recordeu que sempre és un i alguns zeros. Aquests últims s'han d'escriure tants com els dígits de la part fraccionària del nombre en qüestió.
Com convertir fraccions decimals en ordinàries, si f alta la seva part sencera, és a dir, igual a zero? Per exemple, 0,9 o 0,05. Després d'aplicar la regla especificada, resulta que cal escriure zero enters. Però no està indicat. Queda per escriure només les parts fraccionades. Al primer númeroel denominador serà igual a 10, el segon tindrà 100. És a dir, els exemples indicats tindran com a respostes números: 9/10, 5/100. A més, aquest últim es pot reduir en 5. Per tant, el resultat s'hauria d'escriure 1/20.
Com fer una fracció ordinària a partir d'un decimal si la seva part entera és diferent de zero? Per exemple, 5, 23 o 13, 00108. Tots dos exemples llegeixen la part sencera i escriuen el seu valor. En el primer cas, això és 5, en el segon - 13. Aleshores, heu de passar a la part fraccionària. Amb ells cal fer la mateixa operació. El primer nombre apareix 23/100, el segon - 108/100000. El segon valor s'ha de reduir de nou. La resposta són fraccions mixtes: 5 23/100 i 13 27/25000.
Com convertir un decimal infinit en una fracció comuna?
Si no és periòdica, no es pot realitzar aquesta operació. Aquest fet es deu al fet que cada fracció decimal sempre es converteix en final o periòdica.
L'únic que pots fer amb aquesta fracció és arrodonir-la. Però aleshores el decimal serà aproximadament igual a aquest infinit. Ja es pot convertir en un de normal. Però el procés invers: convertir a decimal - mai donarà el valor inicial. És a dir, infinites fraccions no periòdiques no es converteixen en fraccions ordinàries. Això és una cosa per recordar.
Com escriure una fracció periòdica infinita com a fracció comuna?
En aquests nombres, després del punt decimal, sempre apareixen un o més dígits, que es repeteixen. S'anomenen períodes. Per exemple, 03(3). Aquí "3" en el període. Es classifiquen com a racionals perquè es poden convertir en fraccions ordinàries.
Els que s'han trobat amb fraccions periòdiques saben que poden ser pures o barrejades. En el primer cas, el punt comença immediatament a partir de la coma. A la segona, la part fraccionària comença amb qualsevol nombre i després comença la repetició.
La regla segons la qual cal escriure un decimal infinit com a fracció ordinària serà diferent per a aquests dos tipus de nombres. És bastant fàcil escriure fraccions periòdiques pures com a fraccions ordinàries. Igual que amb els finals, s'han de convertir: escriu el punt al numerador, i el nombre 9 serà el denominador, repetint-se tantes vegades com xifres hi hagi al punt.
Per exemple, 0, (5). El nombre no té una part entera, de manera que heu de passar immediatament a la part fraccionària. Escriu 5 al numerador i 9 al denominador, és a dir, la resposta serà la fracció 5/9.
La regla sobre com escriure una fracció periòdica decimal ordinària que es barreja.
- Compta els dígits fraccionaris fins al punt. Indicaran el nombre de zeros al denominador.
- Veure la durada del període. Tant 9 tindrà un denominador.
- Anoteu el denominador: primers nou, després zeros.
- Per determinar el numerador, heu d'escriure la diferència de dos nombres. Tots els dígits després del punt decimal es reduiran, juntament amb el punt. Restable: és sense punt.
Per exemple, 0, 5(8) - escriu la fracció decimal periòdica com a fracció comuna. La part fraccionària abans del període ésun dígit. Per tant, zero serà un. També només hi ha un dígit al període: 8. És a dir, només hi ha un nou. És a dir, al denominador cal escriure 90.
Per determinar el numerador de 58, cal restar 5. Resulta 53. Per exemple, la resposta s'haurà d'escriure 53/90.
Com es converteixen les fraccions comunes a decimals?
L'opció més senzilla és un nombre el denominador del qual és el nombre 10, 100, etc. Aleshores, simplement es descarta el denominador i es col·loca una coma entre les parts fraccionàries i enteres.
Hi ha situacions en què el denominador es converteix fàcilment en 10, 100, etc. Per exemple, els nombres 5, 20, 25. N'hi ha prou amb multiplicar-los per 2, 5 i 4 respectivament. Només cal multiplicar no només el denominador, sinó també el numerador pel mateix nombre.
Per a la resta de casos, una regla senzilla és útil: dividiu el numerador pel denominador. En aquest cas, podeu obtenir dues respostes: una fracció decimal final o una fracció decimal periòdica.
