Com trobar els punts mínims i màxims d'una funció: característiques, mètodes i exemples

2024 Autora: Angel Austin | [email protected]. Última modificació: 2024-01-02 17:43

La funció i l'estudi de les seves característiques és un dels capítols clau de les matemàtiques modernes. El component principal de qualsevol funció són els gràfics que representen no només les seves propietats, sinó també els paràmetres de la derivada d'aquesta funció. Fem una ullada a aquest tema complicat. Aleshores, quina és la millor manera de trobar els punts màxim i mínim d'una funció?

Funció: definició

Qualsevol variable que depengui d'alguna manera dels valors d'un altre valor es pot anomenar funció. Per exemple, la funció f(x²) és quadràtica i determina els valors per a tot el conjunt x. Suposem que x=9, aleshores el valor de la nostra funció serà igual a 9^2=81.

Les funcions tenen molts tipus diferents: lògiques, vectorials, logarítmiques, trigonomètriques, numèriques i altres. Ments tan destacades com Lacroix, Lagrange, Leibniz i Bernoulli es van dedicar al seu estudi. Els seus escrits serveixen de baluard en les formes modernes d'estudiar les funcions. Abans de trobar els punts mínims, és molt important entendre el significat mateix de la funció i la seva derivada.

La derivada i el seu paper

Totes les funcions estan activadesen funció dels seus valors variables, la qual cosa significa que poden canviar el seu valor en qualsevol moment. Al gràfic, es representarà com una corba que baixa o puja al llarg de l'eix y (aquest és tot el conjunt de números "y" al llarg de la vertical del gràfic). I així la definició d'un punt d'un màxim i un mínim de funció només està connectada amb aquestes "oscil·lacions". Expliquem quina és aquesta relació.

La derivada de qualsevol funció es dibuixa en un gràfic per tal d'estudiar-ne les característiques principals i calcular la rapidesa amb què canvia la funció (és a dir, canvia el seu valor en funció de la variable "x"). En el moment en què la funció augmenta, la gràfica de la seva derivada també augmentarà, però en qualsevol segon la funció pot començar a disminuir, i aleshores la gràfica de la derivada disminuirà. Aquells punts en què la derivada va de menys a més s'anomenen punts mínims. Per saber com trobar els punts mínims, hauríeu d'entendre millor el concepte de derivada.

Com calcular la derivada?

Definir i calcular la derivada d'una funció implica diversos conceptes del càlcul diferencial. En general, la definició mateixa de la derivada es pot expressar de la següent manera: aquest és el valor que mostra la taxa de canvi de la funció.

La manera matemàtica de determinar-ho per a molts estudiants sembla complicada, però de fet tot és molt més senzill. Només cal seguirpla estàndard per trobar la derivada de qualsevol funció. A continuació es descriu com es pot trobar el punt mínim d'una funció sense aplicar les regles de diferenciació i sense memoritzar la taula de derivades.

1. Podeu calcular la derivada d'una funció mitjançant un gràfic. Per fer-ho, heu de representar la funció en si, després agafeu-hi un punt (punt A de la figura). Dibuixeu una línia verticalment cap avall fins a l'eix de les abscisses (punt x_{0) i al punt A dibuixa una tangent a la funció gràfica. L'eix d'abscisses i la tangent formen un angle a. Per calcular el valor de la rapidesa amb què augmenta la funció, cal calcular la tangent d'aquest angle a.}
2. Resulta que la tangent de l'angle entre la tangent i la direcció de l'eix x és la derivada de la funció en una petita àrea amb el punt A. Aquest mètode es considera una forma geomètrica per determinar la derivada.

Mètodes d'investigació d'una funció

Al currículum escolar de matemàtiques, és possible trobar el punt mínim d'una funció de dues maneres. Ja hem analitzat el primer mètode mitjançant el gràfic, però com es pot determinar el valor numèric de la derivada? Per fer-ho, haureu d'aprendre diverses fórmules que descriguin les propietats de la derivada i ajudin a convertir variables com "x" en nombres. El mètode següent és universal, de manera que es pot aplicar a gairebé tot tipus de funcions (tant geomètriques com logarítmiques).

1. Cal equiparar la funció a la funció derivada, i després simplificar l'expressió utilitzant les reglesdiferenciació.
2. divideix per zero).
3. Després d'això, hauríeu de convertir la forma original de la funció en una equació simple, igualant tota l'expressió a zero. Per exemple, si la funció tenia aquest aspecte: f(x)=2x³+38x, aleshores, segons les regles de diferenciació, la seva derivada és igual a f'(x)=3x ^{2 +1. Aleshores transformem aquesta expressió en una equació de la forma següent: 3x}2^+1=0.
4. Després de resoldre l'equació i trobar els punts "x", hauríeu de dibuixar-los a l'eix x i determinar si la derivada en aquestes àrees entre els punts marcats és positiva o negativa. Després de la designació, quedarà clar en quin moment comença a disminuir la funció, és a dir, canvia de signe de menys al contrari. És d'aquesta manera que podeu trobar els punts mínims i màxims.

Normes de diferenciació

La part més bàsica de l'aprenentatge d'una funció i la seva derivada és conèixer les regles de diferenciació. Només amb la seva ajuda és possible transformar expressions feixugues i grans funcions complexes. Coneixem-los, n'hi ha bastants, però tots són molt senzills a causa de les propietats regulars de les funcions de potència i logarítmiques.

1. La derivada de qualsevol constant és zero (f(x)=0). És a dir, la derivada f(x)=x⁵+ x - 160 tindrà la forma següent: f' (x)=5x^4+1.
2. La derivada de la suma de dos termes: (f+w)'=f'w + fw'.
3. Derivada d'una funció logarítmica: (log_{ad)'=d/ln ad. Aquesta fórmula s'aplica a tot tipus de logaritmes.}
4. Derivada del grau: (x)'=nx^n-1. Per exemple, (9x^2)'=92x=18x.
5. Derivada d'una funció sinusoïdal: (sin a)'=cos a. Si el sin de l'angle a és 0,5, aleshores la seva derivada és √3/2.

Punts extrems

Ja hem descobert com trobar els punts mínims, però, hi ha el concepte de punts màxims d'una funció. Si el mínim denota aquells punts en què la funció va de menys a més, aleshores els punts màxims són aquells punts de l'eix x en què la derivada de la funció canvia de més a l'oposat - menys.

Podeu trobar els punts màxims mitjançant el mètode descrit anteriorment, només cal tenir en compte que denoten aquelles zones on la funció comença a disminuir, és a dir, la derivada serà menor que zero.

En matemàtiques s'acostuma a generalitzar ambdós conceptes, substituint-los per la frase "punts extrems". Quan la tasca demana determinar aquests punts, això vol dir que cal calcular la derivada d'aquesta funció i trobar els punts mínims i màxims.