L'any 1900, un dels científics més grans del segle passat, David Hilbert, va compilar una llista de 23 problemes de matemàtiques no resolts. El treball sobre ells va tenir un impacte enorme en el desenvolupament d'aquesta àrea del coneixement humà. 100 anys més tard, el Clay Mathematical Institute va presentar una llista de 7 problemes coneguts com els problemes del mil·lenni. A cadascun d'ells se'ls va oferir un premi d'1 milió de dòlars.
L'únic problema que va aparèixer entre ambdues llistes de trencaclosques que han perseguit els científics durant més d'un segle va ser la hipòtesi de Riemann. Encara està esperant la seva decisió.
Nota biogràfica breu
Georg Friedrich Bernhard Riemann va néixer l'any 1826 a Hannover, en una família nombrosa d'un pastor pobre, i va viure només 39 anys. Va aconseguir publicar 10 obres. Tanmateix, ja durant la seva vida, Riemann era considerat el successor del seu mestre Johann Gauss. Amb 25 anys, el jove científic va defensar la seva tesi "Fundaments de la teoria de les funcions d'una variable complexa". Més tard va formularla seva famosa hipòtesi.
nombres primers
Les matemàtiques van aparèixer quan l'home va aprendre a comptar. Paral·lelament, van sorgir les primeres idees sobre els nombres, que després van intentar classificar. S'ha observat que alguns d'ells tenen propietats comunes. En particular, entre els nombres naturals, és a dir, els que s'utilitzaven per comptar (numeració) o designar el nombre d'objectes, es distingia un grup que només eren divisibles per un i per ells mateixos. S'anomenen simples. Una demostració elegant del teorema de l'infinit del conjunt d'aquests nombres va ser donada per Euclides als seus Elements. De moment, la seva recerca continua. En particular, el nombre més gran ja conegut és 274 207 281 – 1.
fórmula d'Euler
Juntament amb el concepte d'infinit del conjunt de primers, Euclides també va determinar el segon teorema sobre l'única descomposició possible en factors primers. Segons ell, qualsevol nombre enter positiu és el producte d'un sol conjunt de nombres primers. El 1737, el gran matemàtic alemany Leonhard Euler va expressar el primer teorema de l'infinit d'Euclides amb la fórmula següent.
S'anomena funció zeta, on s és una constant i p pren tots els valors primers. L'afirmació d'Euclides sobre la singularitat de l'expansió en va seguir directament.
Funció Zeta de Riemann
La fórmula d'Euler, en una inspecció més detinguda, és completamentsorprenent perquè defineix la relació entre nombres primers i nombres enters. Després de tot, una infinitat d'expressions que depenen només de nombres primers es multipliquen al seu costat esquerre, i la suma associada a tots els nombres enters positius es troba a la dreta.
Riemann va anar més enllà que Euler. Per tal de trobar la clau del problema de la distribució dels nombres, va proposar definir una fórmula tant per a variables reals com per a variables complexes. Va ser ella qui va rebre posteriorment el nom de la funció zeta de Riemann. El 1859, el científic va publicar un article titulat "Sobre el nombre de nombres primers que no superen un valor determinado", on resumia totes les seves idees.
Riemann va suggerir utilitzar la sèrie d'Euler, que convergeix per a qualsevol s>1 real. Si s'utilitza la mateixa fórmula per a s complexos, aleshores la sèrie convergirà per a qualsevol valor d'aquesta variable amb una part real superior a 1. Riemann va aplicar el procediment de continuació analític, estenent la definició de zeta(s) a tots els nombres complexos, però "llençar" la unitat. Es va excloure perquè a s=1 la funció zeta augmenta fins a l'infinit.
Sentit pràctic
Sorgeix una pregunta lògica: per què la funció zeta, que és clau en el treball de Riemann sobre la hipòtesi nul·la, és interessant i important? Com sabeu, de moment no s'ha identificat cap patró simple que descrigui la distribució dels nombres primers entre els nombres naturals. Riemann va poder descobrir que el nombre pi(x) dels primers que no superaven x s'expressa en termes de la distribució de zeros no trivials de la funció zeta. A més, la hipòtesi de Riemann ésuna condició necessària per demostrar les estimacions de temps per al funcionament d'alguns algorismes criptogràfics.
Hipòtesi de Riemann
Una de les primeres formulacions d'aquest problema matemàtic, que no s'ha demostrat fins avui, sona així: les funcions zeta 0 no trivials són nombres complexos amb part real igual a ½. En altres paraules, es troben a la línia Re s=½.
També hi ha una hipòtesi de Riemann generalitzada, que és la mateixa afirmació, però per a generalitzacions de funcions zeta, que comunament s'anomenen funcions L de Dirichlet (vegeu la foto següent).
A la fórmula χ(n) - algun caràcter numèric (mòdul k).
La declaració de Riemann es considera l'anomenada hipòtesi nul·la, ja que s'ha provat la coherència amb les dades de mostra existents.
Com va argumentar Riemann
L'observació del matemàtic alemany es va redactar originalment de manera bastant casual. El fet és que en aquell moment el científic anava a demostrar el teorema de la distribució dels nombres primers, i en aquest context, aquesta hipòtesi no tenia una importància especial. Tanmateix, el seu paper en la resolució de molts altres problemes és enorme. És per això que molts científics reconeixen ara el supòsit de Riemann com el més important dels problemes matemàtics no provats.
