L'estudi de les funcions i les seves gràfiques és un tema que es presta especial atenció en el marc del currículum de batxillerat. Alguns conceptes bàsics de l'anàlisi matemàtica -diferenciació- s'inclouen en el nivell de perfil de l'examen de matemàtiques. Alguns escolars tenen problemes amb aquest tema, ja que confonen els gràfics de la funció i la derivada, i també obliden els algorismes. Aquest article tractarà els principals tipus de tasques i com resoldre'ls.
Quin és el valor de la funció?
Una funció matemàtica és una equació especial. Estableix una relació entre nombres. La funció depèn del valor de l'argument.
El valor de la funció es calcula segons la fórmula donada. Per fer-ho, substituïu qualsevol argument que correspongui al rang de valors vàlids d'aquesta fórmula en lloc de x i realitzeu les operacions matemàtiques necessàries. Què?
Com es pot trobar el valor més petit d'una funció,utilitzant una funció gràfica?
La representació gràfica de la dependència d'una funció d'un argument s'anomena gràfic de funcions. Es construeix en un pla amb un segment d'unitat determinat, on el valor d'una variable o argument es representa al llarg de l'eix horitzontal d'abscisses i el valor de la funció corresponent al llarg de l'eix d'ordenades verticals.
Com més gran sigui el valor de l'argument, més a la dreta es troba al gràfic. I com més gran sigui el valor de la funció, més alt serà el punt.
Què diu això? El valor més petit de la funció serà el punt que es troba més baix a la gràfica. Per trobar-lo en un segment de gràfic, necessiteu:
1) Cerca i marca els extrems d'aquest segment.
2) Determineu visualment quin punt d'aquest segment és el més baix.
3) En resposta, escriu el seu valor numèric, que es pot determinar projectant un punt sobre l'eix y.
Punts extrems al gràfic de derivades. On buscar?
No obstant això, quan es resolen problemes, de vegades es dóna un gràfic no d'una funció, sinó de la seva derivada. Per evitar cometre un error estúpid accidentalment, és millor llegir atentament les condicions, ja que depèn d'on cal cercar els punts extrems.
Per tant, la derivada és la taxa d'augment instantània de la funció. Segons la definició geomètrica, la derivada correspon al pendent de la tangent, que es dibuixa directament al punt donat.
Se sap que als punts extrems la tangent és paral·lela a l'eix Ox. Això vol dir que el seu pendent és 0.
A partir d'això podem concloure que en els punts extrems la derivada es troba a l'eix x o s'esvaeix. Però a més, en aquests punts, la funció canvia de direcció. És a dir, després d'un període d'augment, comença a disminuir i, en conseqüència, la derivada passa de positiva a negativa. O viceversa.
Si la derivada esdevé negativa de positiva, aquest és el punt màxim. Si de negatiu es converteix en positiu, el punt mínim.
Important: si necessiteu especificar un punt mínim o màxim a la tasca, en resposta haureu d'escriure el valor corresponent al llarg de l'eix d'abscisses. Però si necessiteu trobar el valor de la funció, primer haureu de substituir el valor corresponent de l'argument a la funció i calcular-lo.
Com trobar els punts extrems amb la derivada?
Els exemples considerats fan referència principalment a la tasca número 7 de l'examen, que consisteix a treballar amb un gràfic d'una derivada o una antiderivada. Però la tasca 12 de l'USE - trobar el valor més petit d'una funció en un segment (de vegades el més gran)- es realitza sense cap dibuix i requereix habilitats bàsiques en anàlisi matemàtica.
Per fer-ho, heu de poder trobar punts extrems utilitzant la derivada. L'algorisme per trobar-los és el següent:
- Cerca la derivada d'una funció.
- Fes-ho a zero.
- Cerca les arrels de l'equació.
- Comprova si els punts obtinguts són punts d'extrem o d'inflexió.
Per fer-ho, dibuixa un diagrama i segueixels intervals resultants determinen els signes de la derivada substituint els nombres pertanyents als segments per la derivada. Si, en resoldre l'equació, tens arrels de doble multiplicitat, aquests són punts d'inflexió.
