En preparar l'examen de matemàtiques, els estudiants han de sistematitzar els seus coneixements d'àlgebra i geometria. M'agradaria combinar tota la informació coneguda, per exemple, com calcular l'àrea d'una piràmide. A més, començant des de les cares base i laterals fins a tota la superfície. Si la situació és clara amb les cares laterals, ja que són triangles, aleshores la base és sempre diferent.
Com trobar l'àrea de la base de la piràmide?
Pot ser absolutament qualsevol forma: des d'un triangle arbitrari fins a un n-gon. I aquesta base, a més de la diferència en el nombre d'angles, pot ser una figura regular o incorrecta. A les tasques USE d'interès per als escolars només hi ha tasques amb les xifres correctes a la base. Per tant, només parlarem d'ells.
Triangle regular
Això és equilàter. Aquell en què tots els costats són iguals i es denota amb la lletra "a". En aquest cas, l'àrea de la base de la piràmide es calcula amb la fórmula:
S=(a2√3) / 4.
quadrat
La fórmula per calcular la seva àrea és la més senzilla,aquí "a" torna a ser el costat:
S=a2.
N-gon regular arbitrari
El costat d'un polígon té la mateixa designació. Per al nombre de cantonades, s'utilitza la lletra llatina n.
S=(na2) / (4tg (180º/n)).
Com calcular la superfície lateral i total?
Com que la base és una figura regular, tots els costats de la piràmide són iguals. A més, cadascun d'ells és un triangle isòsceles, ja que les vores laterals són iguals. Aleshores, per calcular l'àrea lateral de la piràmide, necessiteu una fórmula que consisteix en la suma de monomis idèntics. El nombre de termes ve determinat pel nombre de costats de la base.
L'àrea d'un triangle isòsceles es calcula mitjançant la fórmula en què la meitat del producte de la base es multiplica per l'alçada. Aquesta alçada a la piràmide s'anomena apotema. La seva designació és "A". La fórmula general per a la superfície lateral és:
S=½ PA, on P és el perímetre de la base de la piràmide.
Hi ha situacions en què no es coneixen els costats de la base, però es donen les arestes laterals (c) i l'angle pla al seu vèrtex (α). Aleshores se suposa que s'utilitza aquesta fórmula per calcular l'àrea lateral de la piràmide:
S=n/2en2 sin α.
Problema 1
Condició. Troba l'àrea total de la piràmide si la seva base és un triangle equilàter amb un costat de 4 cm i l'apotema és √3 cm.
Decisió. SevaCal començar calculant el perímetre de la base. Com que es tracta d'un triangle regular, aleshores P \u003d 34 \u003d 12 cm. Com que es coneix l'apotema, podeu calcular immediatament l'àrea de tota la superfície lateral: ½12√3=6 √3 cm 2.
Per a un triangle a la base, obteniu el valor d'àrea següent: (42√3) / 4=4√3 cm2.
Per determinar l'àrea total, cal sumar els dos valors resultants: 6√3 + 4√3=10√3 cm2.
Resposta. 10√3cm2.
Problema 2
Condició. Hi ha una piràmide quadrangular regular. La longitud del costat de la base és de 7 mm, la vora lateral és de 16 mm. Necessites conèixer la seva superfície.
Decisió. Com que el poliedre és quadrangular i regular, la seva base és un quadrat. Després d'haver après les àrees de la base i les cares laterals, serà possible calcular l'àrea de la piràmide. La fórmula del quadrat es dóna més amunt. I a les cares laterals es coneixen tots els costats del triangle. Per tant, podeu utilitzar la fórmula d'Heron per calcular les seves àrees.
Els primers càlculs són senzills i porten a aquest número: 49 mm2. Per al segon valor, haureu de calcular el semiperímetre: (7 + 162): 2=19,5 mm. Ara podeu calcular l'àrea d'un triangle isòsceles: √(19,5(19,5-7)(19,5-16)2)=√2985,9375=54,644 mm 2. Només hi ha quatre triangles d'aquest tipus, de manera que quan calculeu el nombre final, haureu de multiplicar-lo per 4.
Resulta: 49 + 454, 644=267, 576 mm2.
Resposta. Valor desitjat 267.576mm2.
Problema 3
Condició. Per a una piràmide quadrangular regular, cal calcular l'àrea. Coneix el costat del quadrat - 6 cm i l'alçada - 4 cm.
Decisió. La manera més senzilla és utilitzar la fórmula amb el producte del perímetre i l'apotema. El primer valor és fàcil de trobar. El segon és una mica més difícil.
Hem de recordar el teorema de Pitàgores i considerar un triangle rectangle. Està format per l'alçada de la piràmide i l'apotema, que és la hipotenusa. La segona pota és igual a la meitat del costat del quadrat, ja que l'alçada del poliedre cau al seu centre.
L'apotema desitjat (la hipotenusa d'un triangle rectangle) és √(32 + 42)=5 (cm).
Ara podeu calcular el valor requerit: ½(46)5+62=96 (vegeu 2).
Resposta. 96 cm2.
Problema 4
Condició. Donada una piràmide hexagonal regular. Els costats de la seva base són de 22 mm, les costelles laterals són de 61 mm. Quina és la superfície lateral d'aquest poliedre?
Decisió. El raonament que hi ha és el mateix que el descrit al problema núm. 2. Només allà es va donar una piràmide amb un quadrat a la base, i ara és un hexàgon.
Primer de tot, l'àrea de la base es calcula mitjançant la fórmula anterior: (6222) / (4tg (180º/6))=726/(tg30º)=726 √3 cm2.
Ara cal esbrinar el semiperímetre d'un triangle isòsceles, que és la cara lateral. (22 + 612): 2 \u003d 72 cm. Queda per calcular l'àrea de la platja.triangle, i després multipliqueu-lo per sis i afegiu-lo al que va resultar per a la base.
Càlcul mitjançant la fórmula d'Heron: √(72(72-22)(72-61)2)=√435600=660 cm2 . Càlculs que donaran la superfície lateral: 6606=3960 cm2. Queda per sumar-los per conèixer tota la superfície: 5217, 47≈5217 cm2.
Resposta. Base - 726√3cm2, superfície lateral - 3960cm2, àrea total - 5217cm2.