Com ja s'ha esmentat, la hipòtesi completa de Riemann no és necessària per demostrar el teorema de distribució, i n'hi ha prou per justificar lògicament que la part real de qualsevol zero no trivial de la funció zeta està enentre 0 i 1. D'aquesta propietat es dedueix que la suma de tots els 0 de la funció zeta que apareix a la fórmula exacta anterior és una constant finita. Per a valors grans de x, es pot perdre del tot. L'únic membre de la fórmula que es manté igual fins i tot per a x molt gran és la mateixa x. Els termes complexos restants desapareixen asimptòticament en comparació amb ell. Per tant, la suma ponderada tendeix a x. Aquesta circumstància es pot considerar una confirmació de la veritat del teorema sobre la distribució dels nombres primers. Així, els zeros de la funció zeta de Riemann tenen un paper especial. Consisteix a demostrar que aquests valors no poden fer una contribució significativa a la fórmula de descomposició.
Seguidors de Riemann
La tràgica mort per tuberculosi no va permetre a aquest científic portar el seu programa al seu final lògic. Tanmateix, Sh-Zh va prendre el relleu d'ell. de la Vallée Poussin i Jacques Hadamard. Independentment l'un de l' altre, van deduir un teorema sobre la distribució dels nombres primers. Hadamard i Poussin van aconseguir demostrar que totes les funcions zeta 0 no trivials es troben dins de la banda crítica.
Gràcies al treball d'aquests científics, ha aparegut una nova direcció en les matemàtiques: la teoria analítica dels nombres. Més tard, altres investigadors van obtenir diverses demostracions més primitives del teorema en què estava treballant Riemann. En particular, Pal Erdős i Atle Selberg fins i tot van descobrir una cadena lògica molt complexa que ho confirmava, que no requeria l'ús d'anàlisis complexes. No obstant això, en aquest punt, diversos importantsteoremes, incloent aproximacions de moltes funcions de la teoria de nombres. En aquest sentit, el nou treball d'Erdős i Atle Selberg pràcticament no va afectar res.
Una de les proves més senzilles i boniques del problema la va trobar l'any 1980 Donald Newman. Es basava en el famós teorema de Cauchy.
La hipòtesi riemanniana amenaça els fonaments de la criptografia moderna
El xifratge de dades va sorgir juntament amb l'aparició dels jeroglífics, més precisament, ells mateixos es poden considerar els primers codis. En aquests moments, hi ha tota una àrea de criptografia digital, que està desenvolupant algorismes de xifratge.
Els nombres primers i "semiprimes", és a dir, els que només són divisibles per 2 nombres més de la mateixa classe, formen la base del sistema de clau pública conegut com a RSA. Té l'aplicació més àmplia. En particular, s'utilitza quan es genera una signatura electrònica. Parlant en termes accessibles als maniquís, la hipòtesi de Riemann afirma l'existència d'un sistema en la distribució de nombres primers. Així, la força de les claus criptogràfiques, de les quals depèn la seguretat de les transaccions en línia en l'àmbit del comerç electrònic, es redueix significativament.
Altres problemes matemàtics no resolts
Val la pena acabar l'article dedicant unes paraules a altres objectius del mil·lenni. Aquests inclouen:
- Igu altat de les classes P i NP. El problema es formula de la següent manera: si una resposta positiva a una pregunta particular es verifica en temps polinomial, aleshores és cert que la resposta a aquesta pregunta en si mateixaes pot trobar ràpidament?
- La conjectura de Hodge. En paraules senzilles, es pot formular de la següent manera: per a alguns tipus de varietats algebraiques projectives (espais), els cicles de Hodge són combinacions d'objectes que tenen una interpretació geomètrica, és a dir, cicles algebraics.
- La conjectura de Poincaré. Aquest és l'únic repte del mil·lenni que s'ha demostrat fins ara. Segons ell, qualsevol objecte tridimensional que tingui les propietats específiques d'una esfera tridimensional ha de ser una esfera, fins a la deformació.
- Afirmació de la teoria quàntica de Yang - Mills. Es requereix demostrar que la teoria quàntica presentada per aquests científics per a l'espai R 4 existeix i té un defecte de massa 0 per a qualsevol grup de calibre compacte simple G.
- Hipòtesi de Birch-Swinnerton-Dyer. Aquest és un altre tema relacionat amb la criptografia. Toca corbes el·líptiques.
- El problema de l'existència i la suavitat de les solucions de les equacions de Navier-Stokes.
Ara ja coneixeu la hipòtesi de Riemann. En termes senzills, hem formulat alguns dels altres reptes del mil·lenni. Que es resolguin o que es demostri que no tenen solució és qüestió de temps. A més, és poc probable que s'hagi d'esperar massa, ja que les matemàtiques utilitzen cada cop més les capacitats de computació dels ordinadors. Tanmateix, no tot està subjecte a la tecnologia i, en primer lloc, es requereix intuïció i creativitat per resoldre problemes científics.