Accions amb fraccions comunes
Sumes i restes
Els estudiants els coneixen abans que els altres. I al principi les fraccions tenen els mateixos denominadors, i després diferents. Les regles generals es poden reduir a aquest pla.
- Cerca el mínim comú múltiple dels denominadors.
- Registreu factors addicionals a totes les fraccions habituals.
- Multiplica els numeradors i denominadors pels factors definits per a ells.
- Sumeu (restau) els numeradors de fraccions i deixeu el denominador comú sensecanvis.
- Si el numerador del minuend és menor que el subtrahend, heu d'esbrinar si tenim un nombre mixt o una fracció adequada.
- En el primer cas, la part sencera n'ha de prendre un. Afegiu un denominador al numerador d'una fracció. I després feu la resta.
- En el segon - cal aplicar la regla de la resta d'un nombre més petit a un de més gran. És a dir, resta el mòdul del minuend del mòdul del subtrahend i posa el signe “-” en resposta.
- Mireu amb atenció el resultat de la suma (resta). Si obteniu una fracció impropia, se suposa que ha de seleccionar tota la part. És a dir, divideix el numerador pel denominador.
Multiplicació i divisió
Per a la seva implementació, no cal que les fraccions es redueixin a un denominador comú. Això fa que sigui més fàcil prendre mesures. Però encara han de seguir les regles.
- En multiplicar fraccions ordinàries, cal tenir en compte els nombres en numeradors i denominadors. Si qualsevol numerador i denominador tenen un factor comú, es poden reduir.
- Multiplica els numeradors.
- Multiplica els denominadors.
- Si el resultat és una fracció reduïda, se suposa que s'ha de simplificar de nou.
- Quan dividiu, primer heu de substituir la divisió per la multiplicació i el divisor (segona fracció) per un recíproc (canviar el numerador i el denominador).
- A continuació, procediu com a la multiplicació (a partir del pas 1).
- A les tasques on cal multiplicar (dividir) per un nombre enter, l'últims'ha d'escriure com una fracció impropia. És a dir, amb un denominador d'1. A continuació, procediu com es descriu anteriorment.
Operacions decimals
Sumes i restes
Per descomptat, sempre pots convertir un decimal en una fracció comuna. I actua segons el pla ja descrit. Però de vegades és més convenient actuar sense aquesta traducció. Aleshores, les regles per sumar-los i restar-los seran exactament les mateixes.
- Igualar el nombre de dígits a la part fraccionària del nombre, és a dir, després del punt decimal. Assigna el nombre de zeros que f alten.
- Escriu fraccions de manera que la coma estigui sota la coma.
- Afegir (restar) com a nombres naturals.
- Elimina la coma.
Multiplicació i divisió
És important que no afegiu zeros aquí. Se suposa que les fraccions s'han de deixar tal com es donen a l'exemple. I després seguiu segons el pla.
- Per a la multiplicació, escriu les fraccions una sota de l' altra, ignorant les comes.
- Multiplica com nombres naturals.
- Poseu una coma a la resposta, comptant des de l'extrem dret de la resposta tants dígits com hi ha a les parts fraccionàries dels dos factors.
- Per dividir, primer has de convertir el divisor: fes-lo un nombre natural. És a dir, multipliqueu-lo per 10, 100, etc., en funció de quants dígits hi ha a la part fraccionària del divisor.
- Multiplica el dividend pel mateix nombre.
- Divideix un decimal per un nombre natural.
- Poseu una coma a la resposta en el moment en què s'acabi la divisió de la part sencera.
Què passa si hi ha tots dos tipus de fraccions en un exemple?
Sí, en matemàtiques sovint hi ha exemples en què cal fer operacions sobre fraccions ordinàries i decimals. Hi ha dues solucions possibles a aquests problemes. Heu de pesar objectivament els números i triar el millor.
Primera manera: representeu decimals ordinaris
És adequat si la divisió o la conversió produeixen fraccions finites. Si almenys un nombre dóna una part periòdica, aquesta tècnica està prohibida. Per tant, encara que no us agradi treballar amb fraccions ordinàries, haureu de comptar-les.
Segona manera: escriu fraccions decimals com a fraccions comunes
Aquesta tècnica és convenient si hi ha 1-2 dígits després del punt decimal. Si n'hi ha més, pot resultar una fracció ordinària molt gran i les entrades decimals us permetran calcular la tasca de manera més ràpida i senzilla. Per tant, sempre hauríeu d'avaluar la tasca i triar el mètode de solució més senzill.