Aplicant els teoremes, determina quins punts són mínims i quins són màxims
Calculeu el valor més petit d'una funció mitjançant una derivada
No obstant això, un cop realitzades totes aquestes accions, trobarem els valors dels punts mínim i màxim al llarg de l'eix x. Però, com trobar el valor més petit d'una funció en un segment?
Què s'ha de fer per trobar el número que correspon a la funció en un punt concret? Heu de substituir el valor de l'argument en aquesta fórmula.
Els punts de mínim i màxim corresponen al valor més petit i més gran de la funció del segment. Per tant, per trobar el valor de la funció, cal calcular la funció utilitzant els valors x obtinguts.
Important! Si la tasca requereix que especifiqueu un punt mínim o màxim, en resposta hauríeu d'escriure el valor corresponent al llarg de l'eix x. Però si necessiteu trobar el valor de la funció, primer heu de substituir el valor corresponent de l'argument a la funció i realitzar les operacions matemàtiques necessàries.
Què he de fer si no hi ha mínims en aquest segment?
Però com trobar el valor més petit d'una funció en un segment sense punts extrems?
Això significa que la funció disminueix o augmenta monòtonament. Aleshores, heu de substituir el valor dels punts extrems d'aquest segment a la funció. Hi ha dues maneres.
1) Havent calculatderivada i els intervals en què és positiva o negativa, per concloure si la funció és decreixent o creixent en un segment determinat.
D'acord amb ells, substituïu un valor més gran o menor de l'argument a la funció.
2) Simplement substituïu els dos punts a la funció i compareu els valors de la funció resultant.
En quines tasques trobar la derivada és opcional
Per regla general, a les assignacions USE, encara heu de trobar la derivada. Només hi ha un parell d'excepcions.
1) Paràbola.
El vèrtex de la paràbola es troba amb la fórmula.
Si és < 0, les branques de la paràbola estan dirigides cap avall. I el seu pic és el punt màxim.
Si un > 0, aleshores les branques de la paràbola estan dirigides cap amunt, el vèrtex és el punt mínim.
Un cop calculat el punt vèrtex de la paràbola, hauríeu de substituir el seu valor a la funció i calcular el valor corresponent de la funció.
2) Funció y=tg x. O y=ctg x.
Aquestes funcions augmenten monòtonament. Per tant, com més gran sigui el valor de l'argument, més gran serà el valor de la pròpia funció. A continuació, veurem com trobar el valor més gran i més petit d'una funció en un segment amb exemples.
Tipus principals de tasques
Tasca: el valor més gran o més petit de la funció. Exemple al gràfic.
A la imatge veus la gràfica de la derivada de la funció f (x) sobre l'interval [-6; 6]. En quin punt del segment [-3; 3] f(x) pren el valor més petit?
Per tant, per començar, hauríeu de seleccionar el segment especificat. En ella, la funció una vegada pren un valor zero i canvia de signe: aquest és el punt extrem. Com que la derivada de negativa esdevé positiva, vol dir que aquest és el punt mínim de la funció. Aquest punt correspon al valor de l'argument 2.
Resposta: 2.
Continueu mirant exemples. Tasca: troba el valor més gran i més petit de la funció al segment.
Troba el valor més petit de la funció y=(x - 8) ex-7 en l'interval [6; 8].
1. Preneu la derivada d'una funció complexa.
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7 )
2. Iguala la derivada resultant a zero i resol l'equació.
y' (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x - 7=0, o ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0, sense arrels
3. Substitueix el valor dels punts extrems a la funció, així com les arrels obtingudes de l'equació.
y (6)=(6 - 8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7 - 8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8 - 8) e8-7=0e1=0
Resposta: -1.
Per tant, en aquest article, es va considerar la teoria principal sobre com trobar el valor més petit d'una funció en un segment, que és necessari per resoldre amb èxit les tasques USE en matemàtiques especialitzades. També elements de matemàtiquess'utilitzen l'anàlisi quan es resolen tasques de la part C de l'examen, però òbviament representen un nivell diferent de complexitat i els algorismes per a les seves solucions són difícils d'encaixar en el marc d'un material.
