La capacitat de treballar amb expressions numèriques que contenen una arrel quadrada és necessària per resoldre amb èxit una sèrie de problemes de l'OGE i l'USE. En aquests exàmens, normalment n'hi ha prou amb una comprensió bàsica de què és l'extracció d'arrel i com es fa a la pràctica.
Definició
L'arrel n-è d'un nombre X és un nombre x per al qual la igu altat és certa: xn =X.
Trobar el valor d'una expressió amb arrel significa trobar x donat X i n.
L'arrel quadrada o, que és la mateixa, la segona arrel de X - el nombre x per al qual es compleix la igu altat: x2 =X.
Denominació: ∛Х. Aquí 3 és el grau de l'arrel, X és l'expressió de l'arrel. El signe '√' sovint s'anomena radical.
Si el número a sobre de l'arrel no indica el grau, el grau predeterminat és 2.
En un curs escolar de graus parells, normalment no es tenen en compte les arrels negatives i les expressions radicals. Per exemple, no n'hi ha√-2, i per a l'expressió √4, la resposta correcta és 2, malgrat que (-2)2 també és igual a 4.
Racionalitat i irracionalitat de les arrels
La tasca més senzilla possible amb una arrel és trobar el valor d'una expressió o provar-ne la racionalitat.
Per exemple, calculeu els valors √25; ∛8; ∛-125:
- √25=5 perquè 52 =25;
- ∛8=2 perquè 23 =8;
- ∛ - 125=-5 ja que (-5)3 =-125.
Les respostes dels exemples donats són nombres racionals.
Quan es treballa amb expressions que no contenen constants i variables literals, es recomana realitzar sempre aquesta comprovació utilitzant l'operació inversa d'elevar a una potència natural. Trobar el nombre x a l'enèsima potència equival a calcular el producte de n factors de x.
Hi ha moltes expressions amb arrel, el valor de les quals és irracional, és a dir, escrites com una fracció no periòdica infinita.
Per definició, els racionals són aquells que es poden expressar com una fracció comuna i els irracionals són tots els altres nombres reals.
Aquests inclouen √24, √0, 1, √101.
Si el llibre de problemes diu: troba el valor de l'expressió amb arrel de 2, 3, 5, 6, 7, etc., és a dir, a partir d'aquells nombres naturals que no estan continguts a la taula de quadrats, aleshores la resposta correcta és √ 2 pot estar present (tret que s'indiqui el contrari).
Avaluació
En problemes ambuna resposta oberta, si és impossible trobar el valor d'una expressió amb arrel i escriure-la com a nombre racional, el resultat s'ha de deixar com a radical.
Algunes tasques poden requerir una avaluació. Per exemple, compareu 6 i √37. La solució requereix quadrar ambdós nombres i comparar els resultats. De dos nombres, el que té el quadrat més gran és més gran. Aquesta regla funciona per a tots els números positius:
- 62 =36;
- 372 =37;
- 37 >36;
- significa √37 > 6.
De la mateixa manera, es resolen problemes en què s'han d'ordenar diversos nombres en ordre ascendent o descendent.
Exemple: ordena 5, √6, √48, √√64 en ordre ascendent.
Després del quadrat, tenim: 25, 6, 48, √64. Es podria tornar a quadrar tots els nombres per comparar-los amb √64, però és igual al nombre racional 8. 6 < 8 < 25 < 48, per tant la solució és: 48.
Simplificació de l'expressió
Passa que és impossible trobar el valor d'una expressió amb arrel, per tant s'ha de simplificar. La fórmula següent ajuda amb això:
√ab=√a√b.
L'arrel del producte de dos nombres és igual al producte de les seves arrels. Aquesta operació també requerirà la capacitat de factoritzar un nombre.
En la fase inicial, per agilitzar el treball, es recomana tenir a mà una taula de nombres primers i quadrats. Aquestes taules amb freqüentses recordarà l'ús en el futur.
Per exemple, √242 és un nombre irracional, el podeu convertir així:
- 242=2 × 121;
- √242=√(2 × 121);
- √2 × √121=√2 × 11.
En general, el resultat s'escriu com 11√2 (llegiu: onze arrels de dues).
Si és difícil veure immediatament en quins dos factors cal descompondre un nombre perquè es pugui extreure una arrel natural d'un d'ells, podeu utilitzar la descomposició completa en factors primers. Si el mateix nombre primer apareix dues vegades en l'expansió, es treu del signe arrel. Quan hi ha molts factors, podeu extreure l'arrel en diversos passos.
Exemple: √2400=√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). El número 2 apareix a l'expansió 2 vegades (de fet, més de dues vegades, però encara estem interessats en les dues primeres ocurrències de l'expansió).
El traiem de sota el signe de l'arrel:
√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).
Repetiu la mateixa acció:
2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5).
A l'expressió radical restant, 2 i 3 apareixen una vegada, de manera que queda per treure el factor 5:
2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√(2 × 3);
i realitza operacions aritmètiques:
5 × 2 × 2√(2 × 3)=20√6.
Així obtenim √2400=20√6.
Si la tasca no indica explícitament: "trobar el valor de l'expressió amb arrel quadrada", aleshores l'elecció,de quina forma deixar la resposta (si extreure l'arrel de sota el radical) roman amb l'estudiant i pot dependre del problema que es resolgui.
Al principi, s'imposen grans exigències al disseny de les tasques, al càlcul, tant oral com escrit, sense l'ús de mitjans tècnics.
Només després d'un bon domini de les regles per treballar amb expressions numèriques irracionals, té sentit passar a expressions literals més difícils i a resoldre equacions irracionals i calcular el rang de possibles valors de l'expressió sota la radical.
Els estudiants es troben amb aquest tipus de problemes a l'examen d'estat unificat de matemàtiques, així com al primer curs d'universitats especialitzades quan estudien anàlisi matemàtica i disciplines afins.
